Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil I/Vorlesung 9/latex
\setcounter{section}{9}
\epigraph { Ich will jeden Spieler jeden Tag ein bisschen besser machen. } { Jürgen Klinsmann }
\zwischenueberschrift{Basiswechsel}
Wir wissen nach Satz 8.4, dass in einem endlichdimensionalen Vektorraum je zwei Basen die gleiche Länge haben, also die gleiche Anzahl von Basisvektoren besitzen. Jeder Vektor besitzt bezüglich einer jeden Basis eindeutig bestimmte Koordinaten \zusatzklammer {oder Koeffizienten} {} {.} Wie verhalten sich diese Koordinaten zu zwei Basen untereinander? Dies beantwortet die folgende Aussage.
\inputfaktbeweis
{Vektorraum/Endlichdimensional/Basiswechsel/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und $V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} der
\definitionsverweis {Dimension}{}{}
$n$. Es seien
\mathkor {} {\mathfrak{ v } = v_1 , \ldots , v_n} {und} {\mathfrak{ w } = w_1 , \ldots , w_n} {}
zwei
\definitionsverweis {Basen}{}{}
von $V$.}
\faktvoraussetzung {Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v_j
}
{ =} { \sum_{ i = 1 }^{ n } c_{ij} w_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit den Koeffizienten
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c_{ij}
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
die wir zur
$n \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } }
}
{ =} { { \left( c_{ij} \right) }_{ij}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
zusammenfassen.}
\faktfolgerung {Dann hat ein Vektor $u$, der bezüglich der Basis $\mathfrak{ v }$ die Koordinaten $\begin{pmatrix} s_{1 } \\ \vdots\\ s_{ n } \end{pmatrix}$ besitzt, bezüglich der Basis $\mathfrak{ w }$ die Koordinaten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\begin{pmatrix} t _{1 } \\ \vdots\\ t _{ n } \end{pmatrix}
}
{ =} { M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } } \begin{pmatrix} s_{1 } \\ \vdots\\ s_{ n } \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} c_{11 } & c_{1 2} & \ldots & c_{1 n } \\
c_{21 } & c_{2 2} & \ldots & c_{2 n } \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ c_{ n 1 } & c_{ n 2 } & \ldots & c_{ n n } \end{pmatrix} \begin{pmatrix} s_{1 } \\ \vdots\\ s_{ n } \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt direkt aus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{u
}
{ =} { \sum_{ j = 1 }^{ n } s_j v_j
}
{ =} { \sum_{ j = 1 }^{ n } s_j { \left( \sum_{ i = 1 }^{ n } c_{ij} w_i \right) }
}
{ =} { \sum_{ i = 1 }^{ n } { \left( \sum_{ j = 1 }^{ n } s_j c_{ij} \right) } w_i
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und der Definition der
\definitionsverweis {Matrizenmultiplikation}{}{.}
Wenn wir die zu einer Basis $\mathfrak{ v }$ gehörende bijektive Abbildung
\zusatzklammer {siehe
Bemerkung 7.12} {} {}
\maabbdisp {\Psi_ \mathfrak{ v }} {K^n} {V
} {}
betrachten, so kann man die vorstehende Aussage auch so ausdrücken, dass das Dreieck
\mathdisp {\begin{matrix}K^n & \stackrel{ M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } } }{\longrightarrow} & K^n & \\ & \!\!\! \!\! \Psi_ \mathfrak{ v } \searrow & \downarrow \Psi_ \mathfrak{ w } \!\!\! \!\! & \\ & & V & \!\!\!\!\! \!\!\! \\ \end{matrix}} { }
kommutiert\zusatzfussnote {Die Kommutativität eines solchen Pfeil- bzw. Abbildungsdiagramms besagt einfach, dass die zusammengesetzen Abbildungen übereinstimmen, wenn ihre Definitionsmengen und ihre Wertemengen übereinstimmen. In diesem Fall heißt es einfach nur
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Psi_ \mathfrak{ v }
}
{ = }{ \Psi_ \mathfrak{ w } \circ M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {.} {.}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und $V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} der
\definitionsverweis {Dimension}{}{}
$n$. Es seien
\mathkor {} {\mathfrak{ v } = v_1 , \ldots , v_n} {und} {\mathfrak{ w } = w_1 , \ldots , w_n} {}
zwei
\definitionsverweis {Basen}{}{}
von $V$. Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ v_j
}
{ =} { \sum_{ i = 1 }^{ n } c_{ij} w_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit den Koeffizienten
\mathl{c_{ij} \in K}{.} Dann nennt man die
$n \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } }
}
{ =} {(c_{ij})_{ij}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die \definitionswort {Übergangsmatrix}{} zum Basiswechsel von $\mathfrak{ v }$ nach $\mathfrak{ w }$.
