Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil I/Arbeitsblatt 27/latex

\setcounter{section}{27}

\zwischenueberschrift{Die Pausenaufgabe}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} -2 & 4 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}} { }
\definitionsverweis {nilpotent}{}{} ist.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die komplexe Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 & { \mathrm i} \\ { \mathrm i} & -1 \end{pmatrix}} { }
\definitionsverweis {nilpotent}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten die \definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M }
{ =} {\begin{pmatrix} 0 & a & b & c & d \\ 0 & 0 & e & f & g \\ 0 & 0 & 0 & h & i \\ 0 & 0 & 0 & 0 & j \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} über einem \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$. Zeige, dass die fünfte \definitionsverweis {Potenz}{}{} von $M$ gleich $0$ ist, also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M^5 }
{ =} { MMMMM }
{ =} {0 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{A }
{ = }{ { \left( a_{ij} \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{B }
{ = }{ { \left( b_{ij} \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} quadratische Matrizen der Länge $n$. Es gelte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a_{ij} }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ j }
{ \leq }{i+d }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b_{ij} }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ j }
{ \leq }{i+e }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für gewisse
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d,e }
{ \in }{ \Z }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass die Einträge
\mathl{c_{ij}}{} des Produktes
\mathl{AB}{} die Bedingung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c_{ij} }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ j }
{ \leq }{ i+d+e+1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} erfüllen.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbdisp {D} { \R[X]_{\geq m}} { \R[X]_{\geq m} } {} die Einschränkung des \definitionsverweis {Ableitungsoperators}{}{}
\mathl{P \mapsto P'}{} auf die Polynome vom Grad
\mathl{\leq m}{.} Zeige, dass $D$ \definitionsverweis {nilpotent}{}{} ist. Zeige ebenfalls, dass \maabbdisp {D} { \R[X]} { \R[X] } {} nicht nilpotent ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} und \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} eine \definitionsverweis {injektive}{}{} \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Zeige, dass
\mathl{\varphi}{} nicht \definitionsverweis {nilpotent}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und es sei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Es sei \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} eine \definitionsverweis {nilpotente}{}{} \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi^n }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist, wobei $n$ die Dimension von $V$ bezeichnet.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und es sei $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Es sei \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} eine \definitionsverweis {nilpotente}{}{} \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Zeige, dass $0$ der einzige \definitionsverweis {Eigenwert}{}{} von $\varphi$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und es sei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Es sei \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} eine \definitionsverweis {nilpotente}{}{} \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{,} die auch \definitionsverweis {diagonalisierbar}{}{} sei. Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und es sei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Es sei \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} eine \definitionsverweis {nilpotente}{}{} \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Was ist die \definitionsverweis {Determinante}{}{} von $\varphi$?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und es sei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Es sei \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} eine \definitionsverweis {nilpotente}{}{} \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Was ist die \definitionsverweis {Spur}{}{} von $\varphi$?

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{.}

a) Charakterisiere die \definitionsverweis {nilpotenten}{}{} $2\times 2$-\definitionsverweis {Matrizen}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} x & y \\ z & w \end{pmatrix}} { }
über $K$ mit Hilfe von zwei Gleichungen in den Variablen
\mathl{x,y,z,w}{.}

b) Sind die Gleichungen linear?

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

a) Es sei $M$ eine $2 \times 2$-\definitionsverweis {Matrix}{}{,} die \definitionsverweis {trigonalisierbar}{}{,} aber weder \definitionsverweis {diagonalisierbar}{}{} noch \definitionsverweis {invertierbar}{}{} ist. Zeige, dass $M$ \definitionsverweis {nilpotent}{}{} ist.

