Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil II/Arbeitsblatt 32/latex

\setcounter{section}{32}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ ein ${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} mit einem \definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{.} Zeige, dass für
\mathl{u,v \in V}{} die Gleichheit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Vert {v+u} \Vert }
{ = }{ \Vert {v-u} \Vert }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} genau dann gilt, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \left\langle v , u \right\rangle }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme, welche der folgenden Vektoren im $\R^3$ zueinander \definitionsverweis {orthogonal}{}{} bezüglich des \definitionsverweis {Standardskalarproduktes}{}{} sind.
\mathdisp {\begin{pmatrix} 6 \\1\\ 5 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 3 \\-8\\ -2 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 0 \\-1\\ 4 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} -5 \\4\\ -1 \end{pmatrix}} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme, welche der folgenden Vektoren im ${\mathbb C}^2$ zueinander \definitionsverweis {orthogonal}{}{} bezüglich des \definitionsverweis {Standardskalarproduktes}{}{} sind.
\mathdisp {\begin{pmatrix} 6-3 { \mathrm i} \\- { \mathrm i} \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 4-7 { \mathrm i} \\-9-5 { \mathrm i} \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} { \frac{ 1 }{ 3 } } { \mathrm i} \\2 + { \mathrm i} \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} { \frac{ 1 }{ 3 } } \\-1-2 { \mathrm i} \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} { \frac{ 1 }{ 3 } } \\-1+2 { \mathrm i} \end{pmatrix}} { . }

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $V$ ein ${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} mit einem \definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{.} Es sei
\mathl{v \in V}{} ein fixierter Vektor und
\mathl{a \in {\mathbb K}}{.} Zeige, dass
\mathdisp {{ \left\{ u \in V \mid \left\langle u , v \right\rangle = a \right\} }} { }
ein \definitionsverweis {affiner Unterraum}{}{} von $V$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Diskutiere den Satz des Pythagoras im Sinne von Satz 32.3 im Vergleich zu der elementargeometrischen Version.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {Vektorraum}{}{} über ${\mathbb K}$ mit einem \definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{} $\left\langle - , - \right\rangle$ und sei $U \subseteq V$ ein \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{.} Zeige, dass das \definitionsverweis {orthogonale Komplement}{}{} ebenfalls ein Untervektorraum von $V$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {Vektorraum}{}{} über ${\mathbb K}$ mit einem \definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{} $\left\langle - , - \right\rangle$ und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U }
{ \subseteq }{V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{.} Es sei
\mathbed {u_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,} ein \definitionsverweis {Erzeugendensystem}{}{} von $U$. Zeige, dass ein Vektor
\mathl{v \in V}{} genau dann zum \definitionsverweis {orthogonalen Komplement}{}{} $U^{ { \perp } }$ gehört, wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle v , u_i \right\rangle }
{ =} {0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ i }
{ \in }{ I }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme das \definitionsverweis {orthogonale Komplement}{}{} zu dem von
\mathl{\begin{pmatrix} -2 \\8\\ 9 \end{pmatrix}}{} \definitionsverweis {erzeugten Untervektorraum}{}{} im $\R^3$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme das \definitionsverweis {orthogonale Komplement}{}{} zu dem von \mathkor {} {\begin{pmatrix} 5 \\8\\ -3\\9 \end{pmatrix}} {und} {\begin{pmatrix} 6 \\2\\ 0\\3 \end{pmatrix}} {} \definitionsverweis {erzeugten Untervektorraum}{}{} im $\R^4$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {Vektorraum}{}{} über ${\mathbb K}$ mit einem \definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{} $\left\langle - , - \right\rangle$ und sei
\mathbed {v_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,} eine \definitionsverweis {Orthogonalbasis}{}{} von $V$. Zu jeder Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{J }
{ \subseteq }{I }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} sei der von
\mathbed {v_i} {}
{i \in J} {}
{} {} {} {,} \definitionsverweis {erzeugte Untervektorraum}{}{} mit $U_J$ bezeichnet. Zeige, dass das \definitionsverweis {orthogonale Komplement}{}{} von $U_J$ gleich
\mathl{U_{I \setminus J}}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Betrachte eine Ecke in einem \zusatzklammer {rechtwinkligen} {} {} Zimmer. Bilden die drei Diagonalvektoren in den beiden anliegenden Wänden und dem Boden der Länge $1$ eine \definitionsverweis {Orthonormalbasis}{}{?}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} \definitionsverweis {komplexer Vektorraum}{}{} mit einem \definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} und sei
\mathl{u_1 , \ldots , u_n}{} eine \definitionsverweis {Orthonormalbasis}{}{} von $V$. Zeige, dass
\mathdisp {u_1, { \mathrm i} u_1,u_2, { \mathrm i} u_2 , \ldots , u_n, { \mathrm i} u_n} { }
eine Orthonormalbasis des reellen Vektorraums $V$ bezüglich des zugehörigen reellen Skalarprodukts ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ ein reeller \definitionsverweis {Vektorraum}{}{} mit einem \definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} und sei
\mathbed {u_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,} eine \definitionsverweis {Orthonormalbasis}{}{} von $V$. Zeige, dass für Vektoren
\mathl{v= \sum_{i \in I}a_i u_i}{} und
\mathl{w= \sum_{i \in I}b_i u_i}{} die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle v , w \right\rangle }
{ =} { \sum_{i \in I} a_ib_i }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}

