Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil I/Arbeitsblatt 17/latex

\setcounter{section}{17}

\zwischenueberschrift{Die Pausenaufgabe}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ eine \definitionsverweis {invertierbare}{}{} $n \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{.} Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \det { \left( M^{-1} \right) } }
{ =} { { \left( \det M \right) }^{-1} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $A$ eine $m \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{} und $B$ eine
\mathl{n \times k}{-}Matrix, wobei die Spalten von $B$ \definitionsverweis {linear abhängig}{}{} seien. Zeige, dass die Spalten von
\mathl{A \circ B}{} ebenfalls linear abhängig sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestätige den Determinantenmultiplikationssatz für die beiden Matrizen
\mathdisp {A = \begin{pmatrix} 5 & 7 \\ 2 & -4 \end{pmatrix} \text{ und } B = \begin{pmatrix} -3 & 1 \\ 6 & 5 \end{pmatrix}} { . }

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestätige den Determinantenmultiplikationssatz für die beiden Matrizen
\mathdisp {A = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 0 \\ 2 & 0 & 5 \\0 & 2 & -1 \end{pmatrix} \text{ und } B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 7 \\ 0 & 3 & 6 \\0 & -2 & -3 \end{pmatrix}} { . }

}
{} {}

Die nächsten Aufgaben verwenden die folgende Definition.

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a }
{ \in }{ K }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} heißt die \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabbeledisp {\varphi} {V} {V } {v} {av } {,} die \definitionswort {Streckung}{} \zusatzklammer {oder \definitionswort {Homothetie}{}} {} {} zum \stichwort {Streckungsfaktor} {} $a$.

\inputaufgabe
{}
{

Was ist die \definitionsverweis {Determinante}{}{} einer \definitionsverweis {Streckung}{}{} auf einem \definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestätige den Determinantenmultiplikationssatz für zwei \definitionsverweis {Streckungen}{}{} auf einem \definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{} \definitionsverweis {Vektorraum}{}{.}

}
{} {}

Die beiden folgenden Aufgaben verwenden den Begriff des Gruppenhomomorphismus.

Es seien \mathkor {} {(G, \circ, e_G)} {und} {(H, \circ, e_H)} {} \definitionsverweis {Gruppen}{}{.} Eine \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbdisp {\psi} {G} {H } {} heißt \definitionswort {Gruppenhomomorphismus}{,} wenn die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \psi( g \circ g') }
{ =} { \psi (g) \circ \psi (g') }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g,g' }
{ \in }{G }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gilt.

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \in }{ \N_+ }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Determinante}{}{} \maabbeledisp {} { \operatorname{GL}_{ n } \! { \left( K \right) } } { (K \setminus \{0\},\cdot, 1) } { M } { \det M } {,} ein \definitionsverweis {surjektiver}{}{} \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n,m }
{ \in }{ \N_+ }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \leq }{ m }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Definiere \definitionsverweis {injektive}{}{} \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismen}{}{} \maabbdisp {} { \operatorname{GL}_{ n } \! { \left( K \right) } } { \operatorname{GL}_{ m } \! { \left( K \right) } } {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n,r }
{ \in }{ \N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass die Abbildung \maabbeledisp {} { \operatorname{GL}_{ n } \! { \left( K \right) } } { (K \setminus \{0\},\cdot, 1) } { M } { \det M^r } {,} ein \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Betrachte die Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}} { . }
Zeige, dass diese Matrix einen \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} von $\Q^2$ nach $\Q^2$ und ebenso von \mathkor {} {\Z^2} {nach} {\Z^2} {} definiert. Untersuche diese beiden Gruppenhomomorphismen in Hinblick auf \definitionsverweis {Injektivität}{}{} und \definitionsverweis {Surjektivität}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ eine $n \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{} mit Einträgen aus $\Z$ und \maabbdisp {\varphi_M} {\Z^n} { \Z^n } {} der zugehörige \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{.} Zeige, dass $\varphi_M$ genau dann \definitionsverweis {bijektiv}{}{} ist, wenn die \definitionsverweis {Determinante}{}{} von $M$ gleich $1$ oder gleich $-1$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass man die \definitionsverweis {Determinante}{}{} nach jeder Zeile und nach jeder Spalte entwickeln kann.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Man berechne die \definitionsverweis {Determinante}{}{} der \definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 0 & 2 & 7 \\ 1 & 4 & 5 \\6 & 0 & 3 \end{pmatrix}} { , }
indem man die Matrix nach allen Spalten und nach allen Zeilen entwickle.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} und seien \maabb {\varphi, \psi} {V} {V } {} \definitionsverweis {lineare Abbildungen}{}{.} Zeige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \det \left( \varphi \circ \psi \right) }
{ = }{ \det \varphi \det \psi }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Löse das \definitionsverweis {lineare Gleichungssystem}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 6 & 4 \\ 5 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\x_2 \end{pmatrix} }
{ =} { \begin{pmatrix} 8 \\3 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit Hilfe der Cramerschen Regel.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Betrachte die Matrix
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ A }
{ =} { \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \\1 & 0 & 1 \end{pmatrix} }
{ \in} { \operatorname{Mat}_{ 3 } (\R) }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Löse das lineare Gleichungssystem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Ax }
{ = }{ (1,0,2)^t }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit Hilfe der Cramerschen Regel \zusatzklammer {man überlege sich natürlich vorher, ob man diese Regel überhaupt anwenden darf} {} {.}

