Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil II/Arbeitsblatt 55/latex

\setcounter{section}{55}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

Wir erinnern an die beiden folgenden Aufgaben.


\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und $I$ eine Indexmenge. Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ K^I }
{ \defeq} {\operatorname{Abb} \, { \left( I , K \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit stellenweiser Addition und skalarer Multiplikation ein $K$-Vektorraum ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{,} sei $I$ eine Indexmenge, und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K^I }
{ = }{ \operatorname{Abb} \, { \left( I , K \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} der zugehörige \definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} \aufzaehlungzwei {Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ E }
{ =} { { \left\{ f \in K^I \mid f(i) = 0 \text { für alle } i \in I \text{ bis auf endlich viele Ausnahmen} \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{} von $K^I$ ist. } {Zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ i }
{ \in }{ I }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ e_i }
{ \in }{ K^I }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ e_i (j ) }
{ =} { \begin{cases} 1, \text{ falls } j = i \, , \\ 0 \text{ sonst}\, , \end{cases} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gegeben. Man zeige, dass sich jedes Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f }
{ \in }{ E }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eindeutig als \definitionsverweis {Linearkombination}{}{} der Familie
\mathbed {e_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,} darstellen lässt. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und seien $S$ und $T$ Mengen. Zeige, dass durch eine \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbdisp {\psi} {S} {T } {} eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabbeledisp {} {\operatorname{Abb} \, { \left( T , K \right) } } { \operatorname{Abb} \, { \left( S , K \right) } } {\varphi} { \varphi \circ\psi } {,} festgelegt ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und seien $S$ und $T$ Mengen. Es sei \maabbdisp {\psi} {S} {T } {} eine \definitionsverweis {Abbildung}{}{.}

a) Zeige, dass durch
\mathl{e_s \mapsto e_{\psi(s)}}{} eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabbdisp {} {K^{(S)} } { K^{(T)} } {} festgelegt ist.

b) Es habe nun $\psi$ zusätzlich die Eigenschaft, dass sämtliche \definitionsverweis {Fasern}{}{} endlich seien. Zeige, dass dadurch eine lineare Abbildung \maabbeledisp {} {K^{(T)} } { K^{(S)} } {\varphi} { \varphi \circ \psi } {,} festgelegt ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und seien \mathkor {} {I} {und} {J} {} endliche Indexmengen. Zeige, dass die Abbildung \maabbeledisp {} { \operatorname{Abb} \, { \left( I , K \right) } \times \operatorname{Abb} \, { \left( J , K \right) } } { \operatorname{Abb} \, { \left( I \times J , K \right) } } {(f,g)} { f \otimes g } {,} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ ( f \otimes g ) (i,j) }
{ \defeq} { f(i) \cdot g(j) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} \definitionsverweis {multilinear}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass im Allgemeinen in einem \definitionsverweis {Tensorprodukt}{}{}
\mathl{V \otimes_{ K } W}{} nicht jeder Vektor von der Form
\mathl{v \otimes w}{} ist.

}
{} {}

Mit berechnen ist in den folgenden Aufgaben gemeint, die Tensorprodukte als Linearkombinationen von Tensorprodukten zu den Standardvektoren auszudrücken.


\inputaufgabe
{}
{

Berechne in
\mathl{\R^2 \otimes_{ \R } \R^2}{} das \definitionsverweis {Tensorprodukt}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 6 \\8 \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} 5 \\-2 \end{pmatrix}} { . }

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Berechne in
\mathl{\R^2 \otimes_{ \R } \R^3}{} das \definitionsverweis {Tensorprodukt}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} -7 \\3 \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} 3 \\-2\\ 4 \end{pmatrix}} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Berechne in
\mathl{\R^3 \otimes_{ \R } \R^3}{} das \definitionsverweis {Tensorprodukt}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 5 \\ 3\\ 7 \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} -8 \\9\\ -4 \end{pmatrix}} { . }

}
{} {}


\inputaufgabe
{}
{

Berechne in
\mathl{\R^2 \otimes_{ \R } \R^3 \otimes_{ \R } \R^2}{} das \definitionsverweis {Tensorprodukt}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 6 \\-7 \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} -7 \\3\\ -3 \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} -5 \\4 \end{pmatrix}} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Berechne in
\mathl{\R^2 \otimes_{ \R } \R^3 \otimes_{ \R } \R^4}{} das \definitionsverweis {Tensorprodukt}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2 \\- { \frac{ 3 }{ 7 } } \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} -7 \\ { \frac{ 5 }{ 4 } } \\ { \frac{ 3 }{ 5 } } \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} 3 \\1\\ 0\\{ \frac{ 4 }{ 3 } } \end{pmatrix}} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Berechne in
\mathl{{\mathbb C}^2 \otimes_{ {\mathbb C} } {\mathbb C}^3}{} das \definitionsverweis {Tensorprodukt}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 3-5 { \mathrm i} \\4+{ \mathrm i} \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} 6 \\1-{ \mathrm i}\\ 2+3{ \mathrm i} \end{pmatrix}} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Berechne in
\mathl{{\mathbb C} \otimes_{ \R } {\mathbb C} \otimes_{ \R } {\mathbb C}}{} das \definitionsverweis {Tensorprodukt}{}{}
\mathdisp {(4-5{ \mathrm i}) \otimes (3-7{ \mathrm i}) \otimes (-2-6{ \mathrm i})} { . }

