Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil II/Arbeitsblatt 55
- Übungsaufgaben
Wir erinnern an die beiden folgenden Aufgaben.
Es sei ein Körper und eine Indexmenge. Zeige, dass
mit stellenweiser Addition und skalarer Multiplikation ein -Vektorraum ist.
Es sei ein Körper, sei eine Indexmenge, und der zugehörige Vektorraum.
- Zeige, dass
ein Untervektorraum von ist.
- Zu jedem
sei
durch
gegeben. Man zeige, dass sich jedes Element eindeutig als Linearkombination der Familie , , darstellen lässt.
Es sei ein Körper und seien und Mengen. Zeige, dass durch eine Abbildung
eine lineare Abbildung
festgelegt ist.
Es sei ein Körper und seien und Mengen. Es sei
eine
Abbildung.
a) Zeige, dass durch eine lineare Abbildung
festgelegt ist.
b) Es habe nun zusätzlich die Eigenschaft, dass sämtliche
Fasern
endlich seien. Zeige, dass dadurch eine lineare Abbildung
festgelegt ist.
Es sei ein Körper und seien und endliche Indexmengen. Zeige, dass die Abbildung
mit
multilinear ist.
Zeige, dass im Allgemeinen in einem Tensorprodukt nicht jeder Vektor von der Form ist.
Mit berechnen ist in den folgenden Aufgaben gemeint, die Tensorprodukte als Linearkombinationen von Tensorprodukten zu den Standardvektoren auszudrücken.
Berechne in das Tensorprodukt
Berechne in das Tensorprodukt
Berechne in das Tensorprodukt
Berechne in das Tensorprodukt
Berechne in das Tensorprodukt
Berechne in das Tensorprodukt
Berechne in das Tensorprodukt
Es sei ein Körper und ein - Vektorraum mit dem Dualraum . Zeige, dass es eine Linearform
gibt, die auf abbildet.
Es sei ein Körper und es seien und Vektorräume über . Es sei der Dualraum zu . Zeige die folgenden Aussagen.
a) Es gibt eine multilineare Abbildung
b) Es gibt eine lineare Abbildung
die auf die lineare Abbildung abbildet.
c) Wenn und endlichdimensional sind, so ist aus Teil (b) ein Isomorphismus.
Es sei ein Körper und seien Vektorräume über , auf denen jeweils eine Bilinearform fixiert sei. Zeige, dass auf den Tensorprodukt eine Bilinearform gegeben ist, für die
gilt.
Der sei mit der Minkowski-Standard-Form versehen. Bestimme die zugehörige Linearform auf .
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (2 Punkte)
Berechne in das Tensorprodukt
Aufgabe (3 Punkte)
Berechne in das Tensorprodukt
Aufgabe (3 Punkte)
Es sei ein endlichdimensionaler - Vektorraum und eine Bilinearform auf , die bezüglich der Basis von durch die Gramsche Matrix beschrieben werde. Beschreibe die zugehörige Linearform auf bezüglich der zugehörigen Basis.
Aufgabe (4 Punkte)
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