Die folgende Aufgabe ist die Grundlage der sogenannten \stichwort {Fourier-Analysis} {,} bei der es darum geht, Schwingungen als Limes von trigonometrischen Schwingungen darzustellen.


\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige, dass die Funktionen \maabbdisp {f_m} { [0,1]} {{\mathbb C} } {} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f_m(x) }
{ \defeq} { e^{2 \pi { \mathrm i} m x } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} zu
\mathl{m \in \Z}{} im Raum der stetigen Funktionen von $[0,1]$ nach ${\mathbb C}$ ein \definitionsverweis {Orthonormalsystem}{}{} bezüglich des durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle f , g \right\rangle }
{ \defeq} { \int_0^1 f \overline{ g } dx }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gegebenen \definitionsverweis {Skalarproduktes}{}{} bilden. Verwende dabei Grundtatsachen über die komplexe Exponentialfunktion.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Wende das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren auf die Basis
\mathdisp {\begin{pmatrix} 0 \\1\\ 1 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 1 \\0\\ 1 \end{pmatrix},\, \begin{pmatrix} 1 \\1\\ 0 \end{pmatrix}} { }
des $\R^3$ an.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Wende das \definitionsverweis {Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren}{}{} auf die \definitionsverweis {Basis}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2 \\1\\ 0 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 1 \\0\\ -1 \end{pmatrix},\, \begin{pmatrix} 0 \\0\\ 3 \end{pmatrix}} { }
des $\R^3$ an.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Wende das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren auf die Basis
\mathdisp {\begin{pmatrix} -1 \\2\\ 3 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 2 \\-4\\ 5 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 7 \\3\\ 1 \end{pmatrix}} { }
des $\R^3$, versehen mit dem \definitionsverweis {Standardskalarprodukt}{}{,} an.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Wende das \definitionsverweis {Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren}{}{} auf die \definitionsverweis {Basis}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 4- { \mathrm i} \\3 \end{pmatrix},\, \begin{pmatrix} { \mathrm i} \\2- { \mathrm i} \end{pmatrix}} { }
des ${\mathbb C}^2$ an.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Erstelle eine \definitionsverweis {Orthonormalbasis}{}{} des $\R^3$, die ein Vielfaches von
\mathl{\begin{pmatrix} 1 \\1\\ 1 \end{pmatrix}}{} enthält.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Der $\R^3$ sei mit dem \definitionsverweis {Standardskalarprodukt}{}{} versehen. Es sei $U \subseteq \R^3$ der \definitionsverweis {Kern}{}{} der \definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{} \maabbeledisp {} {\R^3} {\R } {(x,y,z)} {3x+y+7z } {,} versehen mit dem eingeschränkten Skalarprodukt. Man bestimme eine \definitionsverweis {Orthonormalbasis}{}{} für $U$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Der $\R^4$ sei mit dem \definitionsverweis {Standardskalarprodukt}{}{} versehen. Es sei $U \subseteq \R^4$ der \definitionsverweis {Kern}{}{} der \definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{} \maabbeledisp {} {\R^4} {\R } {(x,y,z,w)} {4x-3y+2z-5w } {,} versehen mit dem eingeschränkten Skalarprodukt. Man bestimme eine \definitionsverweis {Orthonormalbasis}{}{} für $U$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Formuliere und beweise den \anfuehrung{orthonormalen Basisergän\-zungssatz}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ ein ${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} mit \definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{} und seien
\mathl{U_1,U_2 \subseteq V}{} \definitionsverweis {Untervektorräume}{}{.} Zeige, dass für die \definitionsverweis {orthogonalen Komplemente}{}{} die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( U_1 \cap U_2 \right) } ^{ { \perp } } }
{ =} { U_1^{ { \perp } } + U_2^{ { \perp } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ ein ${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} mit einem \definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{.} Zeige die folgenden Aussagen. \aufzaehlungvier{Zu \definitionsverweis {Untervektorräumen}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U }
{ \subseteq }{U' }
{ \subseteq }{V }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ U^{ { \perp } } }
{ \supseteq} { U'^{ { \perp } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 0^{ { \perp } } }
{ = }{V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V^{ { \perp } } }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Es sei $V$ \definitionsverweis {endlichdimensional}{}{.} Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( U^{ { \perp } } \right) } ^{ { \perp } } }
{ =} { U }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }{Es sei $V$ endlichdimensional. Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \dim_{ K } { \left( U^{ { \perp } } \right) } }
{ =} { \dim_{ K } { \left( V \right) } - \dim_{ K } { \left( U \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {euklidischer Vektorraum}{}{.} Zeige, dass durch \maabbeledisp {} {V} { { V }^{ * } } {v} { { \left( w \mapsto \left\langle v , w \right\rangle \right) } } {,} eine \definitionsverweis {Isomorphie}{}{} zwischen $V$ und seinem \definitionsverweis {Dualraum}{}{} ${ V }^{ * }$ gestiftet wird.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Beweise Korollar 32.13 mit Hilfe von Aufgabe 32.25 und Lemma 15.6.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme den Wert des Vektors
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 3 \\-5\\ -3 \end{pmatrix} }
{ \in }{ \R^3 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} unter der \definitionsverweis {orthogonalen Projektion}{}{} auf die von
\mathl{\begin{pmatrix} 2 \\4\\ 9 \end{pmatrix}}{} \definitionsverweis {erzeugte Gerade}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme den Wert des Vektors
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 3 \\4\\ -2 \end{pmatrix} }
{ \in }{ \R^3 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} unter der \definitionsverweis {orthogonalen Projektion}{}{} auf den von \mathkor {} {\begin{pmatrix} 3 \\0\\ 6 \end{pmatrix}} {und} {\begin{pmatrix} 1 \\7\\ 1 \end{pmatrix}} {} \definitionsverweis {erzeugten Untervektorraum}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler ${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} mit \definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{} und es seien
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{U }
{ \subseteq} { W }
{ \subseteq} {V }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} \definitionsverweis {Untervektorräume}{}{.} Es bezeichne
\mathl{p^V_U}{} die \definitionsverweis {orthogonale Projektion}{}{} von $U$ auf $V$. Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{p^V_U }
{ =} { p_U^W \circ p_W^V }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{3}
{

