Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil I/Arbeitsblatt 7/latex

\setcounter{section}{7}

\zwischenueberschrift{Die Pausenaufgabe}

\inputaufgabe
{}
{

Man gebe im $\R^3$ drei Vektoren an, sodass je zwei von ihnen \definitionsverweis {linear unabhängig}{}{} sind, aber alle drei zusammen linear abhängig.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Finde für die Vektoren
\mathdisp {\begin{pmatrix} 4 \\5 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 1 \\-4 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 8 \\7 \end{pmatrix}} { }
im $\Q^2$ eine nichttriviale Darstellung des Nullvektors.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Finde für die Vektoren
\mathdisp {\begin{pmatrix} 7 \\-5\\ 3 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} -4 \\1\\ -6 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 2 \\8\\ 0 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 5 \\-5\\ 8 \end{pmatrix}} { }
im $\Q^3$ eine nichttriviale Darstellung des Nullvektors.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Entscheide, ob die folgenden Vektoren \definitionsverweis {linear unabhängig}{}{} sind. \aufzaehlungvier{$(-1,1,-1)$, $(0,6,4)$, $(1,2,3)$, im $\R$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $\R^3$. }{$1+ { \mathrm i}$, $1+2{ \mathrm i}$ im $\R$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} ${\mathbb C}$. }{$1+{ \mathrm i}$, $1+2{ \mathrm i}$ im ${\mathbb C}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} ${\mathbb C}$. }{$1$, $\sqrt{3}$ im $\Q$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $\R$. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die drei Vektoren
\mathdisp {\begin{pmatrix} 0 \\1\\ 2\\1 \end{pmatrix},\, \begin{pmatrix} 4 \\3\\ 0\\2 \end{pmatrix},\, \begin{pmatrix} 1 \\7\\ 0\\-1 \end{pmatrix}} { }
im $\R^4$ \definitionsverweis {linear unabhängig}{}{} sind.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} und sei
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} eine Familie von Vektoren in $V$. Zeige, dass die Familie genau dann \definitionsverweis {linear unabhängig}{}{} ist, wenn es einen \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U }
{ \subseteq }{V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt, für den die Familie eine \definitionsverweis {Basis}{}{} bildet.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme eine \definitionsverweis {Basis}{}{} des \definitionsverweis {Untervektorraums}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ U }
{ =} { { \left\{ (x,y,z) \in \R^3 \mid x = z \right\} } }
{ \subset} { \R^3 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme eine \definitionsverweis {Basis}{}{} für den \definitionsverweis {Lösungsraum}{}{} der linearen Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 3x+4y-2z+5w }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme eine \definitionsverweis {Basis}{}{} für den \definitionsverweis {Lösungsraum}{}{} des linearen Gleichungssystems
\mathdisp {-2x+3y-z+4w = 0 \text{ und } 3z-2w =0} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass im $\R^3$ die drei Vektoren
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2 \\1\\ 5 \end{pmatrix} \, , \begin{pmatrix} 1 \\3\\ 7 \end{pmatrix} \, , \begin{pmatrix} 4 \\1\\ 2 \end{pmatrix}} { }
eine \definitionsverweis {Basis}{}{} bilden.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme, ob im ${\mathbb C}^2$ die beiden Vektoren
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2+7 { \mathrm i} \\3- { \mathrm i} \end{pmatrix} \text{ und } \begin{pmatrix} 15+26 { \mathrm i} \\13-7 { \mathrm i} \end{pmatrix}} { }
eine \definitionsverweis {Basis}{}{} bilden.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{.} Man finde ein \definitionsverweis {lineares Gleichungssystem}{}{} in drei Variablen, dessen Lösungsraum genau
\mathdisp {{ \left\{ \lambda \begin{pmatrix} 3 \\2\\ -5 \end{pmatrix} \mid \lambda \in K \right\} }} { }
ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Im $\R^3$ seien die beiden \definitionsverweis {Untervektorräume}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ U }
{ =} { { \left\{ s \begin{pmatrix} 2 \\1\\ 7 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 4 \\-2\\ 9 \end{pmatrix} \mid s,t \in \R \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ V }
{ =} { { \left\{ p \begin{pmatrix} 3 \\1\\ 0 \end{pmatrix} + q \begin{pmatrix} 5 \\2\\ -4 \end{pmatrix} \mid p,q \in \R \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gegeben. Bestimme eine Basis für
\mathl{U \cap V}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{,} $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} und
\mathbed {v_{ i }} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,} eine Familie von Vektoren in $V$. Beweise die folgenden Aussagen. \aufzaehlungsechs{Wenn die Familie \definitionsverweis {linear unabhängig}{}{} ist, so ist auch zu jeder Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ J }
{ \subseteq }{ I }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Familie
\mathbed {v_i} {,}
{i \in J} {}
{} {} {} {,} linear unabhängig. }{Die leere Familie ist linear unabhängig. }{Wenn die Familie den Nullvektor enthält, so ist sie nicht linear unabhängig. }{Wenn in der Familie ein Vektor mehrfach vorkommt, so ist sie nicht linear unabhängig. }{Ein Vektor $v$ ist genau dann linear unabhängig, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v }
{ \neq }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist. }{Zwei Vektoren \mathkor {} {v} {und} {u} {} sind genau dann linear unabhängig, wenn weder $u$ ein skalares Vielfaches von $v$ ist noch umgekehrt. }