} Statt Übergangsmatrix sagt man auch \stichwort {Transformationsmatrix} {.}
\inputbemerkung
{}
{
In der $j$-ten Spalte der
\definitionsverweis {Transformationsmatrix}{}{}
\mathl{M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } }}{} stehen die Koordinaten von $v_j$ bezüglich der Basis $\mathfrak{ w }$. Der Vektor $v_j$ hat bezüglich der Basis $\mathfrak{ v }$ die Koordinaten $e_j$, und wenn man die Matrix auf $e_j$ anwendet, erhält man die $j$-te Spalte der Matrix, und diese ist eben das Koordinatentupel von $v_j$ in der Basis $\mathfrak{ w }$. Bei einem eindimensionalen Raum mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v
}
{ =} {cw
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } }
}
{ = }{ c
}
{ = }{ { \frac{ v }{ w } }
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wobei der Bruch in der Tat wohldefiniert ist und wodurch man sich die Reihenfolge der Basen in dieser Schreibweise merken kann. Eine weitere Beziehung ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \mathfrak{ v }
}
{ =} { { { \left( M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } } \right) } ^{ \text{tr} } } \mathfrak{ w }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei hier die Matrix aber nicht auf ein $n$-Tupel aus $K$, sondern auf ein $n$-Tupel aus $V$ angewendet wird und sich ein neues $n$-Tupel aus $V$ ergibt. Dies könnte man als Argument dafür ansehen, die Übergangsmatrix direkt als ihre Transponierte anzusetzen, doch betrachtet man das in
Lemma 9.1
beschriebene Transformationsverhalten als ausschlaggebend.
Wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V
}
{ =} {K^n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und $\mathfrak{ e }$ die Standardbasis davon ist und $\mathfrak{ v }$ eine weitere Basis, so erhält man die Übergangsmatrix
\mathl{M^{ \mathfrak{ e } }_{ \mathfrak{ v } }}{} von $\mathfrak{ e }$ nach $\mathfrak{ v }$, indem man $e_j$ als Linearkombination der Basisvektoren
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} ausdrückt und die entsprechenden Tupel als Spalten nimmt. Dagegen besteht
\mathl{M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ e } }}{} einfach aus den
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} als Spalten geschrieben.
}
\inputbeispiel{}
{
Wir betrachten im $\R^2$ die
\definitionsverweis {Standardbasis}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \mathfrak{ u }
}
{ =} { \begin{pmatrix} 1 \\0 \end{pmatrix} , \, \begin{pmatrix} 0 \\1 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und die Basis
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \mathfrak{ v }
}
{ =} { \begin{pmatrix} 1 \\2 \end{pmatrix} , \, \begin{pmatrix} -2 \\3 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Basisvektoren von $\mathfrak{ v }$ lassen sich direkt mit der Standardbasis ausdrücken, nämlich
\mathdisp {v_1= \begin{pmatrix} 1 \\2 \end{pmatrix} = 1 \begin{pmatrix} 1 \\0 \end{pmatrix} + 2 \begin{pmatrix} 0 \\1 \end{pmatrix} \text{ und } v_2= \begin{pmatrix} -2 \\3 \end{pmatrix} = -2 \begin{pmatrix} 1 \\0 \end{pmatrix} + 3 \begin{pmatrix} 0 \\1 \end{pmatrix}} { . }
Daher erhält man sofort
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ u } }
}
{ =} { \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zum Beispiel hat der Vektor, der bezüglich $\mathfrak{ v }$ die
\definitionsverweis {Koordinaten}{}{}
\mathl{(4,-3)}{} besitzt, bezüglich der Standardbasis $\mathfrak{ u }$ die Koordinaten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ u } } \begin{pmatrix} 4 \\-3 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 \\-3 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 10 \\-1 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Übergangsmatrix
\mathl{M^{ \mathfrak{ u } }_{ \mathfrak{ v } }}{} ist schwieriger zu bestimmen: Dazu müssen wir die Standardvektoren als
\definitionsverweis {Linearkombinationen}{}{}
von
\mathkor {} {v_1} {und} {v_2} {}
ausdrücken. Eine direkte Rechnung
\zusatzklammer {dahinter steckt das simultane Lösen von zwei linearen Gleichungssystemen} {} {}
ergibt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 1 \\0 \end{pmatrix}
}
{ =} { { \frac{ 3 }{ 7 } } \begin{pmatrix} 1 \\2 \end{pmatrix} - { \frac{ 2 }{ 7 } } \begin{pmatrix} -2 \\3 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 0 \\1 \end{pmatrix}
}
{ =} { { \frac{ 2 }{ 7 } } \begin{pmatrix} 1 \\2 \end{pmatrix} + { \frac{ 1 }{ 7 } } \begin{pmatrix} -2 \\3 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Somit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M^{ \mathfrak{ u } }_{ \mathfrak{ v } }
}
{ =} { \begin{pmatrix} { \frac{ 3 }{ 7 } } & { \frac{ 2 }{ 7 } } \\ - { \frac{ 2 }{ 7 } } & { \frac{ 1 }{ 7 } } \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{Basiswechsel/Drei Basen/Hintereinanderschaltung/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und $V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} der
