Lineare Abbildung/Eindimensional/Proportionalität und Dreisatz/Beispiel

Die einfachsten linearen Abbildungen sind (neben der Nullabbildung) diejenigen von ${}K$ nach ${}K$. Eine solche lineare Abbildung

$\varphi \colon K\longrightarrow K,\,x\longmapsto \varphi (x),$

ist aufgrund von Fakt bzw. direkt aufgrund der Definition durch ${}\varphi (1)$ bzw. durch den Wert ${}\varphi (t)$ für ein einziges ${}t\in K$, ${}t\neq 0$, festgelegt. Es ist also ${}\varphi (x)=ax$ mit einem eindeutig bestimmten ${}a\in K$. Insbesondere im physikalischen Kontext, wenn ${}K=\mathbb {R}$ ist und wenn zwischen zwei messbaren Größen ein linearer Zusammenhang besteht, spricht man von Proportionalität, und ${}a$ heißt der Proportionalitätsfaktor. In der Schule tritt die lineare Beziehung zwischen zwei skalaren Größen als „Dreisatz“ auf.