Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil II/Arbeitsblatt 32



Übungsaufgaben

Es sei ein - Vektorraum mit einem Skalarprodukt . Zeige, dass für die Gleichheit genau dann gilt, wenn ist.


Bestimme, welche der folgenden Vektoren im zueinander orthogonal bezüglich des Standardskalarproduktes sind.


Bestimme, welche der folgenden Vektoren im zueinander orthogonal bezüglich des Standardskalarproduktes sind.


Es sei ein - Vektorraum mit einem Skalarprodukt . Es sei ein fixierter Vektor und . Zeige, dass

ein affiner Unterraum von ist.


Diskutiere den Satz des Pythagoras im Sinne von Satz 32.3 im Vergleich zu der elementargeometrischen Version.


Es sei ein Vektorraum über mit einem Skalarprodukt und sei ein Untervektorraum. Zeige, dass das orthogonale Komplement ebenfalls ein Untervektorraum von ist.


Es sei ein Vektorraum über mit einem Skalarprodukt und sei ein Untervektorraum. Es sei , , ein Erzeugendensystem von . Zeige, dass ein Vektor genau dann zum orthogonalen Komplement gehört, wenn

für alle ist.


Bestimme das orthogonale Komplement zu dem von erzeugten Untervektorraum im .


Bestimme das orthogonale Komplement zu dem von und erzeugten Untervektorraum im .


Es sei ein Vektorraum über mit einem Skalarprodukt und sei , , eine Orthogonalbasis von . Zu jeder Teilmenge sei der von , , erzeugte Untervektorraum mit bezeichnet. Zeige, dass das orthogonale Komplement von gleich ist.


Betrachte eine Ecke in einem (rechtwinkligen) Zimmer. Bilden die drei Diagonalvektoren in den beiden anliegenden Wänden und dem Boden der Länge eine Orthonormalbasis?


Es sei ein endlichdimensionaler komplexer Vektorraum mit einem Skalarprodukt und sei eine Orthonormalbasis von . Zeige, dass

eine Orthonormalbasis des reellen Vektorraums bezüglich des zugehörigen reellen Skalarprodukts ist.


Es sei ein reeller Vektorraum mit einem Skalarprodukt und sei , , eine Orthonormalbasis von . Zeige, dass für Vektoren und die Gleichheit

gilt.


Die folgende Aufgabe ist die Grundlage der sogenannten Fourier-Analysis, bei der es darum geht, Schwingungen als Limes von trigonometrischen Schwingungen darzustellen.

Zeige, dass die Funktionen

mit

zu im Raum der stetigen Funktionen von nach ein Orthonormalsystem bezüglich des durch

gegebenen Skalarproduktes bilden. Verwende dabei Grundtatsachen über die komplexe Exponentialfunktion.


Wende das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren auf die Basis

des an.


Wende das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren auf die Basis

des an.


Wende das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren auf die Basis

des , versehen mit dem Standardskalarprodukt, an.


Wende das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren auf die Basis

des an.


Erstelle eine Orthonormalbasis des , die ein Vielfaches von enthält.


Der sei mit dem Standardskalarprodukt versehen. Es sei der Kern der linearen Abbildung

versehen mit dem eingeschränkten Skalarprodukt. Man bestimme eine Orthonormalbasis für .


Der sei mit dem Standardskalarprodukt versehen. Es sei der Kern der linearen Abbildung

versehen mit dem eingeschränkten Skalarprodukt. Man bestimme eine Orthonormalbasis für .


Formuliere und beweise den „orthonormalen Basisergänzungssatz“.


Es sei ein - Vektorraum mit Skalarprodukt und seien Untervektorräume. Zeige, dass für die orthogonalen Komplemente die Gleichheit

gilt.


Es sei ein - Vektorraum mit einem Skalarprodukt . Zeige die folgenden Aussagen.

  1. Zu Untervektorräumen ist
  2. Es ist und .
  3. Es sei endlichdimensional. Dann ist
  4. Es sei endlichdimensional. Dann ist


Es sei ein euklidischer Vektorraum. Zeige, dass durch

eine Isomorphie zwischen und seinem Dualraum gestiftet wird.


Beweise Korollar 32.13 mit Hilfe von Aufgabe 32.25 und Lemma 15.6.


Bestimme den Wert des Vektors unter der orthogonalen Projektion auf die von erzeugte Gerade.


Bestimme den Wert des Vektors unter der orthogonalen Projektion auf den von und erzeugten Untervektorraum.


Es sei ein endlichdimensionaler - Vektorraum mit Skalarprodukt und es seien

Untervektorräume. Es bezeichne die orthogonale Projektion von auf . Zeige




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme das orthogonale Komplement zu dem von und erzeugten Untervektorraum im .


Aufgabe (3 (1+1+1) Punkte)

Die komplexen Zahlen seien mit dem Standardskalarprodukt versehen.

  1. Bestimme zu dem von erzeugten komplexen Untervektorraum von das orthogonale Komplement bezüglich .
  2. Bestimme zu dem von erzeugten komplexen Untervektorraum von das orthogonale Komplement bezüglich des Realteils zu (also dem zugehörigen reellen Skalarprodukt).
  3. Bestimme zu dem von erzeugten reellen Untervektorraum von das orthogonale Komplement bezüglich des Realteils zu .


Aufgabe (5 Punkte)

Wende das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren auf die linear unabhängigen polynomialen Funktionen

mit dem in Beispiel 31.6 beschriebenen Skalarprodukt an.


Aufgabe (2 Punkte)

Wende das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren auf die Basis

des an.


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme den Wert des Vektors unter der orthogonalen Projektion auf den von und erzeugten Untervektorraum.



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