Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil I/Vorlesung 10

„Ich war nie der talentierteste Spieler. Ich musste mir alles unheimlich hart erarbeiten und es gab bestimmt viel bessere Fußballer. Nur, ich hatte Willen! Ich musste und ich wollte nach oben.“

Berti Vogts

Lineare Abbildungen

Zwischen zwei Vektorräumen interessieren insbesondere die Abbildungen, die mit den Strukturen, also der Addition und der Skalarmultiplikation, verträglich sind.

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ Vektorräume über ${}K$. Eine Abbildung

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

heißt lineare Abbildung, wenn die beiden folgenden Eigenschaften erfüllt sind.

1. ${}\varphi (u+v)=\varphi (u)+\varphi (v)$ für alle ${}u,v\in V$.
2. ${}\varphi (sv)=s\varphi (v)$ für alle ${}s\in K$ und ${}v\in V$.

Die erste Eigenschaft nennt man dabei die Additivität und die zweite Eigenschaft die Verträglichkeit mit Skalierung. Wenn man den Grundkörper betonen möchte, spricht man von Linearität. Die Identität ${}\operatorname {Id} _{V}\colon V\rightarrow V$, die Nullabbildung ${}V\rightarrow 0$ und die Inklusionen ${}U\subseteq V$ von Untervektorräumen sind die einfachsten Beispiele für lineare Abbildungen. Insgesamt gilt für eine lineare Abbildung die Verträglichkeit mit beliebigen Linearkombinationen, also die Beziehung

${}\varphi {\left(\sum _{i=1}^{n}s_{i}v_{i}\right)}=\sum _{i=1}^{n}s_{i}\varphi (v_{i})\,,$

siehe Aufgabe 10.2.  Statt von linearen Abbildungen spricht man auch von Homomorphismen.

Der Funktionsgraph einer linearen Abbildung von ${}\mathbb {R}$ nach ${}\mathbb {R}$, die Abbildung ist allein durch den Proportionalitätsfaktor ${}k$ festgelegt.

Beispiel

Die einfachsten linearen Abbildungen sind (neben der Nullabbildung) diejenigen von ${}K$ nach ${}K$. Eine solche lineare Abbildung

$\varphi \colon K\longrightarrow K,\,x\longmapsto \varphi (x),$

ist aufgrund von Satz 10.10 (siehe unten) bzw. direkt aufgrund der Definition durch ${}\varphi (1)$ bzw. durch den Wert ${}\varphi (t)$ für ein einziges ${}t\in K$, ${}t\neq 0$, festgelegt. Es ist also ${}\varphi (x)=ax$ mit einem eindeutig bestimmten ${}a\in K$. Insbesondere im physikalischen Kontext, wenn ${}K=\mathbb {R}$ ist und wenn zwischen zwei messbaren Größen ein linearer Zusammenhang besteht, spricht man von Proportionalität, und ${}a$ heißt der Proportionalitätsfaktor. In der Schule tritt die lineare Beziehung zwischen zwei skalaren Größen als „Dreisatz“ auf.

Viele wichtige Funktionen, insbesondere von ${}\mathbb {R}$ nach ${}\mathbb {R}$, sind nicht linear. Beispielsweise ist das Quadrieren ${}x\mapsto x^{2}$, die Quadratwurzel, die trigonometrischen Funktionen, die Exponentialfunktion, der Logarithmus nicht linear. Aber auch für solche kompliziertere Funktionen gibt es im Rahmen der Differentialrechnung lineare Approximationen, die zum Verständnis dieser Funktionen beitragen.

Beispiel

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K^{n}$ der ${}n$- dimensionale Standardraum. Dann ist die ${}i$-te Projektion, also die Abbildung

$K^{n}\longrightarrow K,\,\left(x_{1},\,\ldots ,\,x_{i-1},\,x_{i},\,x_{i+1},\,\ldots ,\,x_{n}\right)\longmapsto x_{i},$

eine ${}K$- lineare Abbildung. Dies folgt unmittelbar aus der komponentenweisen Addition und Skalarmultiplikation auf dem Standardraum. Die ${}i$-te Projektion heißt auch die ${}i$-te Koordinatenfunktion.

Wenn Sie das zehnmal kaufen, müssen Sie zehnmal soviel zahlen. In der linearen Welt gibt es keinen Rabatt.

