Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil I/Vorlesung 9

„Ich will jeden Spieler jeden Tag ein bisschen besser machen.“

Jürgen Klinsmann

Basiswechsel

Wir wissen nach Satz 8.4, dass in einem endlichdimensionalen Vektorraum je zwei Basen die gleiche Länge haben, also die gleiche Anzahl von Basisvektoren besitzen. Jeder Vektor besitzt bezüglich einer jeden Basis eindeutig bestimmte Koordinaten (oder Koeffizienten). Wie verhalten sich diese Koordinaten zu zwei Basen untereinander? Dies beantwortet die folgende Aussage.

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum der Dimension ${}n$. Es seien ${}{\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$ und ${}{\mathfrak {w}}=w_{1},\ldots ,w_{n}$ zwei Basen von ${}V$. Es sei

${}v_{j}=\sum _{i=1}^{n}c_{ij}w_{i}\,$

mit den Koeffizienten ${}c_{ij}\in K$, die wir zur ${}n\times n$- Matrix

${}M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}={\left(c_{ij}\right)}_{ij}\,$

zusammenfassen.

Dann hat ein Vektor ${}u$, der bezüglich der Basis ${}{\mathfrak {v}}$ die Koordinaten ${}{\begin{pmatrix}s_{1}\\\vdots \\s_{n}\end{pmatrix}}$ besitzt, bezüglich der Basis ${}{\mathfrak {w}}$ die Koordinaten

${}{\begin{pmatrix}t_{1}\\\vdots \\t_{n}\end{pmatrix}}=M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}{\begin{pmatrix}s_{1}\\\vdots \\s_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}c_{11}&c_{12}&\ldots &c_{1n}\\c_{21}&c_{22}&\ldots &c_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\c_{n1}&c_{n2}&\ldots &c_{nn}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}s_{1}\\\vdots \\s_{n}\end{pmatrix}}\,.$

Beweis

Dies folgt direkt aus

${}u=\sum _{j=1}^{n}s_{j}v_{j}=\sum _{j=1}^{n}s_{j}{\left(\sum _{i=1}^{n}c_{ij}w_{i}\right)}=\sum _{i=1}^{n}{\left(\sum _{j=1}^{n}s_{j}c_{ij}\right)}w_{i}\,$

und der Definition der Matrizenmultiplikation.

$\Box$

Wenn wir die zu einer Basis ${}{\mathfrak {v}}$ gehörende bijektive Abbildung (siehe Bemerkung 7.12)

$\Psi _{\mathfrak {v}}\colon K^{n}\longrightarrow V$

betrachten, so kann man die vorstehende Aussage auch so ausdrücken, dass das Dreieck

${\begin{matrix}K^{n}&{\stackrel {M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}}{\longrightarrow }}&K^{n}&\\&\!\!\!\!\!\Psi _{\mathfrak {v}}\searrow &\downarrow \Psi _{\mathfrak {w}}\!\!\!\!\!&\\&&V&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

kommutiert.

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum der Dimension ${}n$. Es seien ${}{\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$ und ${}{\mathfrak {w}}=w_{1},\ldots ,w_{n}$ zwei Basen von ${}V$. Es sei

${}v_{j}=\sum _{i=1}^{n}c_{ij}w_{i}\,$

mit den Koeffizienten ${}c_{ij}\in K$. Dann nennt man die ${}n\times n$- Matrix

${}M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}=(c_{ij})_{ij}\,$

die Übergangsmatrix zum Basiswechsel von ${}{\mathfrak {v}}$ nach ${}{\mathfrak {w}}$.

Statt Übergangsmatrix sagt man auch Transformationsmatrix oder Basiswechselmatrix.

