Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil I/Vorlesung 27
In der letzten Vorlesung haben wir die Haupträume zu einem Eigenwert zu einem Endomorphismus als Kern von für einen hinreichend großen Exponenten eingeführt. Dies bedeutet insbesondere, dass wenn man auf den zugehörigen Hauptraum einschränkt, dann eine gewisse Potenz davon die Nullabbildung ist. Hier untersuchen wir generell Endomorphismen mit der Eigenschaft, dass eine gewisse Potenz davon die Nullabbildung ist.
- Nilpotente Abbildungen
Es sei ein Körper und ein - Vektorraum. Eine lineare Abbildung
heißt nilpotent, wenn es eine natürliche Zahl derart gibt, dass die -te Hintereinanderschaltung
ist.
Eine quadratische Matrix heißt nilpotent, wenn es eine natürliche Zahl derart gibt, dass das -te Matrixprodukt
ist.
Es sei eine obere Dreiecksmatrix, bei der alle Diagonalelemente seien. hat also die Gestalt
Dann ist nilpotent, und zwar bewegt sich mit jedem Potenzieren die -Hauptdiagonale nach rechts oben. Wenn man nämlich beispielsweise das Produkt für die -te Zeile und die -te Spalte mit
ausrechnet, so kommt in den Teilprodukten stets eine vor und das Ergebnis ist .
Ein Spezialfall zu Beispiel 27.3 ist die Matrix
Eine wichtige Beobachtung dabei ist, dass unter dieser Abbildung auf abgebildet wird, auf und schließlich auf , welches auf abgebildet wird. Die -te Potenz der Matrix bildet auf ab und ist nicht die Nullmatrix, die -te Potenz der Matrix ist die Nullmatrix.
Es sei ein Körper und es sei ein endlichdimensionaler - Vektorraum. Es sei
eine lineare Abbildung. Zu einem Eigenwert besitzt der Hauptraum die Eigenschaft, dass die Einschränkung von auf nilpotent ist.
Es sei ein Körper und ein endlichdimensionaler - Vektorraum. Es sei
eine lineare Abbildung. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
- ist nilpotent.
- Für jeden Vektor
gibt es ein
mit
- Es gibt eine
Basis
von und ein
mit
für .
- Es gibt ein
Erzeugendensystem
von und ein
mit
für .
Von (1) nach (2) ist klar. Von (2) nach (3). Es sei eine Basis (oder ein endliches Erzeugendensystem) und es sei mit
gegeben. Dann erfüllt
die Eigenschaft für jeden Erzeuger. Von (3) nach (4) ist klar. Von (4) nach (1). Zu ist
Aufgrund der Linearität von ist
also ist
Es sei ein Körper und es sei ein endlichdimensionaler - Vektorraum. Es sei
eine lineare Abbildung. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
- ist nilpotent
- Das Minimalpolynom zu ist eine Potenz von .
- Das charakteristische Polynom zu ist eine Potenz von .
Die Äquivalenz von (1) und (2) ergibt sich unmittelbar aus den Definitionen, die Äquivalenz von (2) und (3) ergibt sich aus Lemma 24.5.
Es sei ein Körper und es sei ein endlichdimensionaler - Vektorraum. Es sei
eine nilpotente lineare Abbildung.
Dann ist trigonalisierbar,
und zwar gibt es eine Basis, bezüglich der durch eine obere Dreiecksmatrix beschrieben wird, in der alle Diagonaleinträge sind.
Dies folgt direkt aus Lemma 27.7 und Satz 25.10.
- Die Jordanzerlegung zu einem nilpotenten Endomorphismen
Für einen nilpotenten Endomorphismus auf einem Vektorraum ist
es gibt also nur einen Hauptraum, und dieser ist der Gesamtraum. Wir werden jetzt zeigen, dass man eine beschreibende Matrix weiter (über die Dreiecksgestalt hinaus) verbessern kann.
