Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil II/Vorlesung 40/latex
\setcounter{section}{40}
\zwischenueberschrift{Minkowski-Räume}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {08608 einstein 1916.jpg} }
\end{center}
\bildtext {Albert Einstein (1879-1955)} }
\bildlizenz { 08608 einstein 1916.jpg } {} {Drdoht} {Commons} {gemeinfrei} {}
\epigraph { Auf einer Abendgesellschaft wurde Einstein von der Gastgeberin gebeten, die Relativitätstheorie zu erklären.
\anfuehrung{Madame}{,} sagte er, \anfuehrung{ich spazierte eines heißen Tages auf dem Lande mit einem blinden Freund und sagte, daß ich gern einen Trunk Milch haben würde}{.} - \anfuehrung{Milch}{?,} sagte mein Freund, \anfuehrung{Trinken verstehe ich, aber was ist Milch}{?} - \anfuehrung{Eine weiße Flüssigkeit}{} antwortete ich. - \anfuehrung{Flüssigkeit verstehe ich; aber was ist weiß}{?} - \anfuehrung{Die Farbe einer Schwanenfeder}{.} - \anfuehrung{Feder verstehe ich, aber was ist ein Schwan}{?} - \anfuehrung{Ein Vogel mit einem gebogenen Hals}{.} \anfuehrung{Hals verstehe ich, aber was ist gebogen}{?} - Darauf verlor ich die Geduld, ergriff seinen Arm und und streckte diesen geradeaus: \anfuehrung{das ist gerade}{,} sagte ich, und dann bog ich seinen Arm am Ellenbogen ein: \anfuehrung{das ist gebogen}{.} \anfuehrung{Ah}{!} sagte der Blinde, \anfuehrung{jetzt weiß ich, was Sie mit Milch meinen}{!} } { }
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {De_Raum_zeit_Minkowski_Bild.jpg} }
\end{center}
\bildtext {Hermann Minkowski (1864-1909)} }
\bildlizenz { De_Raum_zeit_Minkowski_Bild.jpg } {} {Feitscherg} {Commons} {PD} {}
\inputdefinition
{}
{
Ein
\definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{}
der
\definitionsverweis {Dimension}{}{}
$n$ mit einer
\definitionsverweis {Bilinearform}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{}
vom
\definitionsverweis {Typ}{}{}
\mathl{(n-1,1)}{} heißt
\definitionswort {Minkowski-Raum}{.}
}
Die Minkowski-Räume liefern ein einfaches Modell für die \stichwort {spezielle Relativitätstheorie} {}\zusatzfussnote {Die allgemeine Relativitätstheorie wird mathematisch durch pseudoriemannsche Mannigfaltigkeiten beschrieben, bei denen die hier besprochenen Minkowski-Räume die lokale Situation wiedergeben. Wichtige Stichworte sind Gravitation, Äquivalenzprinzip, Feldgleichung, gekrümmter Raum} {.} {,}
man spricht auch von einem Einstein-Minkowski-Raum und die Bilinearform darauf heißt auch \stichwort {Minkowski-Form} {} oder \stichwort {Lorentz-Form} {.} Die klassische Raum-Zeit-Welt ist von der Form
\mathl{\R^3 \times \R}{,} wobei die dreidimensionale Komponente den Raum und die eindimensionale Komponente die Zeit repräsentiert. Darin ist grundsätzlich jede Bewegung von einem Punkt zu einem anderen möglich, solange der zweite Punkt zeitlich später als der erste Punkt ist. Entsprechend repräsentieren die Punkte in einem vierdimensionalen Minkowski-Raum die relativistischen Weltpunkte
\zusatzklammer {die Ereignisse} {} {;}
eine Trennung in Raum und Zeit ist Beobachter-abhängig; die Theorie liefert auch eine Definition, was ein Beobachter ist, siehe unten. Eine besondere Rolle spielt die Menge der Vektoren
\mathdisp {{ \left\{ v \in V \mid \left\langle v , v \right\rangle = 0 \right\} }} { , }