Beispiel

Es stehen ${}n$ verschiedene Produkte zum Verkauf an, wobei das ${}i$-te Produkt (pro Einheit) ${}a_{i}$ kostet. Ein Einkauf wird durch das ${}n$-Tupel

$\left(x_{1},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{n}\right)$

repräsentiert, wobei ${}x_{i}$ die vom ${}i$-ten Produkt gekaufte Menge angibt. Der Preis des Einkaufs wird dann durch ${}\sum _{i=1}^{n}a_{i}x_{i}$ beschrieben. Die Preisabbildung

$\mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,\left(x_{1},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{n}\right)\longmapsto \sum _{i=1}^{n}a_{i}x_{i}.$

ist linear. Dies bedeutet beispielsweise, dass wenn man zuerst den Einkauf ${}\left(x_{1},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{n}\right)$ tätigt und eine Woche später den Einkauf ${}\left(y_{1},\,y_{2},\,\ldots ,\,y_{n}\right)$, dass dann der Preis der beiden Einkäufe zusammen dem Preis entspricht, den man bezahlt hätte, wenn man auf einen Schlag ${}\left(x_{1}+y_{1},\,x_{2}+y_{2},\,\ldots ,\,x_{n}+y_{n}\right)$ gekauft hätte.

Beispiel

Die zu einer ${}m\times n$- Matrix ${}M=(a_{ij})_{1\leq i\leq m,\,1\leq j\leq n}$ gehörende Abbildung (siehe Beispiel 2.8)

$K^{n}\longrightarrow K^{m},\,{\begin{pmatrix}s_{1}\\\vdots \\s_{n}\end{pmatrix}}\longmapsto M{\begin{pmatrix}s_{1}\\\vdots \\s_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\sum _{j=1}^{n}a_{1j}s_{j}\\\sum _{j=1}^{n}a_{2j}s_{j}\\\vdots \\\sum _{j=1}^{n}a_{mj}s_{j}\end{pmatrix}},$

ist linear.

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum. Zu ${}a\in K$ heißt die lineare Abbildung

$\varphi \colon V\longrightarrow V,\,v\longmapsto av,$

die Streckung (oder Homothetie) zum Streckungsfaktor ${}a$.

Bei einer Streckung stimmen Ausgangsraum und Zielraum überein. Die Zahl ${}a$ heißt Streckungsfaktor. Bei ${}a=1$ liegt die Identität vor und bei ${}a=-1$ spricht man von einer Punktspiegelung.

Beispiel

Es sei ${}C^{0}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )$ der Raum der stetigen Funktionen von ${}\mathbb {R}$ nach ${}\mathbb {R}$ und ${}C^{1}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )$ der Raum der stetig differenzierbaren Funktionen. Dann ist die Abbildung

$D\colon C^{1}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )\longrightarrow C^{0}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ),\,f\longmapsto f',$

die einer Funktion ihre Ableitung zuordnet, linear. In der Analysis wird ja

${}(af+bg)'=af'+bg'\,$

für ${}a,b\in \mathbb {R}$ und eine weitere Funktion ${}g\in C^{1}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )$ bewiesen.

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}U,V,W$ Vektorräume über ${}K$. Es seien

$\varphi :U\longrightarrow V\,\,{\text{ und }}\,\,\psi :V\longrightarrow W$

lineare Abbildungen.

Dann ist auch die Verknüpfung

$\psi \circ \varphi \colon U\longrightarrow W$

eine lineare Abbildung.

Beweis

Siehe Aufgabe 10.14.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ zwei ${}K$- Vektorräume. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

eine bijektive lineare Abbildung.

Dann ist auch die Umkehrabbildung

$\varphi ^{-1}\colon W\longrightarrow V$

linear.

Beweis

Siehe Aufgabe 10.15.

$\Box$

Festlegung auf einer Basis

Hinter der folgenden Aussage (dem Festlegungssatz) steckt das wichtige Prinzip, dass in der linearen Algebra (von endlichdimensionalen Vektorräumen) die Objekte durch endlich viele Daten bestimmt sind.

Satz

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ Vektorräume über ${}K$. Es sei ${}v_{i}$, ${}i\in I$, eine Basis von ${}V$ und es seien ${}w_{i}$, ${}i\in I$, Elemente in ${}W$.

