Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil II/Arbeitsblatt 56

Übungsaufgaben

Aufgabe

Es seien im ${}\mathbb {R} ^{2}$ die Basen ${}{\mathfrak {v}}={\begin{pmatrix}3\\-7\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-5\\2\end{pmatrix}}$ und die Standardbasis ${}{\mathfrak {e}}$ und in ${}{\mathbb {C} }$ die reellen Basen ${}{\mathfrak {x}}=8-2{\mathrm {i} },6+3{\mathrm {i} }$ und ${}{\mathfrak {y}}=1,{\mathrm {i} }$ gegeben. Bestimme die Übergangsmatrix zu den zugehörigen Basen auf dem Tensorprodukt ${}\mathbb {R} ^{2}\otimes _{\mathbb {R} }{\mathbb {C} }$.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}U,V,W$ seien ${}K$- Vektorräume. Zeige die folgenden Aussagen (im Sinne einer kanonischen Isomorphie).

1. Es ist

   ${}U\otimes _{K}V\cong V\otimes _{K}U\,.$

2. Es ist

   ${}U\otimes _{K}{\left(V\otimes _{K}W\right)}\cong {\left(U\otimes _{K}V\right)}\otimes _{K}W\,.$

Aufgabe

Die linearen Abbildungen

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$

und

$\psi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$

seien bezüglich der Standardbasen durch die beiden Matrizen ${}{\begin{pmatrix}3&2\\-4&9\end{pmatrix}}$ und ${}{\begin{pmatrix}6&3\\0&5\end{pmatrix}}$ gegeben. Bestimme die Matrix zur linearen Abbildung

$\varphi \otimes \psi \colon \mathbb {R} ^{2}\otimes \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}\otimes \mathbb {R} ^{2}.$

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}Z$ ein Vektorraum über ${}K$. Wir betrachten die Zuordnung ${}V\mapsto V\otimes _{K}Z$, die einem Vektorraum ${}V$ das Tensorprodukt ${}V\otimes _{K}Z$ und einer ${}K$- linearen Abbildung

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

die Tensorierung ${}\varphi \otimes \operatorname {Id} _{Z}$ zuordnet. Zeige die folgenden Aussagen.

1. Zur Identität

   $\operatorname {Id} _{V}\colon V\longrightarrow V$

   ist auch

   ${}\operatorname {Id} _{V}\otimes \operatorname {Id} _{Z}=\operatorname {Id} _{V\otimes Z}\,$

   die Identität.

2. Zu linearen Abbildungen

   $U{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}V{\stackrel {\psi }{\longrightarrow }}W$

   ist

   ${}(\psi \circ \varphi )\otimes \operatorname {Id} _{Z}={\left(\varphi \otimes \operatorname {Id} _{Z}\right)}\circ {\left(\psi \otimes \operatorname {Id} _{Z}\right)}\,.$

3. Zu einem Isomorphismus

   $\varphi \colon V\longrightarrow W$

   ist auch ${}\varphi \otimes \operatorname {Id} _{Z}$ ein Isomorphismus, und für die Umkehrabbildung gilt

   ${}{\left(\varphi \otimes \operatorname {Id} _{Z}\right)}^{-1}=\varphi ^{-1}\otimes \operatorname {Id} _{Z}\,.$

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}U,V,W$ Vektorräume über ${}K$. Zeige, dass eine kanonische Isomorphie

${}U\otimes _{K}{\left(V\oplus W\right)}\cong {\left(U\otimes _{K}V\right)}\oplus {\left(U\otimes _{K}W\right)}\,$

vorliegt.

Aufgabe *

Es seien ${}V_{1},\ldots ,V_{n}$ endlichdimensionale ${}K$- Vektorräume und es seien

$U_{1,1}\subset U_{1,2}\subset \ldots \subset U_{1,\dim _{K}{\left(V_{1}\right)}}\subset V_{1},\ldots ,U_{n,1}\subset U_{n,2}\subset \ldots \subset U_{n,\dim _{K}{\left(V_{n}\right)}}\subset V_{n}$

Fahnen in den beteiligten Vektorräumen. Zeige, dass es keine Fahne in ${}V_{1}\otimes _{K}\cdots \otimes _{K}V_{n}$ geben muss, in der die einzelnen Unterräume die Gestalt

$U_{1,j_{1}}\otimes _{}\cdots \otimes _{}U_{n,j_{n}}$

haben.