die in diesem Zusammenhang der \stichwort {Lichtkegel} {} heißt. Gemeint ist damit die Menge aller Lichtstrahlen, die in einem Weltpunkt eingehen und ausgehen. Dieser Lichtkegel ist gemäß der speziellen Relativitätstheorie Beobachter-unabhängig
\zusatzklammer {absolut} {} {,}
und eben dies wird durch die Minkowski-Räume modelliert. Man erlaubt grundsätzlich jede Dimension, die wesentlichen Phänomene sind schon bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{2,3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sichtbar. Die bezüglich der Standardbasis des $\R^n$ durch die
\definitionsverweis {Gramsche Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & -1 \end{pmatrix}} { }
gegebene Minkowski-Form heißt \stichwort {Minkowski-Standard-Form} {.} Gemäß
dem Trägheitssatz von Sylvester
kann man jede Minkowski-Form bezüglich einer geeignet skalierten Orthogonalbasis
\zusatzklammer {einer \stichwort {Minkowski-Basis} {}} {} {}
auf diese Gestalt bringen.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {Minkowski-Raum}{}{}
mit der
\definitionsverweis {Minkowski-Form}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{.} Ein Vektor
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v
}
{ \in }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle v , v \right\rangle
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
heißt \definitionswort {lichtartig}{,} ein Vektor
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v
}
{ \in }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle v , v \right\rangle
}
{ <} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
heißt \definitionswort {zeitartig}{} und ein Vektor
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v
}
{ \in }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle v , v \right\rangle
}
{ >} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
heißt \definitionswort {raumartig}{.}
} Achtung, diesen Eigenschaften definieren keine Untervektorräume, die Summe von zwei raumartigen Vektoren muss im Allgemeinen nicht wieder raumartig sein.
Nicht alle Vektoren bzw.
\zusatzklammer {linearen} {} {}
Bewegungsvorgänge in dieser Raum-Zeit-Licht-Welt sind für einen
\zusatzklammer {materiellen} {} {}
Beobachter realisierbar, im Gegenteil gehört die folgende Einschränkung wesentlich zu diesem Weltmodell.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {Minkowski-Raum}{}{}
mit einer
\definitionsverweis {Minkowski-Form}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{.} Die Vektoren
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v
}
{ \in }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle v , v \right\rangle
}
{ =} {-1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
heißen
\definitionswort {Beobachtervektoren}{}
oder
\definitionswort {Vierergeschwindigkeit eines Beobachters}{.}
}
Der Begriff Beobachter suggeriert eine physikalische Interpretation; man kann sich darunter eine Person vorstellen, wichtig ist aber, dass dies keinen subjektiven Gehalt hat. Der Beobachter hat eine Uhr, einen Meterstab und einen Winkelmesser im Gepäck und jeder Beobachter, der die gleiche Bewegung durchführt, kommt zu den gleichen Messungen. Statt mit der Bedingung
\mathl{=-1}{} wird ein Beobachtervektor häufig auch durch die Bedingung
\mathl{=-c}{} angesetzt, wobei $c$ die Lichtgeschwindigkeit repräsentiert. Diese ist aber nur eine Umskalierung.