Bemerkung  

In der ${}j$-ten Spalte der Transformationsmatrix ${}M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}$ stehen die Koordinaten von ${}v_{j}$ bezüglich der Basis ${}{\mathfrak {w}}$. Der Vektor ${}v_{j}$ hat bezüglich der Basis ${}{\mathfrak {v}}$ die Koordinaten ${}e_{j}$, und wenn man die Matrix auf ${}e_{j}$ anwendet, erhält man die ${}j$-te Spalte der Matrix, und diese ist eben das Koordinatentupel von ${}v_{j}$ in der Basis ${}{\mathfrak {w}}$. Bei einem eindimensionalen Raum mit

${}v=cw\,$

ist ${}M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}=c={\frac {v}{w}}$, wobei der Bruch in der Tat wohldefiniert ist und wodurch man sich die Reihenfolge der Basen in dieser Schreibweise merken kann. Eine weitere Beziehung ist

${}{\mathfrak {v}}={{\left(M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}\right)}^{\text{tr}}}{\mathfrak {w}}\,,$

wobei hier die Matrix aber nicht auf ein ${}n$-Tupel aus ${}K$, sondern auf ein ${}n$-Tupel aus ${}V$ angewendet wird und sich ein neues ${}n$-Tupel aus ${}V$ ergibt. Dies könnte man als Argument dafür ansehen, die Übergangsmatrix direkt als ihre Transponierte anzusetzen, doch betrachtet man das in Lemma 9.1 beschriebene Transformationsverhalten als ausschlaggebend.

Wenn

${}V=K^{n}\,$

und ${}{\mathfrak {e}}$ die Standardbasis davon ist und ${}{\mathfrak {v}}$ eine weitere Basis, so erhält man die Übergangsmatrix ${}M_{\mathfrak {v}}^{\mathfrak {e}}$ von ${}{\mathfrak {e}}$ nach ${}{\mathfrak {v}}$, indem man ${}e_{j}$ als Linearkombination der Basisvektoren ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ ausdrückt und die entsprechenden Tupel als Spalten nimmt. Dagegen besteht ${}M_{\mathfrak {e}}^{\mathfrak {v}}$ einfach aus den ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ als Spalten geschrieben.

Beispiel

Wir betrachten im ${}\mathbb {R} ^{2}$ die Standardbasis

${}{\mathfrak {u}}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\,$

und die Basis

${}{\mathfrak {v}}={\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}-2\\3\end{pmatrix}}\,.$

Die Basisvektoren von ${}{\mathfrak {v}}$ lassen sich direkt mit der Standardbasis ausdrücken, nämlich

$v_{1}={\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}=1{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}+2{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\,\,{\text{ und }}\,\,v_{2}={\begin{pmatrix}-2\\3\end{pmatrix}}=-2{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}+3{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}.$

Daher erhält man sofort

${}M_{\mathfrak {u}}^{\mathfrak {v}}={\begin{pmatrix}1&-2\\2&3\end{pmatrix}}\,.$

Zum Beispiel hat der Vektor, der bezüglich ${}{\mathfrak {v}}$ die Koordinaten ${}(4,-3)$ besitzt, bezüglich der Standardbasis ${}{\mathfrak {u}}$ die Koordinaten

${}M_{\mathfrak {u}}^{\mathfrak {v}}{\begin{pmatrix}4\\-3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&-2\\2&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}4\\-3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}10\\-1\end{pmatrix}}\,.$

Die Übergangsmatrix ${}M_{\mathfrak {v}}^{\mathfrak {u}}$ ist schwieriger zu bestimmen: Dazu müssen wir die Standardvektoren als Linearkombinationen von ${}v_{1}$ und ${}v_{2}$ ausdrücken. Eine direkte Rechnung (dahinter steckt das simultane Lösen von zwei linearen Gleichungssystemen) ergibt

${}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}={\frac {3}{7}}{\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}-{\frac {2}{7}}{\begin{pmatrix}-2\\3\end{pmatrix}}\,$

und

${}{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}={\frac {2}{7}}{\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}+{\frac {1}{7}}{\begin{pmatrix}-2\\3\end{pmatrix}}\,.$

Somit ist

${}M_{\mathfrak {v}}^{\mathfrak {u}}={\begin{pmatrix}{\frac {3}{7}}&{\frac {2}{7}}\\-{\frac {2}{7}}&{\frac {1}{7}}\end{pmatrix}}\,.$

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum der Dimension ${}n$. Es seien ${}{\mathfrak {u}}=u_{1},\ldots ,u_{n},\,{\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$ und ${}{\mathfrak {w}}=w_{1},\ldots ,w_{n}$ Basen von ${}V$.

