Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil II/Arbeitsblatt 43
- Übungsaufgaben
Aufgabe
Multipliziere in die beiden Polynome
Aufgabe
Multipliziere in die beiden Polynome
Aufgabe *
Zeige, dass im Polynomring über einem Körper das Ideal kein Hauptideal ist.
Aufgabe
Skizziere im die Lösungsmenge der folgenden Gleichungen.
- ,
- ,
- ,
- ,
- ,
- ,
- ,
- ,
- ,
- .
In den folgenden Aufgaben ist Standardform im Sinne von
Satz 43.9
zu verstehen. Es muss die neue Basis, die Variablentransformation
(Koordinatentransformation)
und das vereinfachte quadratische Polynom angegeben werden.
Aufgabe *
Aufgabe
In der folgenden Aufgabe geht es um zwei Definitionen für eine Ellipse.
Aufgabe *
Es seien zwei Punkte, und es sei
Zeige, dass die Nullstellenmenge einer quadratischen Gleichung in zwei Variablen ist. Wie sieht die Standardgestalt aus? Was sind die Hauptachsen?
Tipp: Führe die beschriebene Situation auf den Fall zurück, wo und .
Unter normierter Standardgestalt verstehen wir eine quadratische Form, bei der die nichtkonstanten Koeffizienten nur den Wert haben dürfen. Dies kann man durch Verzerrungen stets erreichen (wobei aber die Orthogonalität verloren geht).
Aufgabe
Bestimme die normierte Standardgestalt der reellen Quadrik
Aufgabe
Welche der rechts skizzierten Quadriken kann man (in welchem Sinne) mit weniger als drei Variablen beschreiben?
Aufgabe
Bestimme, welche Quadriken aus Beispiel 43.12 sich als Graph und welche sich als Rotationsfläche beschreiben lassen.
Aufgabe *
Bestimme die normierte Standardgestalt der reellen Quadrik
Aufgabe
Bestimme die normierte Standardgestalt der reellen Quadrik
Aufgabe
Es sei ein Minkowski-Raum der Dimension . Wir betrachten die Menge
Für welche ist wegzusammenhängend, für welche zerfällt es in verschiedene Komponenten?
Aufgabe
Es sei ein Minkowski-Raum der Dimension . Wir betrachten die Menge
Es sei der Beobachtervektor eines Beobachters und es sei seine Raumkomponente. Welche Gestalt besitzt ?
Aufgabe
Es sei ein Körper. Das Bild der durch
definierten Kurve heißt Neilsche Parabel. Zeige, dass ein Punkt genau dann zu diesem Bild gehört, wenn er die Gleichung erfüllt.
Aufgabe
Sei
Bestimme die Punkte , für die der Abstand der zugehörigen Kurvenpunkte zum Punkt minimal wird.
Aufgabe
Wir betrachten die Kurve
a) Zeige, dass die Bildpunkte der Kurve die Gleichung
erfüllen.
b) Zeige, dass jeder Punkt mit zum Bild der Kurve gehört.
c) Zeige, dass es genau zwei Punkte und mit identischem Bildpunkt gibt, und dass ansonsten die Abbildung injektiv ist.
Aufgabe
Es sei das Bild unter der polynomialen Abbildung
Bestimme ein Polynom in zwei Variablen derart, dass auf dem Nullstellengebilde zu liegt.
Aufgabe
Es sei der Graph der Standardparabel
und die Rotationsfläche zu um die -Achse.
- Zeige, dass durch keine Quadrik beschrieben wird.
- Zeige, dass die Nullstellenmenge eines Polynoms in drei Variablen ist.
Aufgabe
Es sei eine hermitesche Form mit der Gramschen Matrix (bezüglich einer Basis). Zeige, dass die Determinante von reell ist.
Aufgabe
Es sei eine hermitesche Form mit der Gramschen Matrix (bezüglich einer Basis). Zeige, dass das charakteristische Polynom von reelle Koeffizienten besitzt.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (3 Punkte)
Wie viele Monome vom Grad gibt es im Polynomring in einer, in zwei und in drei Variablen?
Aufgabe (4 Punkte)
Bestimme alle Lösungen der Kreisgleichung
für die Körper , , und .
Aufgabe (6 Punkte)
Aufgabe (10 (4+6) Punkte)
Wir betrachten den Kegel
und es sei eine affine Ebene. Der Durchschnitt heißt Kegelschnitt.
- Zeige, dass jeder Kegelschnitt
in geeigneten Koordinaten des als Nullstellenmenge eines quadratischen Polynoms in beschrieben werden kann.
- Bestimme, welche der Quadriken aus Beispiel 43.8 sich als Kegelschnitte realisieren lassen.
Aufgabe (4 Punkte)
Bestimme die normierte Standardgestalt der reellen Quadrik
<< | Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil II | >> |
---|