Dachprodukt/Natürliche Dualität/Endlichdimensional/Fakt/Beweis

Beweis

Wir betrachten die Abbildung (mit ${}k$ Faktoren)

$V^{*}\times \cdots \times V^{*}\longrightarrow \operatorname {Abb} \,(V\times \cdots \times V,K)$

mit

$(f_{1},\ldots ,f_{k})\longmapsto {\left((v_{1},\ldots ,v_{k})\longmapsto \det {\left(f_{i}(v_{j})\right)}_{ij}\right)}.$

Für fixierte ${}f_{1},\ldots ,f_{k}$ ist die Abbildung rechts multilinear und alternierend, wie eine direkte Überprüfung unter Verwendung der Determinantenregeln zeigt. Daher entspricht diese nach Fakt einem Element in ${}{\left(\bigwedge ^{k}V\right)}^{*}$. Insgesamt liegt also eine Abbildung

$V^{*}\times \cdots \times V^{*}\longrightarrow {\left(\bigwedge ^{k}V\right)}^{*}$

vor. Eine direkte Prüfung zeigt, dass die Gesamtzuordung ebenfalls multilinear und alternierend ist. Aufgrund der universellen Eigenschaft gibt es daher eine lineare Abbildung

$\psi \colon \bigwedge ^{k}V^{*}\longrightarrow {\left(\bigwedge ^{k}V\right)}^{*}.$

Diese müssen wir als Isomorphismus nachweisen. Es sei dazu ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis von ${}V$ mit der zugehörigen Dualbasis ${}v_{1}^{*},\ldots ,v_{n}^{*}$. Nach Fakt bilden die

$v_{i_{1}}^{*}\wedge \ldots \wedge v_{i_{k}}^{*},1\leq i_{1}<\ldots <i_{k}\leq n,$

eine Basis von ${}\bigwedge ^{k}V^{*}$. Ebenso bilden die

$v_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge v_{i_{k}},1\leq i_{1}<\ldots <i_{k}\leq n,$

eine Basis von ${}\bigwedge ^{k}V$ mit zugehöriger Dualbasis ${}{\left(v_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge v_{i_{k}}\right)}^{*}$. Wir zeigen, dass ${}v_{i_{1}}^{*}\wedge \ldots \wedge v_{i_{k}}^{*}$ unter ${}\psi$ auf ${}(v_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge v_{i_{k}})^{*}$ abgebildet wird. Für ${}1\leq j_{1}<\ldots <j_{k}\leq n$ ist

${\left(\psi {\left(v_{i_{1}}^{*}\wedge \ldots \wedge v_{i_{k}}^{*}\right)}\right)}{\left(v_{j_{1}}\wedge \ldots \wedge v_{j_{k}}\right)}=\det {\left(v_{i_{r}}^{*}{\left(v_{j_{s}}\right)}_{1\leq r,s\leq k}\right)}\,.$

Bei ${}\{i_{1},\ldots ,i_{k}\}\neq \{j_{1},\ldots ,j_{k}\}$ gibt es ein ${}i_{r}$, das von allen ${}j_{s}$ verschieden ist. Daher ist die ${}r$-te Zeile der Matrix ${}0$ und somit ist die Determinante ${}0$. Wenn dagegen die Indexmengen übereinstimmen, so ergibt sich die Einheitsmatrix mit der Determinante ${}1$. Diese Wirkungsweise stimmt mit der von ${}{\left(v_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge v_{i_{k}}\right)}^{*}$ überein.

Zur bewiesenen Aussage