- Übungsaufgaben
Wir erinnern an die beiden folgenden Aufgaben.
Es sei
ein
Körper, sei
eine Indexmenge, und
der zugehörige
Vektorraum.
Zeige, dass
-
ein
Untervektorraum
von
ist.
Zu jedem
sei
durch
-
gegeben. Man zeige, dass sich jedes Element
eindeutig als
Linearkombination
der Familie
,
,
darstellen lässt.
Es sei
ein
Körper und seien
und
Mengen. Zeige, dass durch eine
Abbildung
-
eine
lineare Abbildung
-
festgelegt ist.
Es sei
ein
Körper und seien
und
Mengen. Es sei
-
eine
Abbildung.
a) Zeige, dass durch
eine
lineare Abbildung
-
festgelegt ist.
b) Es habe nun
zusätzlich die Eigenschaft, dass sämtliche
Fasern
endlich seien. Zeige, dass dadurch eine lineare Abbildung
-
festgelegt ist.
Es sei
ein
Körper
und seien
und
endliche Indexmengen. Zeige, dass die Abbildung
-
mit
-

multilinear
ist.
Zeige, dass im Allgemeinen in einem
Tensorprodukt
nicht jeder Vektor von der Form
ist.
Mit berechnen ist in den folgenden Aufgaben gemeint, die Tensorprodukte als Linearkombinationen von Tensorprodukten zu den Standardvektoren auszudrücken.
Berechne in
das
Tensorprodukt
-
Berechne in
das
Tensorprodukt
-
Berechne in
das
Tensorprodukt
-
Berechne in
das
Tensorprodukt
-
Berechne in
das
Tensorprodukt
-
Berechne in
das
Tensorprodukt
-
Berechne in
das
Tensorprodukt
-
Es sei
ein
Körper
und es seien
und
Vektorräume
über
. Es sei
der
Dualraum
zu
. Zeige die folgenden Aussagen.
a) Es gibt eine
multilineare Abbildung
-
b) Es gibt eine
lineare Abbildung
-
die
auf die lineare Abbildung
abbildet.
c) Wenn
und
endlichdimensional
sind, so ist
aus Teil (b) ein
Isomorphismus.
Es sei
ein
Körper und seien
Vektorräume
über
, auf denen jeweils eine
Bilinearform
fixiert sei. Zeige, dass auf den
Tensorprodukt
eine Bilinearform
gegeben ist, für die
-

gilt.
Der
sei mit der
Minkowski-Standard-Form
versehen. Bestimme die zugehörige Linearform auf
.
- Aufgaben zum Abgeben
Berechne in
das
Tensorprodukt
-
Berechne in
das
Tensorprodukt
-
Es sei
ein
Körper und seien
Vektorräume
über
. Stifte eine
lineare Abbildung
-
die
auf
abbildet.