Dann gibt es genau eine lineare Abbildung

$f\colon V\longrightarrow W$

mit

$f(v_{i})=w_{i}{\text{ für alle }}i\in I.$

Beweis

Da ${}f(v_{i})=w_{i}$ sein soll und eine lineare Abbildung für jede Linearkombination die Eigenschaft

${}f{\left(\sum _{i\in I}s_{i}v_{i}\right)}=\sum _{i\in I}s_{i}f{\left(v_{i}\right)}\,$

erfüllt, und jeder Vektor ${}v\in V$ sich als eine solche Linearkombination schreiben lässt, kann es maximal nur eine solche lineare Abbildung geben.
Wir definieren nun umgekehrt eine Abbildung

$f\colon V\longrightarrow W,$

indem wir jeden Vektor ${}v\in V$ mit der gegebenen Basis als

${}v=\sum _{i\in I}s_{i}v_{i}\,$

schreiben und

${}f(v):=\sum _{i\in I}s_{i}w_{i}\,$

ansetzen. Da die Darstellung von ${}v$ als eine solche Linearkombination eindeutig ist, ist diese Abbildung wohldefiniert.
Zur Linearität. Für zwei Vektoren ${}u=\sum _{i\in I}s_{i}v_{i}$ und ${}v=\sum _{i\in I}t_{i}v_{i}$ gilt

${}{\begin{aligned}f{\left(u+v\right)}&=f{\left({\left(\sum _{i\in I}s_{i}v_{i}\right)}+{\left(\sum _{i\in I}t_{i}v_{i}\right)}\right)}\\&=f{\left(\sum _{i\in I}{\left(s_{i}+t_{i}\right)}v_{i}\right)}\\&=\sum _{i\in I}(s_{i}+t_{i})f{\left(v_{i}\right)}\\&=\sum _{i\in I}s_{i}f{\left(v_{i}\right)}+\sum _{i\in I}t_{i}f(v_{i})\\&=f{\left(\sum _{i\in I}s_{i}v_{i}\right)}+f{\left(\sum _{i\in I}t_{i}v_{i}\right)}\\&=f(u)+f(v).\end{aligned}}$

Die Verträglichkeit mit der skalaren Multiplikation ergibt sich ähnlich, siehe Aufgabe 10.24.

$\Box$

Insbesondere ist eine lineare Abbildung ${}\varphi \colon K^{n}\rightarrow K^{m}$ durch ${}\varphi (e_{1}),\ldots ,\varphi (e_{n})$ eindeutig festgelegt.

Beispiel

In vielen Situationen soll ein Objekt (beispielsweise ein Würfel) im Raum ${}\mathbb {R} ^{3}$in einer Ebene ${}\mathbb {R} ^{2}$ dargestellt werden. Eine Möglichkeit ergibt sich mit Hilfe einer Parallelprojektion. Dabei handelt es sich um eine lineare Abbildung

$\mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$

die bezüglich der Standardbasen ${}e_{1},e_{2},e_{3}$ bzw. ${}f_{1},f_{2}$ durch

$e_{1}\longmapsto f_{1},\,e_{2}\longmapsto af_{1}+bf_{2},\,e_{3}\longmapsto f_{2}$

gegeben ist, wobei die Koeffizienten ${}a,b$ (die „Tiefenschrägen“) typischerweise im Bereich ${}[{\frac {1}{3}},{\frac {1}{2}}]$ gewählt werden. Die Linearität wirkt sich dahingehend aus, dass parallele Geraden in parallele Geraden überführt werden (oder Punkte werden). Der Punkt ${}(x,y,z)$ wird dabei auf ${}(x+ay,by+z)$ abgebildet. Das Bild des Objektes unter einer solchen linearen Abbildung nennt man ein Schrägbild.

Lineare Abbildungen und Matrizen

Die Wirkungsweise von verschiedenen linearen Abbildungen des ${}\mathbb {R} ^{2}$ in sich, dargestellt an einer Gehirnzelle.

Eine lineare Abbildung

$\varphi \colon K^{n}\longrightarrow K^{m}$

ist durch die Bilder ${}\varphi (e_{j})$, ${}j=1,\ldots ,n$, der Standardvektoren eindeutig festgelegt, und jedes ${}\varphi (e_{j})$ ist eine Linearkombination

${}\varphi (e_{j})=\sum _{i=1}^{m}a_{ij}e_{i}\,$

und damit durch die Elemente ${}a_{ij}$ eindeutig festgelegt. Insgesamt ist also eine solche lineare Abbildung durch ${}mn$ Elemente ${}a_{ij}$, ${}1\leq i\leq m$, ${}1\leq j\leq n$, festgelegt. Eine solche Datenmenge kann man wieder als Matrix schreiben. Nach dem Festlegungssatz gilt dies für alle endlichdimensionalen Vektorräume, sobald sowohl im Definitionsraum als auch im Zielraum der linearen Abbildung eine Basis fixiert ist.

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}V$ ein ${}n$- dimensionaler Vektorraum mit einer Basis ${}{\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$ und sei ${}W$ ein ${}m$-dimensionaler Vektorraum mit einer Basis ${}{\mathfrak {w}}=w_{1},\ldots ,w_{m}$.