Dann stehen die Übergangsmatrizen zueinander in der Beziehung

${}M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {u}}=M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}\circ M_{\mathfrak {v}}^{\mathfrak {u}}\,.$

Insbesondere ist

${}M_{\mathfrak {v}}^{\mathfrak {u}}\circ M_{\mathfrak {u}}^{\mathfrak {v}}=E_{n}\,.$

Beweis

Siehe Aufgabe 9.9.

$\Box$

Summe von Untervektorräumen

Definition

Zu einem ${}K$- Vektorraum und einer Familie ${}U_{1},\ldots ,U_{n}\subseteq V$ von Untervektorräumen definiert man die Summe dieser Untervektorräume durch

${}U_{1}+\cdots +U_{n}={\left\{u_{1}+\cdots +u_{n}\mid u_{i}\in U_{i}\right\}}\,.$

Dafür schreibt man auch ${}\sum _{i=1}^{n}U_{i}$. Die Summe ist stets wieder ein Untervektorraum. Bei

${}V=U_{1}+\cdots +U_{n}\,$

sagt man, dass ${}V$ die Summe der Untervektorräume ${}U_{1},\ldots ,U_{n}$ ist. Der folgende Satz drückt eine wichtige Beziehung zwischen der Dimension der Summe von zwei Untervektorräumen und der Dimension ihres Durchschnitts aus.

Satz

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum. Es seien ${}U_{1},U_{2}\subseteq V$ Untervektorräume.

Dann ist

$\dim _{K}{\left(U_{1}\right)}+\dim _{K}{\left(U_{2}\right)}=\dim _{K}{\left(U_{1}\cap U_{2}\right)}+\dim _{K}{\left(U_{1}+U_{2}\right)}\,.$

Beweis

Es sei ${}w_{1},\ldots ,w_{k}$ eine Basis von ${}U_{1}\cap U_{2}$. Diese ergänzen wir gemäß Satz 8.12 einerseits zu einer Basis ${}w_{1},\ldots ,w_{k},u_{1},\ldots ,u_{n}$ von ${}U_{1}$ und andererseits zu einer Basis ${}w_{1},\ldots ,w_{k},v_{1},\ldots ,v_{m}$ von ${}U_{2}$. Dann ist

$w_{1},\ldots ,w_{k},u_{1},\ldots ,u_{n},v_{1},\ldots ,v_{m}$

ein Erzeugendensystem von ${}U_{1}+U_{2}$. Wir behaupten, dass es sich sogar um eine Basis handelt. Es sei dazu

${}a_{1}w_{1}+\cdots +a_{k}w_{k}+b_{1}u_{1}+\cdots +b_{n}u_{n}+c_{1}v_{1}+\cdots +c_{m}v_{m}=0\,.$

Daraus ergibt sich, dass das Element

$a_{1}w_{1}+\cdots +a_{k}w_{k}+b_{1}u_{1}+\cdots +b_{n}u_{n}=-c_{1}v_{1}-\cdots -c_{m}v_{m}\,$

zu ${}U_{1}\cap U_{2}$ gehört. Daraus folgt direkt ${}b_{i}=0$ für ${}i=1,\ldots ,n$ und ${}c_{j}=0$ für ${}j=1,\ldots ,m$. Somit ergibt sich dann auch ${}a_{\ell }=0$ für alle ${}\ell$. Also liegt lineare Unabhängigkeit vor. Insgesamt ist also

${}{\begin{aligned}\dim _{K}{\left(U_{1}\cap U_{2}\right)}+\dim _{K}{\left(U_{1}+U_{2}\right)}&=k+k+n+m\\&=k+n+k+m\\&=\dim _{K}{\left(U_{1}\right)}+\dim _{K}{\left(U_{2}\right)}.\end{aligned}}$

$\Box$

Der Durchschnitt von zwei Ebenen im ${}\mathbb {R} ^{3}$ durch den Nullpunkt ist „im Normalfall“ eine Gerade, und die Ebene selbst, wenn zweimal die gleiche Ebene genommen wird, aber niemals nur ein Punkt. Diese Gesetzmäßigkeit kommt in der folgenden Aussage zum Ausdruck.