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{(12 (3+1+1+1+2+2+2)}
{

Die \stichwort {Sarrusminante} {} einer $n \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{} berechnet sich, indem man die ersten $n-1$ Spalten der Matrix in der gleichen Reihenfolge an die Matrix anfügt und dann die $n$ Produkte der Hauptdiagonalen aufaddiert und die $n$ Produkte der Nebendiagonalen davon subtrahiert. Wir beschränken uns auf den Fall
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ = }{ 4 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Für eine Matrix
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M }
{ =} { \begin{pmatrix} a & b & c & d \\ e & f & g & h \\ l & m & n & p \\ q & r & s & t \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} betrachtet man also
\mathdisp {\begin{pmatrix} a & b & c & d & a & b & c \\ e & f & g & h & e & f & g \\ l & m & n & p & l & m & n \\ q & r & s & t & q & r & s\end{pmatrix}} { }
und die Sarrusminante ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{ sar}_{ } ^{ } { \left( M \right) } }
{ =} {afnt+bgpq+ch l r +dems -qmgd-rnha-speb-tlfc }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} \aufzaehlungsieben{Zeige, dass die Abbildung \maabbeledisp {\Psi} { \operatorname{Mat}_{ 4 } (K) } {K } { M } { \operatorname{ sar}_{ } ^{ } { \left( M \right) } } {,} \definitionsverweis {multilinear}{}{} \zusatzklammer {in den Zeilen der Matrix} {} {} ist. }{Zeige, dass für
\mathl{4 \times 4}{-}Matrizen, die eine Nullzeile enthalten, die Sarrusminante $0$ ist. }{Zeige, dass für
\mathl{4 \times 4}{-}Matrizen, die eine Nullspalte enthalten, die Sarrusminante $0$ ist. }{Zeige, dass für eine obere Dreiecksmatrix die Sarrusminante das Produkt der Diagonalelemente ist. }{Zeige, dass die Sarrusminante nicht alternierend ist. }{Man gebe ein Beispiel für eine invertierbare Matrix, deren Sarrusminante gleich $0$ ist. }{Man gebe ein Beispiel für eine nicht-invertierbare Matrix, deren Sarrusminante gleich $1$ ist. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Bestätige den Determinantenmultiplikationssatz für die beiden Matrizen
\mathdisp {A = \begin{pmatrix} 3 & 4 & 7 \\ 2 & 0 & -1 \\1 & 3 & 4 \end{pmatrix} \text{ und } B = \begin{pmatrix} -2 & 1 & 0 \\ 2 & 3 & 5 \\2 & 0 & -3 \end{pmatrix}} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Löse mit der Cramerschen Regel das \definitionsverweis {inhomogene lineare Gleichungssystem}{}{} \zusatzklammer {über $\Q$} {} {}
\mathdisp {\begin{matrix} 2 x +4 y +3 z & = & 3 \\ x +5 y +7 z & = & 3 \\ 3 x +5 y +2 z & = & 4 \, . \end{matrix}} { }

}
{} {}

\inputaufgabe
{8}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} \definitionsverweis {Vektorraum}{}{} über den \definitionsverweis {komplexen Zahlen}{}{} ${\mathbb C}$ und sei \maabbdisp {\varphi} {V } {V } {} eine ${\mathbb C}$-\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Wir betrachten $V$ auch als reellen Vektorraum der doppelten Dimension, worauf $\varphi$ auch eine reell-lineare Abbildung ist, die wir zur Unterscheidung mit $\psi$ bezeichnen. Zeige, dass zwischen der komplexen Determinante und der reellen Determinante die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { \det \varphi }^2 }
{ =} { \det \psi }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} besteht.

}
{} {}