Die zuletzt genannten Beobachtervektor sind insbesondere zeitartig, da jeder Beobachter älter wird, die Zeit bewegt sich also auch für einen \anfuehrung{räumlich ruhenden}{} Beobachter. Die Gerade $\R v$ ist ein Untervektorraum der Dimension $1$, auf dem die eingeschränkte Form negativ definit ist. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der dazu
\zusatzklammer {bezüglich der Minkowski-Form} {} {}
senkrechte Untervektorraum. Dies ist ein dreidimensionaler Raum, auf dem die eingeschränkte Form positiv definit ist. Dieser Untervektorraum ist der Raum $V_v$ für diesen Beobachter
\zusatzklammer {oder $V_B$, wenn $B$ den Beobachter bezeichnet} {} {}
und $\R v$ ist seine Zeitachse. Für einen Beobachter besteht also eine Zerlegung des Gesamtraumes der Form
\mathl{\R \times \R^3}{,} nur diese Zerlegung hängt eben vom Beobachter ab. Man spricht auch von dem \stichwort {Bezugssystem} {} des Beobachters. Die positiv definite Einschränkung der Minkowski-Form auf seine Raumkomponente ist ein Skalarprodukt, mit dem der Beobachter Längen und Winkel misst und auch in seinem Raum eine Orthonormalbasis fixieren kann. Für einen Beobachter mit der erlaubten Vierergeschwindigkeit $v$ gibt es also insbesondere eine
\definitionsverweis {Orthogonalbasis}{}{}
\mathl{e_1,e_2,e_3,v}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle e_j , e_j \right\rangle
}
{ =} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle v , v \right\rangle
}
{ =} { - 1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Bezüglich einer solchen Minkowski-Basis wird die Minkowski-Form einfach durch
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}} { }
als
\definitionsverweis {Gramsche Matrix}{}{}
beschrieben. Ein Großteil der relativistischen Phänome zeigt sich in diesem Modell beim Basiswechsel von zwei solchen Basen
\zusatzklammer {bei einem \stichwort {Wechsel des Bezugssystems} {}} {} {,}
wobei der wesentliche Punkt der Wechsel der Zerlegung in Raum- und Zeitkomponente ist.
Wenn $v$ ein Beobachtervektor ist, so ist nach Definition auch $-v$ ein Beobachtervektor. Dieser Beobachter bewegt sich in die entgegengesetzte Zeitrichtung. Insgesamt zerfällt die Menge aller Beobachtervektoren in zwei Schalen, wobei wir eine als die Zukunftsschale auszeichnen. Ebenso zerfällt der Lichtkegel in zwei Kegel, den Zukunfts- und den Vergangenheitskegel. Zwei Beobachter heißen \stichwort {gleichgerichtet} {,} wenn sie der gleichen Schale angehören, also beide in die Zukunft \zusatzklammer {oder in die Vergangenheit} {} {} weisen.
{Minkowski-Raum/Beobachtervektoren/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {Minkowski-Raum}{}{}
mit der
\definitionsverweis {Minkowski-Form}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{.}}
\faktuebergang {Dann gelten folgende Aussagen.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungdrei{Zu jedem
\definitionsverweis {Beobachtervektor}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v
}
{ \in }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V
}
{ =} { \R v \oplus (\R v)^\perp
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {direkte Summenzerlegung}{}{,}
wobei die Einschränkung der Minkowski-Form auf
\mathl{\R v}{}
\definitionsverweis {negativ definit}{}{}
und die Einschränkung der Minkowski-Form auf
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V_v
}
{ = }{ (\R v)^\perp
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {positiv definit}{}{}
ist. Dabei besteht $V_v$ aus
\definitionsverweis {raumartigen Vektoren}{}{.}
}{Für zwei gleichgerichtete Beobachtervektoren
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v,w
}
{ \in }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle v , w \right\rangle
}
{ <} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Für
\definitionsverweis {zeitartige Vektoren}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v,w
}
{ \in }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle v , w \right\rangle^2
}
{ \geq} { \left\langle v , v \right\rangle \cdot \left\langle w , w \right\rangle
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Siehe Aufgabe 40.3, Aufgabe 40.7 und Aufgabe 40.8.
Die Bedingung, dass die Beobachtergeschwindigkeiten
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \left\langle v , v \right\rangle
}
{ = }{ -1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
erfüllen müssen, ist eine große Einschränkung an mögliche Bewegungsvorgänge. Wenn eine Minkowski-Basis fixiert ist, so ist
\mathl{\begin{pmatrix} y_1 \\y_2\\ y_3\\t \end{pmatrix}}{} ein Beobachtervektor
genau dann, wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y_1^2 + y_2^2+y_3^2 -t^2
}
{ =} { -1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {und
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{t
}
{ \geq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
das ergibt sich aus der Zukunftsrichtung} {} {}
ist.
