Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil II/Arbeitsblatt 56
- Übungsaufgaben
Es seien im die Basen und die Standardbasis und in die reellen Basen und gegeben. Bestimme die Übergangsmatrix zu den zugehörigen Basen auf dem Tensorprodukt .
Es sei ein Körper und seien - Vektorräume. Zeige die folgenden Aussagen (im Sinne einer kanonischen Isomorphie).
- Es ist
- Es ist
und
seien bezüglich der Standardbasen durch die beiden Matrizen und gegeben. Bestimme die Matrix zur linearen Abbildung
Es sei ein Körper und sei ein Vektorraum über . Wir betrachten die Zuordnung , die einem Vektorraum das Tensorprodukt und einer - linearen Abbildung
die Tensorierung zuordnet. Zeige die folgenden Aussagen.
- Zur
Identität
ist auch
die Identität.
- Zu linearen Abbildungen
ist
- Zu einem
Isomorphismus
ist auch ein Isomorphismus, und für die Umkehrabbildung gilt
Es seien endlichdimensionale - Vektorräume und es seien
Fahnen in den beteiligten Vektorräumen. Zeige, dass es keine Fahne in geben muss, in der die einzelnen Unterräume die Gestalt
haben.
Es seien Untervektorräume mit den Restklassenräumen . Gibt es eine kanonische Isomorphie
Es sei ein Körper und seien Vektorräume über . Es seien diagonalisierbare - lineare Abbildungen
gegeben. Zeige, dass auch das Tensorprodukt
diagonalisierbar ist.
Es sei ein Körper und seien Vektorräume über . Es seien trigonalisierbare - lineare Abbildungen
gegeben. Zeige, dass auch das Tensorprodukt
trigonalisierbar ist.
Die lineare Abbildung sei bezüglich der Basis durch die Jordan-Matrix und die lineare Abbildung sei bezüglich der Basis durch die Jordan-Matrix gegeben.
- Bestimme die Matrix von
bezüglich der Basis .
- Bestimme die jordansche Normalform von .
Es sei ein Körper und seien endlichdimensionale - Vektorräume. Zeige, dass es einen kanonischen Isomorphismus
gibt.
Es sei eine Körpererweiterung und es sei . Zeige, dass die Einsetzungsabbildung, also die Zuordnung
folgende Eigenschaften erfüllt (dabei seien ).
- ,
- ,
- .
Es sei ein Körper, ein - Vektorraum und eine Körpererweiterung. Es sei , , eine Familie von Vektoren aus . Zeige die folgende Aussagen.
- Die Familie , , ist genau dann ein - Erzeugendensystem von , wenn , , ein -Erzeugendensystem von ist.
- Die Familie , , ist genau dann - linear unabhängig (über ) in , wenn , , linear unabhängig (über ) in ist.
- Die Familie , , ist genau dann eine - Basis von , wenn , , eine -Basis von ist.
Es sei eine Körpererweiterung. Wir betrachten die Zuordnung , die einem - Vektorraum den -Vektorraum und einer - linearen Abbildung
die Tensorierung zuordnet. Zeige die folgenden Aussagen.
- Zur
Identität
ist
die Identität.
- Zu linearen Abbildungen
ist
- Zu einem
Isomorphismus
ist auch ein Isomorphismus, und für die Umkehrabbildung gilt
Eine Körpererweiterung heißt endlich, wenn ein endlichdimensionaler Vektorraum über ist.
Es sei eine endliche Körpererweiterung. Dann nennt man die - Vektorraumdimension von den Grad der Körpererweiterung.
Bestimme den Grad der Körpererweiterung .
Es seien Körpererweiterungen derart, dass über endlich ist. Zeige, dass dann auch über und über endlich sind.
Es sei eine endliche Körpererweiterung und sei eine - Basis von . Zeige, dass die Multiplikation auf durch die Produkte
eindeutig festgelegt ist.
Es sei eine endliche Körpererweiterung und seien Elemente, die eine - Basis von bilden. Sei , . Zeige, dass auch eine -Basis von bilden.
Es sei eine Körpererweiterung und seien - Vektorräume. Zeige, dass es eine kanonische Isomorphie der -Vektorräume
Zeige, dass die Körpererweiterung nicht endlich ist.
Es sei ein Körper und sei ein - Vektorraum. Man nennt eine kommutative -Algebra, wenn es ein ausgezeichnetes Element und eine Verknüpfung, genannt Multiplikation,
gibt, die die Bedingungen
- Es ist
für alle .
- Die Verknüpfung ist assoziativ.
- Es ist
für alle .
- Für und ist
wobei und die Skalarmultiplikation bezeichen.
erfüllen.
Wichtige Beispiele für -Algebren werden durch Körpererweiterungen gegeben. Aber auch der Polynomring ist eine -Algebra.
In den folgenden Aufgaben bedeutet , dass sich die Addition, die Multiplikation, die und die entsprechen.
Es sei eine Körpererweiterung und eine - Algebra. Zeige, dass eine -Algebra ist.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (4 Punkte)
Es seien im die Basen und die Standardbasis und im die Basis und die Standardbasis gegeben. Bestimme die Übergangsmatrix zu den zugehörigen Basen auf dem Tensorprodukt .
Aufgabe (2 Punkte)
Aufgabe (2 Punkte)
Es seien Vektorräume über dem Körper und
die zugehörige Tensorproduktabbildung. Es sei ein Eigenwert von . Zeige, dass ein Eigenwert von ist.
Aufgabe (4 Punkte)
Es sei ein endlichdimensionaler - Vektorraum. Zeige, dass die Abbildung
die sich aus der Identifizierung
gemäß Aufgabe 55.15 und der natürlichen Abbildung
im Sinne von Aufgabe 55.14 ergibt, gleich der Spur ist.
Aufgabe (6 (2+4) Punkte)
Die lineare Abbildung sei bezüglich der Basis durch die Jordan-Matrix und die lineare Abbildung sei bezüglich der Basis durch die Jordan-Matrix gegeben.
- Bestimme die Matrix von
bezüglich der Basis .
- Bestimme die jordansche Normalform von .
Aufgabe (4 Punkte)
Es seien Untervektorräume mit den Restklassenräumen . Zeige, dass der Kern der kanonischen Abbildung
gleich
ist.
Aufgabe (4 Punkte)
Es sei eine Körpererweiterung. Zeige, dass kein Körper sein muss.
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