\definitionsverweis {Dimension}{}{}
$n$. Es seien
\mathkor {} {\mathfrak{ u } = u_1 , \ldots , u_n ,\, \mathfrak{ v } = v_1 , \ldots , v_n} {und} {\mathfrak{ w } = w_1 , \ldots , w_n} {}
\definitionsverweis {Basen}{}{}
von $V$.}
\faktfolgerung {Dann stehen die
\definitionsverweis {Übergangsmatrizen}{}{}
zueinander in der Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M^{ \mathfrak{ u } }_{ \mathfrak{ w } }
}
{ =} { M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } } \circ M^{ \mathfrak{ u } }_{ \mathfrak{ v } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {Insbesondere ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M^{ \mathfrak{ u } }_{ \mathfrak{ v } } \circ M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ u } }
}
{ =} { E_n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 9.9. }
\zwischenueberschrift{Summe von Untervektorräumen}
\inputdefinition
{}
{
Zu einem
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
und einer Familie
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U_1 , \ldots , U_n
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
von
\definitionsverweis {Untervektorräumen}{}{}
definiert man die
\definitionswort {Summe dieser Untervektorräume}{}
durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ U_1 + \cdots + U_n
}
{ =} { { \left\{ u_1 + \cdots + u_n \mid u _i \in U_i \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
Diese Summe ist stets wieder ein Untervektorraum. Bei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V
}
{ =} { U_1 + \cdots + U_n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
sagt man, dass $V$ die Summe der Untervektorräume
\mathl{U_1 , \ldots , U_n}{} ist. Der folgende Satz drückt eine wichtige Beziehung zwischen der Dimension der Summe von zwei Untervektorräumen und der Dimension ihres Durchschnitts aus.
\inputfaktbeweis
{Untervektorraum/Summe und Durchschnitt/Dimensionsvergleich/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und
$V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektor\-raum}{}{.} Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U_1,U_2
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {Untervektorräume}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \dim_{ K } { \left( U_1 \right) } + \dim_{ K } { \left( U_2 \right) }
}
{ =} { \dim_{ K } { \left( U_1 \cap U_2 \right) } + \dim_{ K } { \left( U_1 + U_2 \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei
\mathl{w_1 , \ldots , w_k}{} eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
von
\mathl{U_1 \cap U_2}{.} Diese ergänzen wir gemäß
Satz 8.12
einerseits zu einer Basis
\mathl{w_1 , \ldots , w_k, u_1 , \ldots , u_n}{} von $U_1$ und andererseits zu einer Basis
\mathl{w_1 , \ldots , w_k, v_1 , \ldots , v_m}{} von $U_2$. Dann ist
\mathdisp {w_1 , \ldots , w_k, u_1 , \ldots , u_n , v_1 , \ldots , v_m} { }
ein
\definitionsverweis {Erzeugendensystem}{}{}
von
\mathl{U_1+U_2}{.} Wir behaupten, dass es sich sogar um eine Basis handelt. Es sei dazu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a_1w_1 + \cdots + a_k w_k + b_1 u_1 + \cdots + b_n u_n + c_1 v_1 + \cdots + c_mv_m
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daraus ergibt sich, dass das Element
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{ a_1w_1 + \cdots + a_k w_k + b_1 u_1 + \cdots + b_n u_n
}
{ =} {- c_1 v_1 - \cdots - c_mv_m
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
zu
\mathl{U_1 \cap U_2}{} gehört. Daraus folgt direkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b_i
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ i
}
{ = }{ 1 , \ldots , n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c_j
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ j
}
{ = }{ 1 , \ldots , m
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Somit ergibt sich dann auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a_\ell
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle $\ell$. Also liegt
\definitionsverweis {lineare Unabhängigkeit}{}{}
vor. Insgesamt ist also
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \dim_{ K } { \left( U_1 \cap U_2 \right) } + \dim_{ K } { \left( U_1 + U_2 \right) }
}
{ =} { k + k +n +m
}
{ =} { k+n +k+m
}
{ =} { \dim_{ K } { \left( U_1 \right) } + \dim_{ K } { \left( U_2 \right) }
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Der Durchschnitt von zwei Ebenen im $\R^3$ ist \anfuehrung{im Normalfall}{} eine Gerade, und die Ebene selbst, wenn zweimal die gleiche Ebene genommen wird, aber niemals nur ein Punkt. Diese Gesetzmäßigkeit kommt in der folgenden Aussage zum Ausdruck.