b) Man gebe ein Beispiel einer $3 \times 3$-\definitionsverweis {Matrix}{}{} $M$, die trigonalisierbar, aber weder diagonalisierbar noch invertierbar, noch nilpotent ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Man gebe ein Beispiel für eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabb {\varphi} {K^3} {K^3 } {,} die \definitionsverweis {trigonalisierbar}{}{} ist, deren \definitionsverweis {Spur}{}{} und \definitionsverweis {Determinante}{}{} gleich $0$ ist, und die nicht \definitionsverweis {nilpotent}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die im Beweis zu Lemma 27.11 konstruierten Untervektorräume $U_i$ im Allgemeinen nicht $\varphi$-\definitionsverweis {invariant}{}{} sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und es sei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Es sei \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} eine \definitionsverweis {nilpotente}{}{} \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Der \definitionsverweis {Kern}{}{} von $\varphi$ sei eindimensional. Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ V_i }
{ =} { \operatorname{kern} \varphi^i }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und $s$ die minimale Zahl mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi^s }
{ =} {0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} \aufzaehlungdrei{Zeige, dass alle
\mathbed {V_i} {}
{1 \leq i \leq s} {}
{} {} {} {,} eine \definitionsverweis {direkte Zerlegung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V_i }
{ =} { V_{i-1} \oplus U_i }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit $U_i$ eindimensional haben. }{Zeige, dass die Einschränkungen \maabbdisp {\varphi} {U_i } { V_{i-1} } {} für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 1 }
{ < }{ i }
{ < }{ s }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} bijektiv sind. }{Zeige, dass $s$ mit der Dimension von $V$ übereinstimmt. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} ein \definitionsverweis {nilpotenter Endomorphismus}{}{} auf einem endlichdimensionalen $K$-\definitionsverweis {Vektor\-raum}{}{} $V$. Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V_i }
{ \defeq} { \operatorname{kern} \varphi^{i} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige, dass für die Dimensionsprünge die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \dim_{ K } { \left( V_i \right) } - \dim_{ K } { \left( V_i-1 \right) } }
{ \geq} { \dim_{ K } { \left( V_{i+1} \right) } - \dim_{ K } { \left( V_i \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass es eine Familie von (bis zu)
\mathl{2^{n-1}}{} verschiedenen $n \times n$-\definitionsverweis {Matrizen}{}{} mit der Eigenschaft gibt, dass jeder \definitionsverweis {nilpotente Endomorphismus}{}{} auf einem $n$-dimensionalen Vektorraum $V$ durch eine der Matrizen beschrieben werden kann.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass sich jeder \definitionsverweis {nilpotente Endomorphismus}{}{} auf einem vierdimensionalen Raum auf genau eine der folgenden Gestalten bringen lässt.
\mathdisp {\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \! , \, \!\! \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \! , \, \!\! \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \!, \, \!\! \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \! , \, \!\! \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}} { \!\!. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{v_1 , \ldots , v_6}{} eine \definitionsverweis {Basis}{}{} des $K$-\definitionsverweis {Vektorraumes}{}{} $V$ und \maabb {\varphi} {V} {V } {} eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{,} die durch
\mathdisp {v_1, v_2 \mapsto v_4, \, v_3, v_5 \mapsto v_6, \, v_4 \mapsto 0, \, v_6 \mapsto v_2} { }
festgelegt ist. \aufzaehlungvier{Begründe, warum $\varphi$ \definitionsverweis {nilpotent}{}{} ist. }{Bestimme das minimale $s$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\varphi^s }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Bestimme den Kern von $\varphi$. }{Finde eine Basis von $V$, bezüglich der $\varphi$ \definitionsverweis {jordansche Normalform}{}{} hat. }

}
{} {}

Die folgende Aufgabe verallgemeinert das Konzept, bei dem einer Permutation eine Permutationsmatrix zugeordnet wird.


\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten auf der Menge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ S }
{ =} { \{1 , \ldots , n,* \} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die Menge der Abbildungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ B }
{ =} { { \left\{ \pi:S \rightarrow S \mid \pi(*) = * \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \pi }
{ \in }{ B }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} assoziieren wir \zusatzklammer {bei einem fixierten Körper $K$} {} {} die lineare Abbildung \maabbdisp {\varphi_\pi} { K^n } { K^n } {,} die durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi_\pi (e_i) }
{ =} { \begin{cases} e_{\pi(i)}, \text{ falls } \pi(i) \neq *\, , \\ 0, \text{ falls } \pi(i) = * \, , \end{cases} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} festgelegt ist. Mit $M_\pi$ bezeichnen wir die zugehörige Matrix bezüglich der Standardbasis.

a) Erstelle die Matrix $M_\pi$ bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ = }{ 4 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für die folgenden $\pi$

(1) \wertetabellefuenfausteilzeilen { $x$ }
{\mazeileundfuenf {1} {2} {3} {4} {*} }
{ $\pi(x)$ }
{\mazeileundfuenf {2} {*} {3} {*} {*} }

(2) \wertetabellefuenfausteilzeilen { $x$ }
{\mazeileundfuenf {1} {2} {3} {4} {*} }
{ $\pi(x)$ }
{\mazeileundfuenf {*} {1} {2} {3} {*} }

(3) \wertetabellefuenfausteilzeilen { $x$ }
{\mazeileundfuenf {1} {2} {3} {4} {*} }
{ $\pi(x)$ }
{\mazeileundfuenf {*} {*} {*} {*} {*} }