\inputbeispiel{}
{
In einem vierdimensionalen
\definitionsverweis {Standard-Minkowski-Raum}{}{}
soll etwas vom Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ = }{ \begin{pmatrix} p_1 \\p_2\\ p_3\\r \end{pmatrix}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zum Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q
}
{ = }{ \begin{pmatrix} q_1 \\q_2\\ q_3\\s \end{pmatrix}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gleichmäßig bewegt werden. Im klassischen Ansatz ist einfach der Verbindungsvektor
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\begin{pmatrix} y_1 \\y_2\\ y_3\\t \end{pmatrix}
}
{ \defeq} { \begin{pmatrix} q_1 \\q_2\\ q_3\\s \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} p_1 \\p_2\\ p_3\\r \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
zu wählen. Dieser ist aber im Allgemeinen kein Beobachtervektor und der anvisierte Bewegungsvorgang ist dann nicht realisierbar. Wenn
\mathl{y_1^2+y_2^2+y_3^2- t^2}{} negativ ist, was inhaltlich bedeutet, dass ein zeitartiger Vektor vorliegt, so kann man den Vektor aber zu einem Beobachtervektor
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} z_1 \\z_2\\ z_3\\u \end{pmatrix}
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ \sqrt{ - \left\langle \begin{pmatrix} y_1 \\y_2\\ y_3\\t \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} y_1 \\y_2\\ y_3\\t \end{pmatrix} \right\rangle } } } \begin{pmatrix} y_1 \\y_2\\ y_3\\t \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
umskalieren. Es beschreibt dann
\mathdisp {x \longmapsto \begin{pmatrix} p_1 \\p_2\\ p_3\\r \end{pmatrix} + x \begin{pmatrix} z_1 \\z_2\\ z_3\\u \end{pmatrix}} { }
ein Bewegungsvorgang, der für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
im Punkt $P$ startet und für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ = }{\sqrt{ - \left\langle \begin{pmatrix} y_1 \\y_2\\ y_3\\t \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} y_1 \\y_2\\ y_3\\t \end{pmatrix} \right\rangle }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
im Punkt $Q$ endet und der physikalisch durchführbar ist.
}
\inputbemerkung
{}
{
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Relativity of Simultaneity.svg} }
\end{center}
\bildtext {Zwei Ereignisse $A$ und $B$ in einem zweidimensionalen Minkowskiraum, die für den Beobachter, dessen Raumachse mit $x$ und dessen Zeitachse mit $ct$ bezeichnet ist, gleichzeitig sind, aber nicht für den zweiten Beobachter mit den Achsen $x'$ und $ct'$.} }
\bildlizenz { Relativity of Simultaneity.svg } {} {Acdx} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}
Zu einer Vierergeschwindigkeit $v$ eines Beobachters $B$ mit der Zerlegung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V
}
{ =} { V_v \oplus \R v
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
nennt man die Punkte der Form
\mathl{sv + V_v}{} mit einem fixierten
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s
}
{ \in }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
den Raum zum Zeitpunkt $s$. Die Punkte daraus heißen gleichzeitig für den Beobachter $B$. Für einen anderen Beobachter $C$ mit der Vierergeschwindigkeit $w$ sind diese Punkte nicht gleichzeitig. Sein Gleichzeitigkeitskonzept beruht auf seine, von $w$ abhängige Zerlegung der Welt $V$ in seine Raum- und Zeitkomponente. Wenn beispielsweise die zweite Vierergeschwindigkeit bezüglich einer Minkowski-Basis des ersten Beobachters durch
\mathl{\begin{pmatrix} { \frac{ 3 }{ 4 } } \\0\\ 0\\ { \frac{ 5 }{ 4 } } \end{pmatrix}}{} gegeben ist, so ist
\mathdisp {{ \frac{ 15 }{ 4 } } \begin{pmatrix} { \frac{ 1 }{ 3 } } \\0\\ 0\\ { \frac{ 1 }{ 5 } } \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\1\\ 0\\0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\0\\ 1\\0 \end{pmatrix}} { }
eine Orthonormalbasis der Raumkomponente des zweiten Beobachters. Die für den ersten Beobachter gleichzeitigen Ereignisse
\mathkor {} {\begin{pmatrix} 0 \\0\\ 0\\0 \end{pmatrix}} {und} {\begin{pmatrix} 1 \\0\\ 0\\0 \end{pmatrix}} {}
sind für den zweiten Beobachter nicht gleichzeitig, da der erste Vektor die gleiche Beschreibung besitzt und der zweite Vektor gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 1 \\0\\ 0\\0 \end{pmatrix}
}
{ =} { { \frac{ 75 }{ 16 } } \begin{pmatrix} { \frac{ 1 }{ 3 } } \\0\\ 0\\ { \frac{ 1 }{ 5 } } \end{pmatrix} - { \frac{ 3 }{ 4 } } \begin{pmatrix} { \frac{ 3 }{ 4 } } \\0\\ 0\\ { \frac{ 5 }{ 4 } } \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist. Seine Zeitkomponente bezüglich des zweiten Beobachtervektors ist also $- { \frac{ 3 }{ 4 } }$.