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} mit dem \definitionsverweis {Dualraum}{}{}
\mathl{{ V }^{ * }}{.} Zeige, dass es eine \definitionsverweis {Linearform}{}{} \maabbdisp {} { { V }^{ * } \otimes V } { K } {} gibt, die
\mathl{f \otimes v}{} auf
\mathl{f(v)}{} abbildet.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und es seien \mathkor {} {V} {und} {W} {} \definitionsverweis {Vektorräume}{}{} über $K$. Es sei
\mathl{{ V }^{ * }}{} der \definitionsverweis {Dualraum}{}{} zu $V$. Zeige die folgenden Aussagen.

a) Es gibt eine \definitionsverweis {multilineare Abbildung}{}{} \maabbeledisp {} {{ V }^{ * } \times W } { \operatorname{Hom}_{ K } { \left( V , W \right) } } {(f,w)} { { \left( v \mapsto f(v)w \right) } } {.}

b) Es gibt eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabbdisp {\psi} {{ V }^{ * } \otimes W } { \operatorname{Hom}_{ K } { \left( V , W \right) } } {,} die
\mathl{f \otimes w}{} auf die lineare Abbildung
\mathl{v \mapsto f(v)w}{} abbildet.

c) Wenn \mathkor {} {V} {und} {W} {} \definitionsverweis {endlichdimensional}{}{} sind, so ist $\psi$ aus Teil (b) ein \definitionsverweis {Isomorphismus}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und seien
\mathl{(V_1, \left\langle - , - \right\rangle_1 ) , \ldots , (V_n, \left\langle - , - \right\rangle_n )}{} \definitionsverweis {Vektorräume}{}{} über $K$, auf denen jeweils eine \definitionsverweis {Bilinearform}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle_i}{} fixiert sei. Zeige, dass auf den \definitionsverweis {Tensorprodukt}{}{}
\mathl{V_1 \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } V_n}{} eine Bilinearform
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} gegeben ist, für die
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle v_1 \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } v_n , w_1 \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } w_n \right\rangle }
{ =} { \left\langle v_1 , w_1 \right\rangle_1 \cdots \left\langle v_n , w_n \right\rangle_n }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Der $\R^4$ sei mit der \definitionsverweis {Minkowski-Standard-Form}{}{} versehen. Bestimme die zugehörige Linearform auf
\mathl{\R^4 \otimes_{ \R } \R^4}{.}

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{2}
{

Berechne in
\mathl{\R^3 \otimes_{ \R } \R^3}{} das \definitionsverweis {Tensorprodukt}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 6 \\- 3\\ 8 \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} -5 \\-1\\ 4 \end{pmatrix}} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Berechne in
\mathl{{\mathbb C}^2 \otimes_{ {\mathbb C} } {\mathbb C}^3 \otimes_{ {\mathbb C} } {\mathbb C}^2}{} das \definitionsverweis {Tensorprodukt}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2-{ \mathrm i} \\-{ \mathrm i} \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} 5 \\3+2{ \mathrm i}\\ 4-3{ \mathrm i} \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} -1+{ \mathrm i} \\2+{ \mathrm i} \end{pmatrix}} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} und
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} eine \definitionsverweis {Bilinearform}{}{} auf $V$, die bezüglich der \definitionsverweis {Basis}{}{}
\mathl{v_1 , \ldots , v_d}{} von $V$ durch die \definitionsverweis {Gramsche Matrix}{}{} $M=(a_{ij})$ beschrieben werde. Beschreibe die zugehörige \definitionsverweis {Linearform}{}{} auf
\mathl{V \otimes_{ K } V}{} bezüglich der zugehörigen Basis.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und seien $U,V,W$ \definitionsverweis {Vektorräume}{}{} über $K$. Stifte eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabbdisp {} { \operatorname{Hom}_{ K } { \left( U , V \right) } \otimes \operatorname{Hom}_{ K } { \left( V , W \right) } } { \operatorname{Hom}_{ K } { \left( U , W \right) } } {,} die
\mathl{\psi \otimes \varphi}{} auf
\mathl{\varphi \circ \psi}{} abbildet.

}
{} {}