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U }
{ \subseteq }{ \Q^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{.} Zeige, dass $U$ eine \definitionsverweis {Basis}{}{} aus Vektoren besitzt, deren Einträge allesamt ganze Zahlen sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{,} $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} und
\mathbed {v_{ i }} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,} eine Familie von Vektoren in $V$. Es sei
\mathbed {\lambda_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,} eine Familie von Elementen $\neq 0$ aus $K$. Zeige, dass die Familie
\mathbed {v_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,} genau dann \definitionsverweis {linear unabhängig}{}{} \zusatzklammer {ein \definitionsverweis {Erzeugendensystem}{}{} von $V$, eine \definitionsverweis {Basis}{}{} von $V$} {} {} ist, wenn dies für die Familie
\mathbed {\lambda_i v_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,} gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{,}
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} eine \definitionsverweis {Basis}{}{} von $V$ und \maabbeledisp {\psi_ \mathfrak{ v }} {K^n} { V } { \begin{pmatrix} s_1 \\\vdots\\ s_n \end{pmatrix} } { s_1 v_1 + s_2 v_2 + \cdots + s_n v_n } {,} die zugehörige bijektive Abbildung im Sinne von Bemerkung 7.12. Zeige, dass diese Abbildung die komponentenweise Addition im $K^n$ in die Vektoraddition in $V$ überführt, dass also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \psi_ \mathfrak{ v } { \left( \begin{pmatrix} s_1 \\\vdots\\ s_n \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} t_1 \\\vdots\\ t_n \end{pmatrix} \right) } }
{ =} { \psi_ \mathfrak{ v } \begin{pmatrix} s_1 \\\vdots\\ s_n \end{pmatrix} + \psi_ \mathfrak{ v } \begin{pmatrix} t_1 \\\vdots\\ t_n \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} eine \definitionsverweis {Basis}{}{} des $K^n$ und \maabbeledisp {\psi_ \mathfrak{ v }} {K^n} { K^n } { \begin{pmatrix} s_1 \\\vdots\\ s_n \end{pmatrix} } { s_1 v_1 + s_2 v_2 + \cdots + s_n v_n } {,} die zugehörige bijektive Abbildung im Sinne von Bemerkung 7.12. Zeige, dass diese Abbildung im Allgemeinen nicht mit der komponentenweisen Multiplikation im $K^n$ verträglich ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} und sei
\mathbed {v_n} {}
{n \in \N_+} {}
{} {} {} {,} eine \definitionsverweis {Basis}{}{} von $V$. Es sei
\mathbed {u_n} {}
{n \in \N_+} {}
{} {} {} {,} eine weitere Vektorenfamilie aus $V$. Für jedes
\mathl{n \in \N_+}{} gelte
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \langle v_1 , \ldots , v_n \rangle }
{ =} { \langle u_1 , \ldots , u_n \rangle }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige, dass auch
\mathbed {u_n} {}
{n \in \N_+} {}
{} {} {} {,} eine Basis von $V$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{\R[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $\R$. Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \in }{ \N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} setzen wir
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F_n }
{ =} { 1+2X+3X^2 + \cdots + (n+1)X^n }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige, dass
\mathbed {F_n} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {,} eine \definitionsverweis {Basis}{}{} des $\R[X]$ bildet.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Formuliere und beweise Satz 7.11 für eine beliebige \zusatzklammer {nicht notwendigerweise endliche} {} {} Vektorenfamilie
\mathbed {v_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Betrachte die reellen Zahlen $\R$ als $\Q$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Zeige, dass die Menge der reellen Zahlen $\ln p$, wobei $p$ durch die Menge der \definitionsverweis {Primzahlen}{}{} läuft, \definitionsverweis {linear unabhängig}{}{} ist. Tipp: Verwende, dass jede positive natürliche Zahl eine eindeutige Darstellung als Produkt von Primzahlen besitzt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Man mache sich an den folgenden Beispielen klar, dass der Satz von Hamel keineswegs selbstverständlich ist. \aufzaehlungdrei{Die reellen Zahlen $\R$ als $\Q$-Vektorraum betrachtet. }{Die Menge der reellen Folgen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\R^\N }
{ =} { { \left\{ { \left( x_n \right) }_{n \in \N } \mid x_n \in \R \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }{Die Menge aller stetigen Funktionen von $\R$ nach $\R$. }