Eine Matrix der Form
mit hat bezüglich der Basis und die Gestalt
Es sei ein Körper und es sei ein endlichdimensionaler - Vektorraum. Es sei
eine nilpotente lineare Abbildung. Es sei
und minimal mit dieser Eigenschaft.
Dann besteht zwischen den Untervektorräumen
die Beziehung
und die Inklusionen
sind echt für .
Es sei . Dann ist äquivalent zu , was die erste Behauptung bedeutet. Für die zweite Behauptung sei
für ein angenommen. Durch Anwendung von ergibt sich
In dieser Weise erhält man
im Widerspruch zur Minimalität von .
Es sei ein Körper und es sei ein endlichdimensionaler - Vektorraum. Es sei
eine nilpotente lineare Abbildung.
Dann gibt es eine Basis von mit
oder
Es sei
und minimal mit dieser Eigenschaft. Wir betrachten die Untervektorräume
Es sei ein direktes Komplement zu , also
Wegen Lemma 27.10 ist
und somit
Daher gibt es einen Untervektorraum von mit
und mit
In dieser Weise erhält man Untervektorräume mit
und mit
Ferner ist
da ja jeweils die vorhergehende direkte Summenzerlegung zunehmend verfeinert wird. Des weiteren ist eingeschränkt[1] auf mit injektiv. Zu ist ja wegen der Direktheit
Wir konstruieren nun eine Basis wie gewünscht. Dazu wählen wir zuerst eine Basis von . Das (linear unabhängige) Bild ergänzen wir zu einer Basis von und so weiter. Die Vereinigung dieser Basen ist dann eine Basis von . Die Basiselemente aus für werden nach Konstruktion auf andere Basiselemente abgebildet und die Basiselemente aus auf . Um eine Reihenfolge festzulegen, wählen wir ein Basiselement aus , gefolgt von all seinen sukzessiven Bildern, sodann ein weiteres Basiselement aus , gefolgt von all seinen sukzessiven Bildern, bis aufgebraucht ist. Dann arbeitet man in der gleichen Weise ab. In einem letzten Schritt vertauscht man die Reihenfolge der soeben konstruierten Basiselemente.
Es sei ein Körper und es sei ein endlichdimensionaler - Vektorraum. Es sei
eine nilpotente lineare Abbildung.
Dann gibt es eine Basis von , bezüglich der die beschreibende Matrix die Gestalt
besitzt, wobei die gleich oder gleich sind.
D.h., dass auf jordansche Normalform gebracht werden kann.
Dies folgt direkt aus Lemma 27.11.
Bei einer nilpotenten Abbildung auf einem zweidimensionalen Vektorraum handelt es sich um die Nullabbildung oder um eine nilpotente Abbildung mit einem eindimensionalen Kern. Im letzteren Fall erhält man für jedes Element
eine Basis
(in dieser Reihenfolge),
bezüglich der die beschreibende Matrix die Gestalt besitzt. Bei zunehmender Dimension werden die Möglichkeiten zunehmend zahlreicher und komplexer, wir besprechen abschließend typische Beispiele in der Dimension drei.
Wir wollen Lemma 27.11 auf
anwenden. Es ist
und
Somit ist
Es ist
sodass wir
wählen können. Es ist
Somit ist
mit
Schließlich ist
Daher ist
eine Basis wie gewünscht.
Die inverse Matrix zu
ist
und es ist
Wir wollen Lemma 27.11 auf
anwenden. Es ist
Somit ist
Es ist
sodass wir
wählen können. Es ist
Somit ist
Daher ist
eine Basis wie gewünscht. In dieser Basis wird die lineare Abbildung durch die Matrix
beschrieben.
Wir wollen Lemma 27.11 auf
anwenden. Es ist
Somit ist
Es ist
sodass wir
wählen können. Es ist
Somit ist
Daher ist
eine Basis wie gewünscht. In dieser Basis wird die lineare Abbildung durch die Matrix
beschrieben.
- Fußnoten
- ↑ Die Einschränkung als Abbildung nach ; die sind im Allgemeinen nicht -invariant.