Lineare Abbildung/Matrix zu Basen/Korrespondenz/Fakt/Beweis

Beweis

Wir zeigen, dass beide Hintereinanderschaltungen die Identität sind. Wir starten mit einer Matrix ${}M={\left(a_{ij}\right)}_{ij}$ und betrachten die Matrix

$M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi _{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(M)).$

Zwei Matrizen sind gleich, wenn für jedes Indexpaar ${}(i,j)$ die Einträge übereinstimmen. Es ist

${}{\begin{aligned}(M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi _{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(M)))_{ij}&=i-{\text{te Koordinate von }}(\varphi _{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(M))(v_{j})\\&=i-{\text{te Koordinate von }}\sum _{i=1}^{m}a_{ij}w_{i}\\&=a_{ij}.\end{aligned}}$

Es sei nun ${}\varphi$ eine lineare Abbildung, und betrachten wir

$\varphi _{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi )).$

Zwei lineare Abbildungen stimmen nach Fakt überein, wenn man zeigen kann, dass sie auf der Basis ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ übereinstimmen. Es ist

${}(\varphi _{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi )))(v_{j})=\sum _{i=1}^{m}(M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi ))_{ij}\,w_{i}\,.$

Dabei ist nach Definition der Koeffizient ${}(M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi ))_{ij}$ die ${}i$-te Koordinate von ${}\varphi (v_{j})$ bezüglich der Basis ${}w_{1},\ldots ,w_{m}$. Damit ist diese Summe gleich ${}\varphi (v_{j})$.

Zur bewiesenen Aussage