Zu einer linearen Abbildung

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

heißt die ${}m\times n$- Matrix

${}M=M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi )=(a_{ij})_{ij}\,,$

wobei ${}a_{ij}$ die ${}i$-te Koordinate von ${}\varphi (v_{j})$ bezüglich der Basis ${}{\mathfrak {w}}$ ist, die beschreibende Matrix zu ${}\varphi$ bezüglich der Basen.

Zu einer Matrix ${}M=(a_{ij})_{ij}\in \operatorname {Mat} _{m\times n}(K)$ heißt die durch

$v_{j}\longmapsto \sum _{i=1}^{m}a_{ij}w_{i}$

gemäß Satz 10.10 definierte lineare Abbildung ${}\varphi _{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(M)$ die durch ${}M$ festgelegte lineare Abbildung.

Wenn ${}V=W$, ist, so interessiert man sich häufig, aber nicht immer, für die beschreibende Matrix bezüglich einer einzigen Basis ${}{\mathfrak {v}}$ von ${}V$.

Beispiel

Es sei ${}V$ ein Vektorraum mit Basen ${}{\mathfrak {v}}$ und ${}{\mathfrak {w}}$. Wenn man die Identität

$\operatorname {Id} \colon V\longrightarrow V$

bezüglich der Basis ${}{\mathfrak {v}}$ vorne und der Basis ${}{\mathfrak {w}}$ hinten betrachtet, so ist wegen

${}\operatorname {Id} (v_{j})=v_{j}=\sum a_{ij}w_{i}\,$

direkt

${}M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\operatorname {Id} )=M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}\,,$

d.h. die beschreibende Matrix zur identischen linearen Abbildung ist die Übergangsmatrix zum Basiswechsel von ${}{\mathfrak {v}}$ nach ${}{\mathfrak {w}}$.

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}V$ ein ${}n$- dimensionaler Vektorraum mit einer Basis ${}{\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$ und sei ${}W$ ein ${}m$-dimensionaler Vektorraum mit einer Basis ${}{\mathfrak {w}}=w_{1},\ldots ,w_{m}$ mit den zugehörigen Abbildungen

$\Psi _{\mathfrak {v}}\colon K^{n}\longrightarrow V$

und

$\Psi _{\mathfrak {w}}\colon K^{m}\longrightarrow W.$

Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

eine lineare Abbildung mit beschreibender Matrix ${}M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi )$.

Dann ist

${}\varphi \circ \Psi _{\mathfrak {v}}=\Psi _{\mathfrak {w}}\circ M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi )\,,$

d.h. das Diagramm

${\begin{matrix}K^{n}&{\stackrel {\Psi _{\mathfrak {v}}}{\longrightarrow }}&V&\\\!\!\!\!\!M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi )\downarrow &&\downarrow \varphi \!\!\!\!\!&\\K^{m}&{\stackrel {\Psi _{\mathfrak {w}}}{\longrightarrow }}&W&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

ist kommutativ.

Zu einem Vektor ${}v\in V$ kann man ${}\varphi (v)$ ausrechnen, indem man das Koeffiziententupel zu ${}v$ bezüglich der Basis ${}{\mathfrak {v}}$ bestimmt, darauf die Matrix ${}M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi )$ anwendet und zu dem sich ergebenden ${}m$-Tupel den zugehörigen Vektor bezüglich ${}{\mathfrak {w}}$ berechnet.

Beweis

Siehe Aufgabe 10.30.

$\Box$

Satz

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}V$ ein ${}n$- dimensionaler Vektorraum mit einer Basis ${}{\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$ und sei ${}W$ ein ${}m$-dimensionaler Vektorraum mit einer Basis ${}{\mathfrak {w}}=w_{1},\ldots ,w_{m}$.

Dann sind die in Definition 10.12 festgelegten Abbildungen

$\varphi \longmapsto M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi ){\text{ und }}M\longmapsto \varphi _{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(M)$

invers zueinander.

