Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil II/Arbeitsblatt 42/latex
\setcounter{section}{42}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Eine komplexe Zahl
\mathl{z \in {\mathbb C}}{} definiert einen
\definitionsverweis {Endomorphismus}{}{}
\maabb {\mu_z} {x} { zx
} {.}
Skizziere in der Ebene ${\mathbb C}$ diejenigen komplexen Zahlen mit der Eigenschaft, dass $\mu_z$ eine
\definitionsverweis {Isometrie}{}{,}
\definitionsverweis {selbstadjungiert}{}{,}
eine selbstadjungierte Isometrie bzw.
\definitionsverweis {normal}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Eine komplexe Zahl
\mathl{z \in {\mathbb C}}{} definiert eine
\definitionsverweis {Streckung}{}{}
\maabb {\mu_z} {v} { z v
} {}
auf dem ${\mathbb C}^n$. Für welche Zahlen $z$ handelt es sich dabei um eine
\definitionsverweis {Isometrie}{}{,}
einen
\definitionsverweis {selbstadjungierten Endomorphismus}{}{,}
einen
\definitionsverweis {normalen Endomorphismus}{}{?}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wann ist eine
\definitionsverweis {Scherung}{}{}
\mathl{\begin{pmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{pmatrix}}{} auf dem $\R^2$ ein
\definitionsverweis {normaler Endomorphismus}{}{?}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
mit
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{.}
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
ein
\definitionsverweis {normaler Endomorphismus}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq} {V
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein
$\varphi$-\definitionsverweis {invarianter}{}{} \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{.}
Zeige, dass auch die
\definitionsverweis {Einschränkung}{}{}
\maabbdisp {\varphi{{|}}_U} {U} {U
} {}
normal ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
mit
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} und sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
ein
\definitionsverweis {Endomorphismus}{}{.}
Zeige, dass $\varphi$ genau dann
\definitionsverweis {normal }{}{}
ist, wenn der
\definitionsverweis {adjungierte Endomorphismus}{}{}
\mathl{\hat{ \varphi }}{} normal ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
mit
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} und sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
ein
\definitionsverweis {normaler Endomorphismus}{}{.}
Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{kern} \varphi
}
{ =} { \operatorname{kern} \hat{ \varphi }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
mit
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
und es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V
}
{ =} {V_1 \oplus V_2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {direkte Summe}{}{}
der Untervektorräume
\mathkor {} {V_1} {und} {V_2} {,}
die zueinander orthogonal seien. Es seien
\maabbdisp {\varphi_1} {V_1} {V_1
} {}
und
\maabbdisp {\varphi_2} {V_2} {V_2
} {}
\definitionsverweis {normale Endomorphismen}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi
}
{ =} { \varphi_1 \oplus \varphi_2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Summe davon. Zeige, dass auch $\varphi$ normal ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
mit
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{.} Zeige, dass die Menge der
\definitionsverweis {normalen Endomorphismen}{}{}
von $V$ keinen
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
in
\mathl{\operatorname{End}_{ } { \left( V \right) }}{} bilden.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Die lineare Abbildung
\maabb {\varphi} {\R^2} {\R^2
} {}
werde bezüglich der Basis
\mathl{\begin{pmatrix} 6 \\-5 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -5 \\2 \end{pmatrix}}{} durch die Matrix
\mathl{\begin{pmatrix} 7 & 0 \\ 0 & 7 \end{pmatrix}}{} beschrieben. Handelt es sich um einen
\definitionsverweis {normalen Endomorphismus}{}{?}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Die lineare Abbildung
\maabb {\varphi} {\R^2} {\R^2
} {}
werde bezüglich der Basis
\mathl{\begin{pmatrix} 7 \\-2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 4 \\14 \end{pmatrix}}{} durch die Matrix
\mathl{\begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 6 \end{pmatrix}}{} beschrieben. Handelt es sich um einen
\definitionsverweis {normalen Endomorphismus}{}{?}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Entscheide, ob es für die durch die Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2-3{ \mathrm i} & 4+5{ \mathrm i} \\ 11-3{ \mathrm i} & 6+9{ \mathrm i} \end{pmatrix}} { }
gegebene
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
\maabb {} {{\mathbb C}^2} {{\mathbb C}^2
} {}
eine
\definitionsverweis {Orthonormalbasis}{}{}
des ${\mathbb C}^2$ aus
\definitionsverweis {Eigenvektoren}{}{}
gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Entscheide, ob es für die durch die Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2-5{ \mathrm i} & 3-4{ \mathrm i} & 1+5{ \mathrm i} \\ 0 & 1-{ \mathrm i} & 2+9{ \mathrm i} \\6+3{ \mathrm i} & { \mathrm i}-7 & -4{ \mathrm i} \end{pmatrix}} { }
gegebene lineare Abbildung
\maabb {} {{\mathbb C}^3} {{\mathbb C}^3
} {}
eine
\definitionsverweis {Orthonormalbasis}{}{}
des ${\mathbb C}^3$ aus
\definitionsverweis {Eigenvektoren}{}{}
gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
mit
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} und es sei
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
von $V$. Es sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
ein
\definitionsverweis {Endomorphismus}{}{}
und
\mathl{\Psi_\varphi}{} die zugehörige
\definitionsverweis {Sesquilinearform}{}{}
im Sinne von
Lemma 41.12.