Korollar

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum der Dimension ${}n$ und es seien ${}U_{1},U_{2}\subseteq V$ Untervektorräume der Dimension ${}\dim _{K}{\left(U_{1}\right)}=n-k_{1}$ bzw. ${}\dim _{K}{\left(U_{2}\right)}=n-k_{2}$.

Dann ist

${}\dim _{K}{\left(U_{1}\cap U_{2}\right)}\geq n-k_{1}-k_{2}\,.$

Beweis

Nach Satz 9.7 ist

${}{\begin{aligned}\dim _{K}{\left(U_{1}\cap U_{2}\right)}&=\dim _{K}{\left(U_{1}\right)}+\dim _{K}{\left(U_{2}\right)}-\dim _{K}{\left(U_{1}+U_{2}\right)}\\&=n-k_{1}+n-k_{2}-\dim _{K}{\left(U_{1}+U_{2}\right)}\\&\geq n-k_{1}+n-k_{2}-n\\&=n-k_{1}-k_{2}.\end{aligned}}$

$\Box$

Übrigens nennt man zu einem Untervektoraum ${}U\subseteq V$ die Differenz ${}\dim _{K}{\left(V\right)}-\dim _{K}{\left(U\right)}$ auch die Kodimension von ${}U$ in ${}V$. Mit diesem Begriff kann man die obige Aussage so formulieren, dass die Kodimension eines Durchschnitts von Untervektorräumen höchstens gleich der Summe der beiden Kodimensionen ist.

Korollar

Es sei ein homogenes lineares Gleichungssystem aus ${}k$ Gleichungen in ${}n$ Variablen gegeben.

Dann ist die Dimension des Lösungsraumes des Systems mindestens gleich ${}n-k$.

Beweis

Der Lösungsraum einer linearen Gleichung in ${}n$ Variablen besitzt die Dimension ${}n-1$ oder ${}n$. Der Lösungsraum des Systems ist der Durchschnitt der Lösungsräume der einzelnen Gleichungen. Daher folgt die Aussage durch mehrfache Anwendung von Korollar 9.8 auf die einzelnen Lösungsräume.

$\Box$

Direkte Summe

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum. Es sei ${}U_{1},\ldots ,U_{m}$ eine Familie von Untervektorräumen von ${}V$. Man sagt, dass ${}V$ die direkte Summe der ${}U_{i}$ ist, wenn die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind.

1. Jeder Vektor ${}v\in V$ besitzt eine Darstellung

   ${}v=u_{1}+u_{2}+\cdots +u_{m}\,$

   mit ${}u_{i}\in U_{i}$.

2. ${}U_{i}\cap {\left(\sum _{j\neq i}U_{j}\right)}=0$ für alle ${}i$.

Wenn die Summe der ${}U_{i}$ direkt ist, schreiben wir statt ${}U_{1}+\cdots +U_{m}$ auch ${}U_{1}\oplus \cdots \oplus U_{m}$. Bei zwei Untervektorräumen

${}U_{1},U_{2}\subseteq V\,$

bedeutet die zweite Bedingung einfach ${}U_{1}\cap U_{2}=0$.

Beispiel

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum mit einer Basis ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$. Es sei

${}\{1,\ldots ,n\}=I_{1}\uplus \ldots \uplus I_{k}\,$

eine disjunkte Zerlegung der Indexmenge. Es seien

${}U_{j}=\langle v_{i},\,i\in I_{j}\rangle \,$

die durch die Teilfamilien erzeugten Untervektorräume. Dann ist

${}V=U_{1}\oplus \cdots \oplus U_{k}\,.$

Der Extremfall ${}I_{j}=\{j\}$ ergibt die direkte Summe

${}V=Kv_{1}\oplus \cdots \oplus Kv_{n}\,$

mit eindimensionalen Untervektorräumen.