Beweis

Wir zeigen, dass beide Hintereinanderschaltungen die Identität sind. Wir starten mit einer Matrix ${}M={\left(a_{ij}\right)}_{ij}$ und betrachten die Matrix

$M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi _{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(M)).$

Zwei Matrizen sind gleich, wenn für jedes Indexpaar ${}(i,j)$ die Einträge übereinstimmen. Es ist

${}{\begin{aligned}(M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi _{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(M)))_{ij}&=i-{\text{te Koordinate von }}(\varphi _{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(M))(v_{j})\\&=i-{\text{te Koordinate von }}\sum _{i=1}^{m}a_{ij}w_{i}\\&=a_{ij}.\end{aligned}}$

Es sei nun ${}\varphi$ eine lineare Abbildung, und betrachten wir

$\varphi _{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi )).$

Zwei lineare Abbildungen stimmen nach Satz 10.10 überein, wenn man zeigen kann, dass sie auf der Basis ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ übereinstimmen. Es ist

${}(\varphi _{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi )))(v_{j})=\sum _{i=1}^{m}(M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi ))_{ij}\,w_{i}\,.$

Dabei ist nach Definition der Koeffizient ${}(M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi ))_{ij}$ die ${}i$-te Koordinate von ${}\varphi (v_{j})$ bezüglich der Basis ${}w_{1},\ldots ,w_{m}$. Damit ist diese Summe gleich ${}\varphi (v_{j})$.

$\Box$

Wir bezeichnen die Menge aller linearen Abbildungen von ${}V$ nach ${}W$ mit ${}\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}$. Satz 10.15 bedeutet also, dass die Abbildung

$\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}\longrightarrow \operatorname {Mat} _{m\times n}(K),\,\varphi \longmapsto M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi ),$

bijektiv mit der angegebenen Umkehrabbildung ist. Eine lineare Abbildung

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

nennt man auch einen Endomorphismus. Die Menge aller Endomorphismen auf ${}V$ wird mit ${}\operatorname {End} _{K}{\left(V\right)}$ bezeichnet.

Isomorphe Vektorräume

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ Vektorräume über ${}K$. Eine bijektive, lineare Abbildung

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

heißt Isomorphismus.

Ein Isomorphismus von ${}V$ nach ${}V$ heißt Automorphismus.

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper. Zwei ${}K$- Vektorräume ${}V$ und ${}W$ heißen isomorph, wenn es einen Isomorphismus von ${}V$ nach ${}W$ gibt.

Satz

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ endlichdimensionale ${}K$- Vektorräume.

Dann sind ${}V$ und ${}W$ genau dann zueinander isomorph, wenn ihre Dimension übereinstimmt.

Insbesondere ist ein ${}n$-dimensionaler ${}K$-Vektorraum isomorph zum ${}K^{n}$.

Beweis

Siehe Aufgabe 10.35.

$\Box$

Bemerkung  

Eine Isomorphie zwischen einem ${}n$- dimensionalen Vektorraum ${}V$ und dem Standardraum ${}K^{n}$ ist im Wesentlichen äquivalent zur Wahl einer Basis in ${}V$. Zu einer Basis

${}{\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}\,$

gehört die lineare Abbildung

$\Psi _{\mathfrak {v}}\colon K^{n}\longrightarrow V,\,e_{i}\longmapsto v_{i},$

die also den Standardraum in den Vektorraum abbildet, indem sie dem ${}i$-ten Standardvektor den ${}i$-ten Basisvektor aus der gegebenen Basis zuordnet. Dies definiert nach Satz 10.10 eine eindeutige lineare Abbildung, die aufgrund von Aufgabe 10.26 bijektiv ist. Es handelt sich dabei einfach um die Abbildung

$(a_{1},\ldots ,a_{n})\longmapsto \sum _{i=1}^{n}a_{i}v_{i}.$

Die Umkehrabbildung

$x=\Psi _{\mathfrak {v}}^{-1}\colon V\longrightarrow K^{n}$

ist ebenfalls linear und heißt die zur Basis gehörende Koordinatenabbildung. Die ${}i$-te Komponente davon, also die zusammengesetzte Abbildung

$x_{i}=p_{i}\circ x\colon V\longrightarrow K,\,v\longmapsto (\Psi _{\mathfrak {v}}^{-1}(v))_{i},$

heißt ${}i$-te Koordinatenfunktion. Sie wird mit ${}v_{i}^{*}$ bezeichnet, und gibt zu einem Vektor ${}v\in V$ in der eindeutigen Darstellung

${}v=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}v_{i}\,$

die Koordinate ${}\lambda _{i}$ aus. Man beachte, dass die lineare Abbildung ${}v_{i}^{*}$ von der gesamten Basis abhängt, nicht nur von dem Vektor ${}v_{i}$.

Wenn umgekehrt ein Isomorphismus

$\Psi \colon K^{n}\longrightarrow V$

gegeben ist, so sind die Bilder

$\Psi (e_{i}),i=1,\ldots ,n,$

eine Basis von ${}V$.

Fußnoten

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