\inputfaktbeweis
{Untervektorraum/Durchschnitt/Dimensionsabschätzung/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und
$V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektor\-raum}{}{} der
\definitionsverweis {Dimension}{}{}
$n$ und es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U_1,U_2
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {Untervektorräume}{}{}
der Dimension
\mathkor {} {\dim_{ K } { \left( U_1 \right) } = n-k_1} {bzw.} {\dim_{ K } { \left( U_2 \right) } = n-k_2} {.}}
\faktfolgerung {Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \dim_{ K } { \left( U_1 \cap U_2 \right) }
}
{ \geq} { n-k_1 -k_2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Nach
Satz 9.7
ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \dim_{ K } { \left( U_1 \cap U_2 \right) }
}
{ =} { \dim_{ K } { \left( U_1 \right) } + \dim_{ K } { \left( U_2 \right) } - \dim_{ K } { \left( U_1 +U_2 \right) }
}
{ =} { n-k_1 + n-k_2 - \dim_{ K } { \left( U_1 +U_2 \right) }
}
{ \geq} { n-k_1 + n-k_2 -n
}
{ =} { n-k_1-k_2
}
}
{}
{}{.}
Übrigens nennt man zu einem Untervektoraum
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Differenz
\mathl{\dim_{ K } { \left( V \right) } - \dim_{ K } { \left( U \right) }}{} auch die \stichwort {Kodimension} {} von $U$ in $V$. Mit diesem Begriff kann man die obige Aussage so formulieren, dass die Kodimension eines Durchschnitts von Untervektorräumen höchstens gleich der Summe der beiden Kodimensionen ist.
\inputfaktbeweis
{Homogenes lineares Gleichungssystem/Dimensionsabschätzung/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei ein
\definitionsverweis {homogenes lineares Gleichungssystem}{}{}
aus $k$ Gleichungen in $n$ Variablen gegeben.}
\faktfolgerung {Dann ist die
\definitionsverweis {Dimension}{}{}
des Lösungsraumes des Systems mindestens gleich
\mathl{n-k}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Der Lösungsraum einer linearen Gleichung in $n$ Variablen besitzt die Dimension $n-1$ oder $n$. Der Lösungsraum des Systems ist der Durchschnitt der Lösungsräume der einzelnen Gleichungen. Daher folgt die Aussage durch mehrfache Anwendung von Korollar 9.8 auf die einzelnen Lösungsräume.
\zwischenueberschrift{Direkte Summe}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und $V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Es sei
\mathl{U_1 , \ldots , U_m}{} eine Familie von
\definitionsverweis {Untervektorräumen}{}{}
von $V$. Man sagt, dass $V$ die \definitionswort {direkte Summe}{} der
\mathl{U_i}{} ist, wenn die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind.
\aufzaehlungzwei {Jeder Vektor
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
besitzt eine Darstellung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v
}
{ =} {u_1+u_2 + \cdots + u_m
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u_i
}
{ \in }{ U_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
} {
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U_i \cap { \left( \sum_{j \neq i} U_j \right) }
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle $i$.
