Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil I/Arbeitsblatt 9

Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Bestimme die Übergangsmatrizen ${}M_{\mathfrak {v}}^{\mathfrak {u}}$ und ${}M_{\mathfrak {u}}^{\mathfrak {v}}$ für die Standardbasis ${}{\mathfrak {u}}$ und die durch die Vektoren

$v_{1}={\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}},\,v_{2}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}\,{\text{ und }}\,v_{3}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}$

gegebene Basis ${}{\mathfrak {v}}$ im ${}\mathbb {R} ^{3}$.

Übungsaufgaben

Aufgabe

Wir betrachten die Vektorenfamilien

${\mathfrak {v}}={\begin{pmatrix}7\\-4\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}8\\1\end{pmatrix}}\,\,{\text{ und }}\,\,{\mathfrak {u}}={\begin{pmatrix}4\\6\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}7\\3\end{pmatrix}}$

im ${}\mathbb {R} ^{2}$.

a) Zeige, dass sowohl ${}{\mathfrak {v}}$ als auch ${}{\mathfrak {u}}$ eine Basis des ${}\mathbb {R} ^{2}$ ist.

b) Es sei ${}P\in \mathbb {R} ^{2}$ derjenige Punkt, der bezüglich der Basis ${}{\mathfrak {v}}$ die Koordinaten ${}(-2,5)$ besitze. Welche Koordinaten besitzt der Punkt bezüglich der Basis ${}{\mathfrak {u}}$?

c) Bestimme die Übergangsmatrix, die den Basiswechsel von ${}{\mathfrak {v}}$ nach ${}{\mathfrak {u}}$ beschreibt.

Aufgabe

Bestimme die Übergangsmatrix ${}M_{\mathfrak {v}}^{\mathfrak {v}}$ zum identischen Basiswechsel von ${}{\mathfrak {v}}$ nach ${}{\mathfrak {v}}$.

Aufgabe

Bestimme die Übergangsmatrizen ${}M_{\mathfrak {v}}^{\mathfrak {u}}$ und ${}M_{\mathfrak {u}}^{\mathfrak {v}}$ für die Standardbasis ${}{\mathfrak {u}}$ und die durch die Vektoren

$v_{1}={\begin{pmatrix}3+5{\mathrm {i} }\\1-{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}\,{\text{ und }}\,v_{2}={\begin{pmatrix}2+3{\mathrm {i} }\\4+{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}$

gegebene Basis ${}{\mathfrak {v}}$ im ${}{\mathbb {C} }^{2}$.

Aufgabe *

Bestimme die Übergangsmatrizen ${}M_{\mathfrak {v}}^{\mathfrak {u}}$ und ${}M_{\mathfrak {u}}^{\mathfrak {v}}$ für die Standardbasis ${}{\mathfrak {u}}$ und die durch die Vektoren

$v_{1}={\begin{pmatrix}2\\3\\7\end{pmatrix}},\,\,v_{2}={\begin{pmatrix}1\\-3\\4\end{pmatrix}}\,{\text{ und }}\,v_{3}={\begin{pmatrix}5\\6\\9\end{pmatrix}}$

gegebene Basis ${}{\mathfrak {v}}$ im ${}\mathbb {R} ^{3}$.

Aufgabe

Es sei ${}V$ der Vektorraum der Polynome vom Grad ${}\leq d$. Bestimme die Übergangsmatrizen zwischen den Basen ${}{\mathfrak {u}}=X^{0},X^{1},X^{2},\ldots ,X^{d}$ und ${}{\mathfrak {v}}=P_{0},P_{1},P_{2},\ldots ,P_{d}$ mit ${}P_{0}=1$ und

${}P_{i}=(X-1)\cdots (X-i)\,$

für ${}d=0,1,2,3,4$.

Aufgabe

Es sei ${}V$ der Vektorraum der Polynome vom Grad ${}\leq 3$ mit der Basis ${}{\mathfrak {u}}=X^{0},X^{1},X^{2},X^{3}$. Zeige, dass die Polynome

$X^{3}+3X^{2}-X+4,\,-X^{3}+4X^{2}+5X+3,\,2X^{2}-X+1,\,3X^{3}+5X^{2}+7X-2$

ebenfalls eine Basis von ${}V$ bilden und bestimme die beiden Übergangsmatrizen.