}
Wir vergleichen nun Geschwindigkeiten von Beobachtern untereinander.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {Minkowski-Raum}{}{}
und seien
\mathkor {} {B} {und} {C} {}
Beobachter mit den
\definitionsverweis {Vierergeschwindigkeiten}{}{}
\mathkor {} {v} {und} {w} {.}
Dann nennt man den Vektor
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v_{BC}
}
{ =} { -v- { \frac{ 1 }{ \left\langle v , w \right\rangle } } w
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
den
\definitionswort {Geschwindigkeitsvektor}{}
von $C$ relativ zu $B$. Man nennt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\rho_{BC}
}
{ =} { \sqrt{ 1 - { \frac{ 1 }{ \left\langle v , w \right\rangle^2 } } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die
\definitionswort {Relativgeschwindigkeit}{}
der beiden Beobachter.
}
Der relative Geschwindigkeitsvektor ist ein Vektor. Beachte, dass nach
Lemma 40.4 (3)
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \left\langle v , w \right\rangle
}
{ \geq }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und daher die Relativgeschwindigkeit eine wohldefinierte nichtnegative reelle Zahl ist, die durch $1$ beschränkt ist. Die Relativgeschwindigkeit ist symmetrisch in
\mathkor {} {v} {und} {w} {,}
hingegen ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ v_{CB}
}
{ =} { - w - { \frac{ 1 }{ \left\langle v , w \right\rangle } } v
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
im Allgemeinen von
\mathl{v_{BC}}{} verschieden. Da die Lichtgeschwindigkeit zu $1$ normiert ist, sollte man sich diese Relativgeschwindigkeiten klein vorstellen. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v
}
{ = }{w
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist die Relativgeschwindigkeit gleich $0$.
\inputfaktbeweis
{Minkowski-Raum/Zwei Beobachter/Relativgeschwindigkeit/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {Minkowski-Raum}{}{}
und seien
\mathkor {} {B} {und} {C} {}
gleichgerichtete Beobachter mit den
\definitionsverweis {Vierergeschwindigkeiten}{}{}
\mathkor {} {v} {und} {w} {.}}
\faktuebergang {Dann gelten folgende Aussagen.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungfuenf{Der
\definitionsverweis {Relativgeschwindigkeitsvektor}{}{}
\mathl{v_{BC}}{} steht senkrecht auf $v$.
}{Der Relativgeschwindigkeitsvektor
\mathl{v_{BC}}{} ist
\definitionsverweis {raumartig}{}{}
und es gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {v_{BC}} \Vert
}
{ =} { \Vert {v_{CB}} \Vert
}
{ =} { \rho_{BC}
}
{ =} { \rho
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle v , w \right\rangle
}
{ =} { - { \frac{ 1 }{ \sqrt{1 - \rho^2} } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{w
}
{ =} { { \frac{ v }{ \sqrt{1 - \rho^2} } } + { \frac{ v_{BC} }{ \sqrt{1 - \rho^2} } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Zerlegung von $w$ in die Raum- und die Zeitkomponente von $B$.
}{Der Zeitkoeffizient von $w$ bezüglich $B$ ist
\mathl{{ \frac{ 1 }{ \sqrt{1 - \rho^2} } }}{.}
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
\aufzaehlungfuenf{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle v , v_{BC} \right\rangle
}
{ =} { \left\langle v , -v- { \frac{ 1 }{ \left\langle v , w \right\rangle } } w \right\rangle
}
{ =} { \left\langle v , -v \right\rangle + \left\langle v , - { \frac{ 1 }{ \left\langle v , w \right\rangle } } w \right\rangle
}
{ =} { 1-1
}
{ =} { 0
}
}
{}{}{,}
sodass diese Vektoren orthogonal zueinander sind. Somit gehört
\mathl{v_{BC}}{} zur Raumkomponente zu $B$.