Lemma

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum und ${}U\subseteq V$ ein Untervektorraum.

Dann gibt es einen Untervektorraum ${}W\subseteq V$ derart, dass eine direkte Summenzerlegung

${}V=U\oplus W\,$

vorliegt.

Beweis

Es sei ${}v_{1},\ldots ,v_{k}$ eine Basis von ${}U$. Diese können wir nach Satz 8.12 zu einer Basis ${}v_{1},\ldots ,v_{k},v_{k+1},\ldots ,v_{n}$ von ${}V$ ergänzen. Dann erfüllt

${}W=\langle v_{k+1},\ldots ,v_{n}\rangle \,$

die gewünschten Eigenschaften.

$\Box$

In der vorstehenden Aussage heißt ${}W$ ein direktes Komplement zu ${}U$ (in ${}V$). Es gibt im Allgemeinen viele verschiedene direkte Komplemente.

Direkte Summe und Produkt

Wir erinnern daran, dass man zu einer Familie ${}M_{i}$, ${}i\in I$, von Mengen ${}M_{i}$ die Produktmenge ${}\prod _{i\in I}M_{i}$ definieren kann. Wenn alle ${}M_{i}=V_{i}$ Vektorräume über einem Körper ${}K$ sind, so handelt es sich hierbei mit komponentenweiser Addition und Skalarmultiplikation wieder um einen ${}K$-Vektorraum. Man spricht dann vom direkten Produkt der Vektorräume. Wenn es sich immer um den gleichen Raum handelt, ${}M_{i}=V$, so schreibt man dafür auch ${}V^{I}$. Das ist einfach der Abbildungsraum ${}\operatorname {Abb} \,{\left(I,V\right)}$.

Den Vektorraum ${}V_{j}$ findet man im direkten Produkt als Untervektorraum wieder, und zwar als die Menge der Tupel

$(x_{i})_{i\in I}{\text{ mit }}x_{i}=0{\text{ für alle }}i\neq j.$

Die Menge all dieser, jeweils an nur einer Stelle von ${}0$ verschiedenen, Tupel erzeugt einen Untervektorraum, der bei unendlichem ${}I$ nicht das ganze direkte Produkt ist.

Definition

Es sei ${}I$ eine Menge und ${}K$ ein Körper. Zu jedem ${}i\in I$ sei ein ${}K$- Vektorraum ${}V_{i}$ gegeben. Dann nennt man die Menge

$\bigoplus _{i\in I}V_{i}={\left\{(v_{i})_{i\in I}\mid v_{i}\in V_{i},\,v_{i}\neq 0{\text{ für nur endlich viele }}i\right\}}\,$

die direkte Summe der ${}V_{i}$.

Es liegt die Untervektorraumbeziehung

${}\bigoplus _{i\in I}V_{i}\subseteq \prod _{i\in I}V_{i}\,$

vor. Wenn es sich stets um den gleichen Vektorraum handelt, so schreibt man für diese direkte Summe ${}V^{(I)}$. Es ist also

${}V^{(I)}\subseteq V^{I}\,$

ein Untervektorraum. Bei endlichem ${}I$ gibt es keinen Unterschied, für unendliche Indexmengen ist die Inklusion aber echt. Beispielsweise ist ${}\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }$ der Folgenraum, dagegen besteht ${}\mathbb {R} ^{(\mathbb {N} )}$ nur aus der Menge aller Folgen, für die nur endlich viele Glieder von ${}0$ verschieden sind. Der Polynomring ${}K[X]$ ist in diesem Sinne die direkte Summe aus den ${}KX^{n},\,n\in \mathbb {N}$. Jeder ${}K$-Vektorraum mit einer Basis ${}v_{i}$, ${}i\in I$, ist „isomorph“ zur direkten Summe ${}\bigoplus _{i\in I}Kv_{i}$.

Fußnoten

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