Aufgabe

Es sei ${}V$ der Vektorraum der ${}2\times 2$- Matrizen mit der Standardbasis

${}{\mathfrak {u}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}\,.$

Zeige, dass

${}{\mathfrak {v}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}\,$

ebenfalls eine Basis von ${}V$ ist und bestimme die Übergangsmatrizen.

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum der Dimension ${}n$. Es seien ${}{\mathfrak {u}}=u_{1},\ldots ,u_{n},\,{\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$ und ${}{\mathfrak {w}}=w_{1},\ldots ,w_{n}$ Basen von ${}V$. Zeige, dass die Übergangsmatrizen zueinander in der Beziehung

${}M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {u}}=M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}\circ M_{\mathfrak {v}}^{\mathfrak {u}}\,$

stehen.

Aufgabe *

Es seien ${}V$ und ${}W$ endlichdimensionale ${}K$- Vektorräume. Es seien ${}{\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$ und ${}{\mathfrak {u}}=u_{1},\ldots ,u_{n}$ Basen von ${}V$ und ${}{\mathfrak {w}}=w_{1},\ldots ,w_{m}$ und ${}{\mathfrak {z}}=z_{1},\ldots ,z_{m}$ Basen von ${}W$. Es seien ${}M_{\mathfrak {u}}^{\mathfrak {v}}$ und ${}M_{\mathfrak {z}}^{\mathfrak {w}}$ die Übergangsmatrizen. Durch welche Übergangsmatrix wird der Basiswechsel von der Basis ${}(v_{1},0),\ldots ,(v_{n},0),(0,w_{1}),\ldots ,(0,w_{m})$ zur Basis ${}(u_{1},0),\ldots ,(u_{n},0),(0,z_{1}),\ldots ,(0,z_{m})$ vom Produktraum ${}V\times W$ beschrieben?

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper.

a) Zeige, dass der von

${\begin{pmatrix}3\\2\\-4\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}2\\8\\-3\end{pmatrix}}$

erzeugte Untervektorraum ${}U\subseteq K^{3}$ die Dimension ${}2$ besitzt.

b) Bestimme eine Basis und die Dimension des Lösungsraumes ${}L\subseteq K^{3}$ der linearen Gleichung

${}-6x_{1}+4x_{2}+5x_{3}=0\,.$

c) Bestimme eine Basis und die Dimension des Durchschnitts ${}U\cap L$.

d) Bestätige Satz 9.7 in diesem Beispiel.

Aufgabe

Zeige, dass der Raum der ${}m\times n$- Matrizen über einem Körper ${}K$ die direkte Summe aus den Spaltenräumen ${}S_{j}$, ${}j=1,\ldots ,n$, ist, wobei der ${}j$-te Spaltenraum aus denjenigen ${}m\times n$-Matrizen besteht, die in der ${}j$-ten Spalte beliebige Einträge und sonst überall den Eintrag ${}0$ besitzen. Man gebe die direkte Summenzerlegung für die ${}3\times 4$-Matrix

${\begin{pmatrix}-3&8&10&-2\\2&6&4&5\\5&3&0&7\end{pmatrix}}$

an.

Aufgabe

Zeige, dass der Raum der ${}n\times n$- Matrizen über einem Körper ${}K$ die direkte Summe aus dem Raum der Diagonalmatrizen, dem Raum der oberen Dreiecksmatrizen mit Nulldiagonale und dem Raum der unteren Dreiecksmatrizen mit Nulldiagonale ist.

Aufgabe *

Man gebe ein Beispiel für Untervektorräume ${}U_{1},U_{2},U_{3}$ in einem Vektorraum ${}V$ derart, dass ${}V=U_{1}+U_{2}+U_{3}$ ist, dass ${}U_{i}\cap U_{j}=0$ für ${}i\neq j$ ist, und so, dass die Summe nicht direkt ist.

Eine Funktion ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ heißt gerade, wenn für alle ${}x\in \mathbb {R}$ die Gleichheit

${}f(x)=f(-x)\,$

gilt.

Eine Funktion ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ heißt ungerade, wenn für alle ${}x\in \mathbb {R}$ die Gleichheit

${}f(x)=-f(-x)\,$

gilt.