}{Es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \left\langle v_{BC} , v_{BC} \right\rangle
}
{ =} { \left\langle -v- { \frac{ 1 }{ \left\langle v , w \right\rangle } } w , -v- { \frac{ 1 }{ \left\langle v , w \right\rangle } } w \right\rangle
}
{ =} { \left\langle v + { \frac{ 1 }{ \left\langle v , w \right\rangle } } w , v+ { \frac{ 1 }{ \left\langle v , w \right\rangle } } w \right\rangle
}
{ =} { \left\langle v , v \right\rangle + 2 { \frac{ \left\langle v , w \right\rangle }{ \left\langle v , w \right\rangle } } + { \frac{ 1 }{ \left\langle v , w \right\rangle^2 } } \left\langle w , w \right\rangle
}
{ =} { 1 - { \frac{ 1 }{ \left\langle v , w \right\rangle^2 } }
}
}
{}
{}{.}
Nach Teil (1)
\zusatzklammer {oder nach
Lemma 40.4 (3)} {} {}
ist dieser Ausdruck nichtnegativ. Die Quadratwurzel davon ist die Relativgeschwindigkeit $\rho$.
}{Dies folgt direkt aus der Definition
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\rho
}
{ =} { \sqrt{ 1 - { \frac{ 1 }{ \left\langle v , w \right\rangle^2 } } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
durch eine einfache Umstellung, wenn man berücksichtigt, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle v , w \right\rangle
}
{ <} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.
}{Aus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v_{BC}
}
{ =} { -v- { \frac{ 1 }{ \left\langle v , w \right\rangle } } w
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und (3) ergibt sich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{w
}
{ =} {- \left\langle v , w \right\rangle v - \left\langle v , w \right\rangle v_{BC}
}
{ =} { { \frac{ v }{ \sqrt{1 - \rho^2} } } + { \frac{ v_{BC} }{ \sqrt{1 - \rho^2} } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Nach Teil (1) gehört
\mathl{v_{BC}}{} zur Raumkomponente zu $B$.
}{Aus (4) ist direkt ablesbar, dass der Zeitkoeffizient von $w$ bezüglich $B$ gleich
\mathl{{ \frac{ 1 }{ \sqrt{1 - \rho^2} } }}{} ist.
}
Das in der fünften Aussage des vorstehenden Lemmas formulierte Prinzip heißt \stichwort {Zeitdilatation} {.} Ein Beobachter beobachtet für einen weiteren Beobachter eine längere Zeit als dieser in seinem Bezugsystem.
\zwischenueberschrift{Der Vektorraum der Bilinearformen}
Es sei $V$ ein Vektorraum über einem Körper $K$ und seien
\mathkor {} {\Psi_1} {und} {\Psi_2} {}
Bilinearformen auf $V$. Dann erklärt man die Summe dieser beiden Bilinearformen punktweise als diejenige Bilinearform, die an der Stelle
\mathl{(u,v)}{} den Summenwert erhält, also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (\Psi_1+\Psi_2)(u,v)
}
{ \defeq} { \Psi_1(u,v)+\Psi_2(u,v)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Entsprechend definiert man für einen Skalar
\mathl{c \in K}{} die Form $c \Psi$ durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (c \Psi)(u,v)
}
{ =} { c \Psi(u,v)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die entstehenden Funktionen sind wieder bilinear. Damit erhält man eine Vektorraumstruktur auf der Menge aller Bilinearformen auf $V$.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
über dem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$. Die Menge aller
\definitionsverweis {Bilinearformen}{}{}
auf $V$, versehen mit der punktweisen Addition und Skalarmultiplikation, heißt
\definitionswort {Vektorraum der Bilinearformen}{.}
Er wird mit
\mathl{\operatorname{Bilin}_{ } { \left( V \right) }}{} bezeichnet.