Wie verhält sich die beschreibende Matrix von $\varphi$ zur
\definitionsverweis {Gramschen Matrix}{}{}
zu
\mathl{\Psi_\varphi}{?} Welche Beziehung besteht zur Gramschen Matrix der Form
\mathl{\Theta_\varphi}{,} die durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Theta_\varphi (v,w)
}
{ =} { \left\langle v , \varphi(w) \right\rangle
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
definiert wird.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mathl{X^2+(3-2 { \mathrm i})X- 6{ \mathrm i}}{} das
\definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{}
eines
\definitionsverweis {normalen Endomorphismus}{}{}
\maabb {\varphi} {{\mathbb C}^2} {{\mathbb C}^2
} {.}
Bestimme das charakteristische Polynom des
\definitionsverweis {adjungierten Endomorphismus}{}{}
$\hat{ \varphi }$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $V$ ein endlichdimensionaler
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
mit einem fixierten
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{.} Wir nennen eine
\definitionsverweis {Sesquilinearform}{}{}
$\Psi$ auf $V$ \stichwort {orthogonalisierbar} {,} wenn es eine
\definitionsverweis {Orthonormalbasis}{}{}
\mathl{u_1 , \ldots , u_n}{}
\zusatzklammer {bezüglich des Skalarproduktes} {} {}
von $V$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Psi (u_i,u_j)
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{i
}
{ \neq }{j
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt. Zeige, dass bei der Korrespondenz
\maabbeledisp {} { \operatorname{End}_{ } { \left( V \right) } } { \operatorname{Sesq}_{ } { \left( V \right) }
} { \varphi} { \Psi_\varphi
} {,}
die
\definitionsverweis {normalen Endomorphismen}{}{}
den orthogonalisierbaren Sesquilinearformen entsprechen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
und
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} eine
\definitionsverweis {hermitesche}{}{} \definitionsverweis {Sesquilinearform}{}{}
auf $V$. Zeige, dass $V$ eine
\definitionsverweis {Orthogonalbasis}{}{}
besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Beweise den Trägheitssatz von Sylvester für eine \definitionsverweis {komplex-hermitesche Form}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Der $\R^4$ sei \zusatzklammer {neben dem \definitionsverweis {Standardskalarprodukt}{}{}} {} {} mit der \definitionsverweis {Standard-Minkowski-Form}{}{} versehen. Man gebe eine \definitionsverweis {Basis}{}{} des $\R^4$ an, die bezüglich des Skalarproduktes eine \definitionsverweis {Orthonormalbasis}{}{} und bezüglich der Min\-kowski-Form eine \definitionsverweis {Orthogonalbasis}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Der $\R^2$ sei \zusatzklammer {neben dem \definitionsverweis {Standardskalarprodukt}{}{}} {} {} mit der \definitionsverweis {Standard-Minkowski-Form}{}{} versehen. Bestimme sämtliche \definitionsverweis {Basen}{}{} des $\R^2$, die bezüglich des Skalarproduktes eine \definitionsverweis {Orthonormalbasis}{}{} und bezüglich der Min\-kowski-Form eine \definitionsverweis {Orthogonalbasis}{}{} sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme den
\definitionsverweis {Typ}{}{}
der Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} -6 & 3- 2{ \mathrm i} & -1+3{ \mathrm i} \\ 3+2{ \mathrm i} & 1 & 5 \\-1-3{ \mathrm i} & 5 & -1 \end{pmatrix}} { . }
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{2}
{
Die lineare Abbildung
\maabb {\varphi} {\R^2} {\R^2
} {}
werde bezüglich der Basis
\mathl{\begin{pmatrix} 7 \\-2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -4 \\3 \end{pmatrix}}{} durch die Matrix
\mathl{\begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 5 \end{pmatrix}}{} beschrieben. Handelt es sich um einen
\definitionsverweis {normalen Endomorphismus}{}{?}
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
mit
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
und es sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
ein
\definitionsverweis {normaler Endomorphismus}{}{.}
Zeige, dass auch
\mathl{\varphi- \lambda \cdot
\operatorname{Id}_{ V }}{} normal ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Entscheide, ob es für die durch die Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 4+{ \mathrm i} & 6-7{ \mathrm i} & 6+3{ \mathrm i} \\ 4-{ \mathrm i} & 2-{ \mathrm i} & 2-{ \mathrm i} \\5+3{ \mathrm i} & 2{ \mathrm i}-11 & 4+3{ \mathrm i} \end{pmatrix}} { }
gegebene
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
\maabb {} {{\mathbb C}^3} {{\mathbb C}^3
} {}
eine
\definitionsverweis {Orthonormalbasis}{}{}
des ${\mathbb C}^3$ aus
\definitionsverweis {Eigenvektoren}{}{}
gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} ein \definitionsverweis {normaler Endomorphismus}{}{} auf dem \definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{} ${\mathbb C}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$. Zeige, dass $\varphi$ genau dann \definitionsverweis {selbstadjungiert}{}{} ist, wenn alle \definitionsverweis {Eigenwerte}{}{} von $\varphi$ reell sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Bestimme den
\definitionsverweis {Typ}{}{}
der Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} -5 & 3- { \mathrm i} & -4+{ \mathrm i} \\ 3+{ \mathrm i} & 2 & 7{ \mathrm i} \\-4-{ \mathrm i} & -7{ \mathrm i} & 4 \end{pmatrix}} { . }
}
{} {}
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