Bestimme das \definitionsverweis {orthogonale Komplement}{}{} zu dem von \mathkor {} {\begin{pmatrix} 8 \\3\\ -6\\-4 \end{pmatrix}} {und} {\begin{pmatrix} 4 \\-2\\ 7\\5 \end{pmatrix}} {} \definitionsverweis {erzeugten Untervektorraum}{}{} im $\R^4$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3 (1+1+1)}
{

Die komplexen Zahlen ${\mathbb C}$ seien mit dem \definitionsverweis {Standardskalarprodukt}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} versehen. \aufzaehlungdrei{Bestimme zu dem von
\mathl{4+7 { \mathrm i}}{} erzeugten komplexen Untervektorraum von ${\mathbb C}$ das \definitionsverweis {orthogonale Komplement}{}{} bezüglich
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{.} }{Bestimme zu dem von
\mathl{4+7 { \mathrm i}}{} erzeugten komplexen Untervektorraum von ${\mathbb C}$ das \definitionsverweis {orthogonale Komplement}{}{} bezüglich des Realteils zu
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} \zusatzklammer {also dem zugehörigen reellen Skalarprodukt} {} {.} }{Bestimme zu dem von
\mathl{4+7 { \mathrm i}}{} erzeugten reellen Untervektorraum von ${\mathbb C}$ das \definitionsverweis {orthogonale Komplement}{}{} bezüglich des Realteils zu
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{.} }

}
{} {}

\inputaufgabe
{5}
{

Wende das \definitionsverweis {Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren}{}{} auf die \definitionsverweis {linear unabhängigen}{}{} polynomialen Funktionen
\mathdisp {1,x,x^2,x^3 \in V= { \left\{ f :[0,1] \rightarrow \R \mid f \text{ stetig} \right\} }} { }
mit dem in Beispiel 31.6 beschriebenen \definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{} an.

}
{} {}

\inputaufgabe
{2}
{

Wende das \definitionsverweis {Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren}{}{} auf die \definitionsverweis {Basis}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 5-2{ \mathrm i} \\3-3{ \mathrm i} \end{pmatrix},\, \begin{pmatrix} 6-{ \mathrm i} \\-2+4 { \mathrm i} \end{pmatrix}} { }
des ${\mathbb C}^2$ an.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Bestimme den Wert des Vektors
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 7 \\6\\ 8 \end{pmatrix} }
{ \in }{ \R^3 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} unter der \definitionsverweis {orthogonalen Projektion}{}{} auf den von \mathkor {} {\begin{pmatrix} 2 \\2\\ 5 \end{pmatrix}} {und} {\begin{pmatrix} 4 \\-1\\ 3 \end{pmatrix}} {} \definitionsverweis {erzeugten Untervektorraum}{}{.}

}
{} {}