}
\inputfaktbeweis
{Vektorraum/Endlichdimensional/Gramsche Matrizen/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.}}
\faktfolgerung {Zu einer jeden
\definitionsverweis {Basis}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \mathfrak{ v }
}
{ = }{v_1 , \ldots , v_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist die Abbildung
\maabbeledisp {} { \operatorname{Bilin}_{ } { \left( V \right) } } { \operatorname{Mat}_{ n } (K)
} { \Psi} { G_ \mathfrak{ v } (\Psi)
} {,}
die einer
\definitionsverweis {Bilinearform}{}{}
$\Psi$ ihre
\definitionsverweis {Gramsche Matrix}{}{}
bezüglich der gegebenen Matrix zuordnet, eine
\definitionsverweis {Isomorphie}{}{}
von Vektorräumen.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Die
\definitionsverweis {Injektivität}{}{}
der Abbildung folgt aus
Lemma 16.6,
die Surjektivität daraus, dass man eine beliebige Matrix im Sinne von
Beispiel 38.2
als Bilinearform interpretieren kann. Die Linearität folgt unmittelbar aus der punktweisen Definition der Vektorraumstruktur auf
\mathl{\operatorname{Bilin}_{ } { \left( V \right) }}{.}
\zwischenueberschrift{Sesquilinearformen}
\inputdefinition
{}
{
Es seien
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
über den
\definitionsverweis {komplexen Zahlen}{}{}
${\mathbb C}$. Eine Abbildung
\maabbdisp {\varphi} {V} {W
} {}
heißt
\definitionswort {antilinear}{}
\zusatzklammer {oder
\definitionswort {semilinear}{}} {} {,}
wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi(u+v)
}
{ =} { \varphi(u) + \varphi (v)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u,v
}
{ \in }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi ( \lambda v )
}
{ =} { \overline{ \lambda } \varphi (v)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lambda
}
{ \in }{ \Complex
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt.
}
Wenn man die komplexen Vektorräume als reelle Vektorräume auffasst, so handelt es sich insbesondere um reell-lineare Abbildungen. Dieser Eigenschaft sind wir schon bei komplexen Skalarprodukten begegnet.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $V$ ein
${\mathbb C}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.}
Eine Abbildung
\maabbeledisp {} {V \times V } {{\mathbb C}
} {(v,w)} {\left\langle v , w \right\rangle
} {,}
heißt \definitionswort {Sesquilinearform}{,} wenn für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{ V
}
{ }{}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
die induzierten Abbildungen
\maabbeledisp {} {V} {{\mathbb C}
} {w} { \left\langle v , w \right\rangle
} {,}
${\mathbb C}$-\definitionsverweis {antilinear}{}{}
und für alle
\mathl{w \in V}{} die induzierten Abbildungen
\maabbeledisp {} {V} {{\mathbb C}
} {v} { \left\langle v , w \right\rangle
} {,}
${\mathbb C}$-\definitionsverweis {linear}{}{}
sind.
}
Wir fordern also die Linearität in der ersten und die Antilinearität in der zweiten Komponenten. Es gibt auch die andere Konvention.
Viele Begriffe und Aussagen übertragen sich mit leichten Abwandlungen von der reellen auf die komplexe Situation.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
${\mathbb C}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
zusammen mit einer
\definitionsverweis {Sesquilinearform}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{.} Es sei
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
von $V$. Dann heißt die
$n \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {\left\langle v_{ i } , v_{ j } \right\rangle _{ 1 \leq i , j \leq n }} { }
die \definitionswort {Gramsche Matrix}{} von
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} bezüglich dieser Basis.