}
}
Wenn die Summe der $U_i$ direkt ist, schreiben wir statt
\mathl{U_1 + \cdots + U_m}{} auch
\mathl{U_1 \oplus \cdots \oplus U_m}{.} Bei zwei Untervektorräumen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ U_1,U_2
}
{ \subseteq} { V
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
bedeutet die zweite Bedingung einfach
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U_1 \cap U_2
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
\inputbeispiel{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
mit einer
\definitionsverweis {Basis}{}{}
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{.} Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\{ 1 , \ldots , n\}
}
{ =} {I_1 \uplus \ldots \uplus I_k
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {disjunkte Zerlegung}{}{}
der Indexmenge. Es seien
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{U_j
}
{ =} { \langle v_i ,\, i \in I_j \rangle
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die durch die Teilfamilien
\definitionsverweis {erzeugten}{}{}
\definitionsverweis {Untervektorräume}{}{.}
Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V
}
{ =} { U_1 \oplus \cdots \oplus U_k
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Der Extremfall
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ I_j
}
{ = }{ \{j\}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ergibt die direkte Summe
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V
}
{ =} { K v_1 \oplus \cdots \oplus K v_n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit eindimensionalen Untervektorräumen.
}
\inputfaktbeweis
{Vektorraum/Endlichdimensional/Unterraum/Direktes Komplement/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gibt es einen Untervektorraum
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ W
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass eine
\definitionsverweis {direkte Summenzerlegung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ V
}
{ =} { U \oplus W
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
vorliegt.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei
\mathl{v_1 , \ldots , v_k}{} eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
von $U$. Diese können wir nach
Satz 8.12
zu einer Basis
\mathl{v_1 , \ldots , v_k, v_{k+1} , \ldots , v_n}{} von $V$ ergänzen. Dann erfüllt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{W
}
{ =} { \langle v_{k+1} , \ldots , v_n \rangle
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die gewünschten Eigenschaften.
In der vorstehenden Aussage heißt $W$ ein \stichwort {direktes Komplement} {} zu $U$
\zusatzklammer {in $V$} {} {.}
Es gibt im Allgemeinen viele verschiedene direkte Komplemente.
\zwischenueberschrift{Direkte Summe und Produkt}
Wir erinnern daran, dass man zu einer Familie
\mathbed {M_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
von Mengen $M_i$ die
\definitionsverweis {Produktmenge}{}{}
\mathl{\prod_{i \in I} M_i}{} definieren kann. Wenn alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M_i
}
{ = }{ V_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$ sind, so handelt es sich hierbei mit komponentenweiser Addition und Skalarmultiplikation wieder um einen $K$-Vektorraum. Man spricht dann vom \stichwort {direkten Produkt der Vektorräume} {.} Wenn es sich immer um den gleichen Raum handelt,
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M_i
}
{ = }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
so schreibt man dafür auch
\mathl{V^{I}}{.} Das ist einfach der Abbildungsraum
\mathl{\operatorname{Abb} \, { \left( I , V \right) }}{.}
Den Vektorraum $V_j$ findet man im direkten Produkt als Untervektorraum wieder, und zwar als die Menge der Tupel
\mathdisp {(x_i)_{i \in I} \text{ mit } x_i = 0 \text{ für alle } i \neq j} { . }
Die Menge all dieser, jeweils an nur einer Stelle von $0$ verschiedenen, Tupel erzeugt einen Untervektorraum, der bei unendlichem $I$ nicht das ganze direkte Produkt ist.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $I$ eine Menge und $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{.}
Zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ i
}
{ \in }{ I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sei ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$V_i$ gegeben. Dann nennt man die Menge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \bigoplus_{i \in I} V_i
}
{ =} { { \left\{ (v_i)_{ i \in I} \mid v_i \in V_i , \, v_i \neq 0 \text{ für nur endlich viele } i \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die \definitionswort {direkte Summe}{} der $V_i$.
}
Wenn es sich stets um den gleichen Vektorraum handelt, so schreibt man für diese direkte Summe
\mathl{V^{(I)}}{.} Es ist also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ V^{(I)}
}
{ \subseteq} {V^{I}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein Untervektorraum. Bei endlichem $I$ gibt es keinen Unterschied, für unendliche Indexmengen ist die Inklusion aber echt. Beispielsweise ist
\mathl{\R^\N}{} der Folgenraum, dagegen besteht
\mathl{\R^{(\N)}}{} nur aus der Menge aller Folgen, für die nur endlich viele Glieder von $0$ verschieden sind. Der
\definitionsverweis {Polynomring}{}{}
\mathl{K[X]}{} ist in diesem Sinne die direkte Summe aus den
\mathl{KX^n,\, n \in \N}{.} Jeder $K$-Vektorraum mit einer
\definitionsverweis {Basis}{}{}
\mathbed {v_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
ist \anfuehrung{isomorph}{} zur direkten Summe
\mathl{\bigoplus_{i \in I} Kv_i}{.}