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} und sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ V }
{ =} { K^{\N_+} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} der \definitionsverweis {Vektorraum}{}{} aller \definitionsverweis {Folgen}{}{} in $K$ \zusatzklammer {mit komponentenweiser Addition und Skalarmultiplikation} {} {.}

a) Zeige \zusatzklammer {ohne Sätze über konvergente Folgen zu verwenden} {} {,} dass die Menge der Nullfolgen, also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ U }
{ =} { { \left\{ (x_n)_{n \in \N_+} \mid (x_n)_{n \in \N_+} \text{ konvergiert gegen 0} \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ein $K$-\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{} von $V$ ist.

b) Sind die beiden Folgen
\mathdisp {( 1/n)_{ n \in \N_+} \text{ und } (1/n^2)_{ n \in \N_+}} { }
\definitionsverweis {linear unabhängig}{}{} in $V$?

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{2}
{

Bestimme, ob im $\R^3$ die drei Vektoren
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2 \\3\\ -5 \end{pmatrix} \, , \begin{pmatrix} 9 \\2\\ 6 \end{pmatrix} \, ,\begin{pmatrix} -1 \\4\\ -1 \end{pmatrix}} { }
eine \definitionsverweis {Basis}{}{} bilden.

}
{} {}

\inputaufgabe
{2}
{

Bestimme, ob im ${\mathbb C}^2$ die beiden Vektoren
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2-7 { \mathrm i} \\-3+2 { \mathrm i} \end{pmatrix} \text{ und } \begin{pmatrix} 5+6 { \mathrm i} \\3-17 { \mathrm i} \end{pmatrix}} { }
eine \definitionsverweis {Basis}{}{} bilden.

}
{} {}

\inputaufgabe
{2}
{

Zeige, dass im Raum der $m \times n$-\definitionsverweis {Matrizen}{}{}
\mathl{\operatorname{Mat}_{ m \times n } (K)}{} die Matrizen
\mathl{E_{ij}}{,} die genau an der Stelle $(i,j)$ den Eintrag $1$ und sonst überall den Eintrag $0$ haben, eine \definitionsverweis {Basis}{}{} bilden.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Es sei $\Q^n$ der $n$-\definitionsverweis {dimensionale}{}{} Standardraum über $\Q$ und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v_1 , \ldots , v_n }
{ \in }{\Q^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine Familie von $n$ Vektoren. Zeige, dass diese Familie genau dann eine $\Q$-\definitionsverweis {Basis}{}{} des $\Q^n$ ist, wenn diese Familie aufgefasst im $\R^n$ eine $\R$-Basis des $\R^n$ bildet.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathdisp {\begin{pmatrix} a_1 \\\vdots\\ a_n \end{pmatrix} \in K^n} { }
ein von $0$ verschiedener Vektor. Man finde ein \definitionsverweis {lineares Gleichungssystem}{}{} in $n$ Variablen mit $n-1$ Gleichungen, dessen Lösungsraum genau
\mathdisp {{ \left\{ \lambda \begin{pmatrix} a_1 \\\vdots\\ a_n \end{pmatrix} \mid \lambda \in K \right\} }} { }
ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Es sei
\mathl{\R[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $\R$. Wir setzen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P_0 }
{ = }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} und für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \in }{ \N_+ }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} setzen wir
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ P_n }
{ =} { (X-1)(X-2) \cdots (X-n) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige, dass
\mathbed {P_n} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {,} eine \definitionsverweis {Basis}{}{} des $\R[X]$ bildet.

}
{} {Tipp: Verwende Aufgabe 7.19}