}
Wenn die Gramsche Matrix zu einer Sesquilinearform
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} bezüglich einer Basis
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} gegeben ist, so kann man daraus
\mathl{\left\langle v , w \right\rangle}{} für beliebige Vektoren berechnen. Man schreibt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v
}
{ = }{ \sum_{i = 1}^n b_i v_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{w
}
{ = }{ \sum_{i= 1}^n c_i v_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und erhält mit dem allgemeinen Distributivgesetz
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \left\langle v , w \right\rangle
}
{ =} { \left\langle \sum_{i = 1}^n b_i v_i , \sum_{j = 1}^n c_j v_j \right\rangle
}
{ =} { \sum_{ 1 \leq i , j \leq n} b_i \overline{ c_j } \left\langle v_i , w_j \right\rangle
}
{ =} { \sum_{i = 1}^n b_i { \left( \sum_{j = 1 }^n \overline{ c_j } \left\langle v_i , w_j \right\rangle \right) }
}
{ =} { (b_1 , \ldots , b_n) G \begin{pmatrix} \overline{ c_1 } \\\vdots\\ \overline{ c_n } \end{pmatrix}
}
}
{}
{}{.}
Man erhält also den Wert der Bilinearform an zwei Vektoren, indem man die Gramsche Matrix auf das Koordinatentupel des zweiten Vektors anwendet und das Ergebnis
\zusatzklammer {ein Spaltenvektor} {} {}
mit dem Koordinatentupel des ersten Vektors als Zeilentupel von links multipliziert. Kurz und ungenau ist also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle v , w \right\rangle
}
{ =} { { v^{ \text{tr} } } G \overline{ w }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\inputfaktbeweis
{Sesquilinearform/Gramsche Matrix unter Basiswechsel/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
${\mathbb C}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
mit einer
\definitionsverweis {Sesquilinearform}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{.} Es seien
\mathkor {} {\mathfrak{ v } = v_1 , \ldots , v_n} {und} {\mathfrak{ w } = w_1 , \ldots , w_n} {}
zwei
\definitionsverweis {Basen}{}{}
von $V$ und es seien
\mathkor {} {G} {bzw.} {H} {}
die
\definitionsverweis {Gramschen Matrizen}{}{}
von
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} bezüglich dieser Basen.}
\faktvoraussetzung {Zwischen den Basiselementen gelte die Beziehungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{w_j
}
{ =} { \sum_{i = 1}^n a_{ij} v_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
die wir durch die
\definitionsverweis {Übergangsmatrix}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{A
}
{ = }{ { \left( a_{ij} \right) }_{i,j}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ausdrücken.}
\faktfolgerung {Dann besteht zwischen den Gramschen Matrizen die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{H
}
{ =} { { A^{ \text{tr} } } G \overline{ A }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \left\langle w_r , w_s \right\rangle
}
{ =} { \left\langle \sum_{j = 1}^n a_{rj} v_j , \sum_{k = 1}^n a_{sk} v_k \right\rangle
}
{ =} { \sum_{1 \leq j,k \leq n} a_{rj} \overline{ a_{sk} } \left\langle v_j , v_k \right\rangle
}
{ =} { \sum_{1 \leq j \leq n} a_{rj} { \left( \sum_{1 \leq k \leq n} \overline{ a_{sk} } \left\langle v_j , v_k \right\rangle \right) }
}
{ =} { { \left( { A^{ \text{tr} } } \circ { \left( G \circ \overline{ A } \right) } \right) }_{rs}
}
}
{}
{}{.}
\inputbemerkung
{}
{
Die Menge der Sesquilinearformen auf einem
${\mathbb C}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$V$ bilden einen ${\mathbb C}$-Vektorraum. Er wird mit
\mathl{\operatorname{Sesq}_{ } { \left( V \right) }}{} bezeichnet.
}
\zwischenueberschrift{Hermitesche Formen}
\inputdefinition
{}
{
Eine
\definitionsverweis {Sesquilinearform}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} auf einem
\definitionsverweis {komplexen Vektorraum}{}{}
$V$ heißt
\definitionswort {hermitesch}{,}
wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle v , u \right\rangle
}
{ =} { \overline{ \left\langle u , v \right\rangle }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mathl{u,v \in V}{} ist.
}
\inputdefinition
{}
{
Eine quadratische
\definitionsverweis {komplexe}{}{}
\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { (a_{ij})_{ij}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
heißt
\definitionswort {hermitesch}{,}
wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a_{ij}
}
{ =} { \overline{ a_{ji} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle $i,j$ gilt.
}