Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil II/Arbeitsblatt 58/latex

\setcounter{section}{58}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Drücke das \definitionsverweis {Dachprodukt}{}{}
\mathl{\begin{pmatrix} 2 \\3\\ 2 \end{pmatrix} \wedge \begin{pmatrix} 4 \\-1\\ 5 \end{pmatrix}}{} in der Standardbasis von
\mathl{\bigwedge^2 \R^3}{} aus.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbdisp {\varphi} {\R^2} {\R^3 } {} die durch die \definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 4 & -1 \\ 0 & 7 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}} { }
gegebene \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Bestimme die Matrix zu
\mathl{\bigwedge^2 \varphi}{} bezüglich der Standardbasen der Dachprodukte.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} und sei
\mathl{v_1 , \ldots , v_m}{} eine \definitionsverweis {Basis}{}{} von $V$. Beschreibe die Matrix zur natürlichen Abbildung \zusatzklammer {$n$ Faktoren} {} {} \maabbdisp {} {V \otimes_{ K } \cdots \otimes_{ K } V } { \bigwedge^n V } {} bezüglich der zugehörigen Basen.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V }
{ =} {U \oplus W }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {direkte Zerlegung}{}{} in \definitionsverweis {Untervektorräume}{}{} der \definitionsverweis {Dimension}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \dim_{ K } { \left( U \right) } }
{ = }{r }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \dim_{ K } { \left( U \right) } }
{ = }{s }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass es eine kanonische Isomorphie
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \bigwedge^{r+s} V }
{ \cong} { \bigwedge^r U \otimes \bigwedge^s W }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gibt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Es seien
\mathl{u_1 , \ldots , u_n \in V}{.} Zeige, dass es zu jedem
\mathl{k\in \N}{} eine eindeutig bestimmte \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabbdisp {} {\bigwedge^k V} { \bigwedge^{k+n} V } {} mit
\mathl{v_1 \wedge \ldots \wedge v_k \mapsto v_1 \wedge \ldots \wedge v_k \wedge u_1 \wedge \ldots \wedge u_n}{} gibt.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {Vektorraum}{}{} über dem \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$ und \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} ein \definitionsverweis {Endomorphismus}{}{.} Es sei \maabbdisp {\bigwedge^m \varphi} {\bigwedge^m V } { \bigwedge^m V } {} das $m$-te \definitionsverweis {Dachprodukt}{}{} von $\varphi$. Es seien
\mathl{v_1 , \ldots , v_m}{} \definitionsverweis {linear unabhängige}{}{} \definitionsverweis {Eigenvektoren}{}{} zu $\varphi$ zu den \definitionsverweis {Eigenwerten}{}{}
\mathl{a_1 , \ldots , a_m}{.} Zeige, dass
\mathl{a_1 \cdots a_m}{} ein Eigenwert von $\bigwedge^m \varphi$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{V}{} ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Es sei \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} eine \definitionsverweis {diagonalisierbare}{}{} $K$-\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Zeige, dass auch das \definitionsverweis {Dachprodukt}{}{} \maabbdisp {\bigwedge^n \varphi} { \bigwedge^n V } { \bigwedge^n V } {} diagonalisierbar ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{V}{} ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Es sei \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} eine \definitionsverweis {trigonalisierbare}{}{} $K$-\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Zeige, dass auch das \definitionsverweis {Dachprodukt}{}{} \maabbdisp {\bigwedge^n \varphi} { \bigwedge^n V } { \bigwedge^n V } {} trigonalisierbar ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Beweise den Determinantenmultiplikationssatz mit Hilfe des \definitionsverweis {Dachproduktes}{}{.}

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{4}
{

Drücke das \definitionsverweis {Dachprodukt}{}{}
\mathdisp {4 \begin{pmatrix} 2 \\3\\ 4 \end{pmatrix} \wedge \begin{pmatrix} 1 \\0\\ 3 \end{pmatrix} + 5\begin{pmatrix} -3 \\2\\ 3 \end{pmatrix} \wedge \begin{pmatrix} 0 \\0\\ 1 \end{pmatrix} -2\begin{pmatrix} 7 \\-5\\ 3 \end{pmatrix} \wedge \begin{pmatrix} 1 \\3\\ -4 \end{pmatrix}} { }
im
\mathl{\bigwedge^2 \R^3}{} als Linearkombination der Dachprodukte
\mathl{e_1 \wedge e_2}{,}
\mathl{e_1 \wedge e_3}{} und
\mathl{e_2 \wedge e_3}{} aus.

}
{} {}

\inputaufgabe
{2}
{

Drücke das \definitionsverweis {Dachprodukt}{}{}
\mathl{\begin{pmatrix} -2 \\5\\ -4 \end{pmatrix} \wedge \begin{pmatrix} 7 \\-2\\ 4 \end{pmatrix}}{} in der Standardbasis von
\mathl{\bigwedge^2 \R^3}{} aus.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Drücke das \definitionsverweis {Dachprodukt}{}{}
\mathdisp {-2 \begin{pmatrix} 3 \\6\\ -2\\5 \end{pmatrix} \wedge \begin{pmatrix} 2 \\7\\ 4\\0 \end{pmatrix} \wedge \begin{pmatrix} 0 \\3\\ -4\\-2 \end{pmatrix} +4 \begin{pmatrix} 1 \\2\\ 3\\4 \end{pmatrix} \wedge \begin{pmatrix} 1 \\-1\\ -2\\3 \end{pmatrix} \wedge \begin{pmatrix} 7 \\6\\ 5\\-4 \end{pmatrix}} { }
in der Standardbasis von
\mathl{\bigwedge^3 \R^4}{} aus.

}
{} {}

\inputaufgabe
{5}
{

Wir betrachten die \definitionsverweis {Basis}{}{}
\mathdisp {v_1= \begin{pmatrix} 9 \\8\\ 1 \end{pmatrix} ,\, v_2 = \begin{pmatrix} 4 \\7\\ -3 \end{pmatrix} ,\, v_3= \begin{pmatrix} 2 \\5\\ -2 \end{pmatrix}} { }
von $\R^3$ und die dadurch induzierte Basis
\mathdisp {\mathfrak{ v } = v_1 \wedge v_2,\, v_1 \wedge v_3 , \, v_2 \wedge v_3} { }
von
\mathl{\bigwedge^2 \R^3}{.} Bestimme die \definitionsverweis {Übergangsmatrizen}{}{} \zusatzklammer {in beide Richtungen} {} {} zwischen der Basis $\mathfrak{ v }$ und der Standardbasis
\mathl{e_1 \wedge e_2,\, e_1 \wedge e_3 , \, e_2 \wedge e_3}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{5}
{

Es sei \maabbdisp {\varphi} {\R^3} {\R^3 } {} die durch die \definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 4 & -2 & 5 \\ 6 & 8 & -3 \\1 & 4 & -1 \end{pmatrix}} { }
gegebene \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Bestimme die Matrix zu
\mathl{\bigwedge^2 \varphi}{} bezüglich der Standardbasen der Dachprodukte.

}
{} {}