(4) \wertetabellefuenfausteilzeilen { $x$ }
{\mazeileundfuenf {1} {2} {3} {4} {*} }
{ $\pi(x)$ }
{\mazeileundfuenf {2} {2} {2} {2} {*} }
b) Welche Eigenschaften gelten für die Spalten und für die Zeilen von $M_\pi$?
c) Für welche $\pi$ ist $M_\pi$ \definitionsverweis {bijektiv}{}{?}
d) Für welche $\pi$ ist $M_\pi$ \definitionsverweis {nilpotent}{}{?}
e) Welche Dimension besitzt der Kern von $M_\pi$?
f) Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M_{\pi \circ \rho} }
{ =} { M_\pi \circ M_\rho }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}
g) Zeige, dass jede nilpotente $n \times n$-Matrix $M$ \definitionsverweis {ähnlich}{}{} zu einer Matrix der Form $M_\pi$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} und \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} eine \definitionsverweis {nilpotente}{}{} \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Es sei \maabbdisp {\psi} {V} {V } {} eine weitere lineare Abbildung mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\psi \circ \varphi }
{ =} { \varphi \circ \psi }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige, dass $\psi \circ \varphi$ ebenfalls nilpotent ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Man gebe ein Beispiel für zwei \definitionsverweis {nilpotente}{}{} \definitionsverweis {lineare Abbildungen}{}{} \maabbdisp {\varphi, \psi} {K^2} {K^2 } {} derart, dass weder \mathkor {} {\varphi \circ \psi} {noch} {\varphi + \psi} {} nilpotent sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a }
{ \in }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {reelle Zahl}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { a } }
{ < }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Bekanntlich ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \lim_{n \rightarrow \infty} a^n }
{ =} {0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Ist die \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabbeledisp {} {\R} {\R } {x} {ax } {} \definitionsverweis {nilpotent}{}{?}

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{3}
{

Es sei $M$ eine $2 \times 2$-\definitionsverweis {Matrix}{}{} über einem \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$. Zeige, dass $M$ genau dann \definitionsverweis {nilpotent}{}{} ist, wenn sowohl die \definitionsverweis {Determinante}{}{} als auch die \definitionsverweis {Spur}{}{} von $M$ gleich $0$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{2}
{

Es sei \maabb {\varphi} {V} {V } {} eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V }
{ = }{U \oplus W }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die \definitionsverweis {direkte Summe}{}{} aus $\varphi$-\definitionsverweis {invarianten}{}{} Untervektorräumen. Zeige, dass $\varphi$ genau dann \definitionsverweis {nilpotent}{}{} ist, wenn \mathkor {} {\varphi {{|}}_U} {und} {\varphi {{|}}_W} {} nilpotent sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{5 (1+1+1+2)}
{

Es sei
\mathl{v_1 , \ldots , v_7}{} eine \definitionsverweis {Basis}{}{} des $\R$-\definitionsverweis {Vektorraumes}{}{} $V$ und \maabb {\varphi} {V} {V } {} eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{,} die durch
\mathdisp {v_3, v_2 \mapsto v_5, \, v_5 \mapsto 4 v_6, \, v_1, v_4 \mapsto 0, \, v_6 \mapsto 5 v_4,\, v_7 \mapsto 3 v_2} { }
festgelegt ist. \aufzaehlungvier{Begründe, warum $\varphi$ \definitionsverweis {nilpotent}{}{} ist. }{Bestimme das minimale $s$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\varphi^s }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Bestimme den Kern von $\varphi$. }{Finde eine Basis von $V$, bezüglich der $\varphi$ \definitionsverweis {jordansche Normalform}{}{} hat. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Es sei $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} mit einer \definitionsverweis {Basis}{}{}
\mathbed {v_n} {}
{n \in \N_+} {}
{} {} {} {.} Es sei \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} diejenige \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{,} die durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi(v_1) }
{ =} {0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi(v_n) }
{ =} {v_{n-1} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \geq }{ 2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} festgelegt ist. Ist $\varphi$ \definitionsverweis {nilpotent}{}{?}

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} und \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} \definitionsverweis {nilpotent}{}{.} Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\psi }
{ \defeq} { \operatorname{Id} + \varphi }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} \definitionsverweis {bijektiv}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Es sei $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} und \maabbdisp {\varphi, \psi} {V} {V } {} \definitionsverweis {nilpotente}{}{} \definitionsverweis {lineare Abbildungen}{}{,} die
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi \circ \psi }
{ =} { \psi \circ \varphi }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} erfüllen. Zeige, dass dann auch
\mathl{\psi + \varphi}{} nilpotent ist.

}
{} {}