Aufgabe

Es sei ${}V=\operatorname {Abb} \,{\left(\mathbb {R} ,\mathbb {R} \right)}$ der Vektorraum aller Funktionen von ${}\mathbb {R}$ nach ${}\mathbb {R}$. Zeige, dass es eine direkte Summenzerlegung

${}V=G\oplus U\,$

gibt, wobei ${}G$ den Untervektorraum der geraden Funktionen und ${}U$ den Untervektorraum der ungeraden Funktionen bezeichnet.

Aufgabe

Der Vektorraum ${}V$ sei die direkte Summe der Untervektorräume ${}V_{1}$ und ${}V_{2}$. Zeige, dass ein Untervektorraum ${}U\subseteq V$ nicht die direkte Summe der Untervektorräume ${}U\cap V_{1}$ und ${}U\cap V_{2}$ sein muss.

Aufgabe

Bestimme ein direktes Komplement zu dem von ${}{\begin{pmatrix}-5\\4\\9\end{pmatrix}}$ und ${}{\begin{pmatrix}2\\-7\\3\end{pmatrix}}$ erzeugten Untervektorraum ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{3}$.

Aufgabe *

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum und ${}U_{1},U_{2}\subseteq V$ Untervektorräume gleicher Dimension. Zeige, dass ${}U_{1}$ und ${}U_{2}$ ein gemeinsames direktes Komplement besitzen.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die Übergangsmatrizen ${}M_{\mathfrak {v}}^{\mathfrak {u}}$ und ${}M_{\mathfrak {u}}^{\mathfrak {v}}$ für die Standardbasis ${}{\mathfrak {u}}$ und die durch die Vektoren

$v_{1}={\begin{pmatrix}4\\5\\1\end{pmatrix}},\,\,v_{2}={\begin{pmatrix}2\\3\\-8\end{pmatrix}}\,{\text{ und }}\,v_{3}={\begin{pmatrix}5\\7\\-3\end{pmatrix}}$

gegebene Basis ${}{\mathfrak {v}}$ im ${}\mathbb {R} ^{3}$.

Aufgabe (6 (3+1+2) Punkte)

Wir betrachten die Vektorenfamilien

${\mathfrak {v}}={\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}4\\7\\1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\2\\5\end{pmatrix}}\,\,{\text{ und }}\,\,{\mathfrak {u}}={\begin{pmatrix}0\\2\\4\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}6\\6\\1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}3\\5\\-2\end{pmatrix}}$

im ${}\mathbb {R} ^{3}$.

a) Zeige, dass sowohl ${}{\mathfrak {v}}$ als auch ${}{\mathfrak {u}}$ eine Basis des ${}\mathbb {R} ^{3}$ ist.

b) Es sei ${}P\in \mathbb {R} ^{3}$ derjenige Punkt, der bezüglich der Basis ${}{\mathfrak {v}}$ die Koordinaten ${}(2,5,4)$ besitze. Welche Koordinaten besitzt der Punkt bezüglich der Basis ${}{\mathfrak {u}}$?

c) Bestimme die Übergangsmatrix, die den Basiswechsel von ${}{\mathfrak {v}}$ nach ${}{\mathfrak {u}}$ beschreibt.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum mit einer Basis ${}{\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$. Es sei ${}w\in V$ ein Vektor mit einer Darstellung

${}w=\sum _{i=1}^{n}s_{i}v_{i}\,,$

wobei ${}s_{k}\neq 0$ sei für ein bestimmtes ${}k$. Es sei

${}{\mathfrak {w}}=v_{1},\ldots ,v_{k-1},w,v_{k+1},\ldots ,v_{n}\,.$

Bestimme die Übergangsmatrizen ${}M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}$ und ${}M_{\mathfrak {v}}^{\mathfrak {w}}$.

Aufgabe (8 (2+2+3+1) Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper.

a) Zeige, dass der von

${\begin{pmatrix}5\\3\\-1\\4\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}2\\6\\5\\-3\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}4\\-2\\-1\\1\end{pmatrix}}$

erzeugte Untervektorraum ${}U\subseteq K^{4}$ die Dimension ${}3$ besitzt.

b) Bestimme eine Basis und die Dimension des Lösungsraumes ${}L\subseteq K^{4}$ der linearen Gleichung

${}7x_{1}+5x_{2}+3x_{3}-6x_{4}=0\,.$

c) Bestimme eine Basis und die Dimension des Durchschnitts ${}U\cap L$.

d) Bestätige Satz 9.7 in diesem Beispiel.