Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil II/Vorlesung 58
- Eigenschaften des Dachprodukts
Es sei ein Körper und ein endlichdimensionaler - Vektorraum der Dimension . Es sei eine Basis von und es sei .
Dann bilden die Dachprodukte
eine Basis von .
Wir zeigen zuerst, dass ein Erzeugendensystem vorliegt. Da die Elemente der Form nach
Lemma 57.5 (1)
ein
Erzeugendensystem
von bilden, genügt es zu zeigen, dass man diese durch die angegebenen Elemente darstellen kann. Für jedes gibt es eine Darstellung , daher kann man nach
Lemma 57.5 (4)
die als
Linearkombinationen
von Dachprodukten der Basiselemente darstellen, wobei allerdings jede Reihenfolge vorkommen kann. Es sei also gegeben mit . Durch Vertauschen von benachbarten Vektoren kann man nach
Lemma 57.5 (3)
(unter Inkaufnahme eines anderen Vorzeichens)
erreichen, dass die Indizes
(nicht notwendigerweise streng)
aufsteigend geordnet sind. Wenn sich ein Index wiederholt, so ist nach
Lemma 57.5 (2)
das Dachprodukt . Also wiederholt sich kein Index und diese Dachprodukte sind in der gewünschten Form.
Zum Nachweis der linearen Unabhängigkeit zeigen wir unter Verwendung von Lemma 14.7, dass es zu jeder -elementigen Teilmenge (mit ) eine -lineare Abbildung
gibt, die nicht auf abbildet, aber alle anderen in Frage stehenden Dachprodukte auf abbildet. Dazu genügt es nach Satz 57.7, eine alternierende multilineare Abbildung
anzugeben mit , aber mit für jedes andere aufsteigende Indextupel. Es sei der von den , , erzeugte Untervektorraum von und der Restklassenraum. Dann bilden die Bilder der , , eine Basis von , und die Bilder von allen anderen -Teilmengen der gegebenen Basis bilden dort keine Basis, da mindestens ein Element davon auf geht. Wir betrachten nun die zusammengesetzte Abbildung
Diese Abbildung ist nach
Satz 16.9
multilinear und nach
Satz 16.10
alternierend. Nach
Satz 16.11
ist genau dann, wenn die Bilder von in keine Basis bilden.
Bei mit der Standardbasis nennt man die
mit
die Standardbasis von .
Zu Basen und eines - Vektorraumes mit den Beziehungen
erhält man zwischen den Basen
des die Beziehung
Dies beruht gemäß Lemma 57.5 (4) auf
Es sei ein Körper und ein endlichdimensionaler - Vektorraum der Dimension .
Dann besitzt das -te äußere Produkt die Dimension
Dies folgt direkt aus Satz 58.1 und Aufgabe 3.15 (Analysis (Osnabrück 2014-2016)).
Insbesondere ist die äußere Potenz für eindimensional (es ist ) und für -dimensional (es ist ). Für ist eindimensional, und die Determinante induziert (nach einer Identifizierung von mit ) einen Isomorphismus
Für sind die äußeren Produkte der Nullraum und besitzen die Dimension .
Wir erweitern die in der letzten Vorlesung gezeigte natürliche Isomorphie zu einer natürlichen Isomorphie
Es sei ein Körper und ein dimensionaler Vektorraum. Es sei .
Dann gibt es eine natürliche Isomorphie
mit
(mit und ).
Wir betrachten die Abbildung (mit Faktoren)
mit
Für fixierte ist die Abbildung rechts multilinear und alternierend, wie eine direkte Überprüfung unter Verwendung der Determinantenregeln zeigt. Daher entspricht diese nach Korollar 57.8 einem Element in . Insgesamt liegt also eine Abbildung
vor. Eine direkte Prüfung zeigt, dass die Gesamtzuordung ebenfalls multilinear und alternierend ist. Aufgrund der universellen Eigenschaft gibt es daher eine lineare Abbildung
Diese müssen wir als Isomorphismus nachweisen. Es sei dazu eine Basis von mit der zugehörigen Dualbasis . Nach Satz 58.1 bilden die
eine Basis von . Ebenso bilden die
eine Basis von mit zugehöriger Dualbasis . Wir zeigen, dass unter auf abgebildet wird. Für ist
Bei gibt es ein , das von allen verschieden ist. Daher ist die -te Zeile der Matrix und somit ist die Determinante . Wenn dagegen die Indexmengen übereinstimmen, so ergibt sich die Einheitsmatrix mit der Determinante . Diese Wirkungsweise stimmt mit der von überein.
- Dachprodukte bei linearen Abbildungen
Es sei ein Körper, und seien - Vektorräume und
sei eine - lineare Abbildung.
Dann gibt es zu jedem eine -lineare Abbildung
Die Abbildung
ist nach Aufgabe 16.27 multilinear und alternierend. Daher gibt es nach Satz 57.7 eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung
mit .
Es sei ein Körper, und seien - Vektorräume und
sei eine - lineare Abbildung. Zu sei
(1). Es seien gegeben und seien Urbilder davon, also . Dann ist
Nach
Lemma 57.5 (1)
ergibt sich die Surjektivität.
(2). Wir können
aufgrund der Konstruktion des Dachproduktes
annehmen, dass
und
endlichdimensional
sind. Die Aussage folgt dann aufgrund der expliziten Beschreibung der Basen in
Satz 58.1.
(3). Es genügt, die Gleichheit für das Erzeugendensystem mit zu zeigen, wofür es klar ist.
- Orientierungen und das Dachprodukt
Unter Bezug auf das Dachprodukt kann man generell die Orientierung auf einem reellen Vektorraum auf die Orientierung einer Geraden zurückführen, wie die folgende Aussage zeigt.
Es sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum der Dimension .
Dann entsprechen durch die Zuordnung
die Orientierungen auf den Orientierungen auf .
Es seien und zwei Basen von mit der Beziehung
Dann gilt nach Korollar 57.6
woraus die Wohldefiniertheit der Abbildung und die Aussage folgt.
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