Aufgabe

Es seien ${}U_{1}\subseteq V_{1},U_{2}\subseteq V_{2},\ldots ,U_{n}\subseteq V_{n}$ Untervektorräume mit den Restklassenräumen ${}V_{1}/U_{1},\ldots ,V_{n}/U_{n}$. Gibt es eine kanonische Isomorphie

${}(V_{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}V_{n})/(U_{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}U_{n})\cong (V_{1}/U_{1})\otimes _{}\cdots \otimes _{}(V_{n}/U_{n})\,?$

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}V_{1},\ldots ,V_{n}$ Vektorräume über ${}K$. Es seien diagonalisierbare ${}K$- lineare Abbildungen

$\varphi _{i}\colon V_{i}\longrightarrow V_{i}$

gegeben. Zeige, dass auch das Tensorprodukt

$\varphi _{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}\varphi _{n}\colon V_{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}V_{n}\longrightarrow V_{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}V_{n}$

diagonalisierbar ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}V_{1},\ldots ,V_{n}$ Vektorräume über ${}K$. Es seien trigonalisierbare ${}K$- lineare Abbildungen

$\varphi _{i}\colon V_{i}\longrightarrow V_{i}$

gegeben. Zeige, dass auch das Tensorprodukt

$\varphi _{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}\varphi _{n}\colon V_{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}V_{n}\longrightarrow V_{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}V_{n}$

trigonalisierbar ist.

Aufgabe

Die lineare Abbildung ${}\varphi \colon V\rightarrow V$ sei bezüglich der Basis ${}v_{1},v_{2}$ durch die Jordan-Matrix ${}{\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}$ und die lineare Abbildung ${}\psi \colon W\rightarrow W$ sei bezüglich der Basis ${}w_{1},w_{2}$ durch die Jordan-Matrix ${}{\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}$ gegeben.

1. Bestimme die Matrix von

   $\varphi \otimes \psi \colon V\otimes W\longrightarrow V\otimes W$

   bezüglich der Basis ${}v_{1}\otimes w_{1},v_{1}\otimes w_{2},v_{2}\otimes w_{1},v_{2}\otimes w_{2}$.

2. Bestimme die jordansche Normalform von ${}\varphi \otimes \psi$.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}V_{1},\ldots ,V_{n},W_{1},\ldots ,W_{n}$ Vektorräume über ${}K$. Zeige, dass die Abbildung

$\operatorname {Hom} _{K}{\left(V_{1},W_{1}\right)}\times \cdots \times \operatorname {Hom} _{K}{\left(V_{n},W_{n}\right)}\longrightarrow \operatorname {Hom} _{K}{\left(V_{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}V_{n},W_{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}W_{n}\right)},\,(\varphi _{1},\ldots ,\varphi _{n})\longmapsto \varphi _{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}\varphi _{n},$

multilinear ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}V_{1},\ldots ,V_{n},W_{1},\ldots ,W_{n}$ endlichdimensionale ${}K$- Vektorräume. Zeige, dass es einen kanonischen Isomorphismus

$\operatorname {Hom} _{K}{\left(V_{1},W_{1}\right)}\otimes _{}\cdots \otimes _{}\operatorname {Hom} _{K}{\left(V_{n},W_{n}\right)}\longrightarrow \operatorname {Hom} _{K}{\left(V_{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}V_{n},W_{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}W_{n}\right)}$

gibt.

Aufgabe

Es sei ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung und ${}f\in L$. Zeige, dass die Abbildung

$\mu _{f}\colon L\longrightarrow L,\,x\longmapsto fx,$

${}K$- linear ist.

Aufgabe

Es sei ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung und es sei ${}a\in L$. Zeige, dass die Einsetzungsabbildung, also die Zuordnung

$\psi \colon K[X]\longrightarrow L,\,P\longmapsto P(a),$

folgende Eigenschaften erfüllt (dabei seien $P,Q\in K[X]$).

1. ${}(P+Q)(a)=P(a)+Q(a)$,
2. ${}(P\cdot Q)(a)=P(a)\cdot Q(a)$,
3. ${}1(a)=1$.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum und ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung. Es sei ${}v_{i}$, ${}i\in I$, eine Familie von Vektoren aus ${}V$. Zeige die folgende Aussagen.

1. Die Familie ${}v_{i}$, ${}i\in I$, ist genau dann ein ${}K$- Erzeugendensystem von ${}V$, wenn ${}1\otimes v_{i}$, ${}i\in I$, ein ${}L$-Erzeugendensystem von ${}L\otimes V$ ist.
2. Die Familie ${}v_{i}$, ${}i\in I$, ist genau dann ${}K$- linear unabhängig (über ${}K$) in ${}V$, wenn ${}1\otimes v_{i}$, ${}i\in I$, linear unabhängig (über ${}L$) in ${}L\otimes V$ ist.
3. Die Familie ${}v_{i}$, ${}i\in I$, ist genau dann eine ${}K$- Basis von ${}V$, wenn ${}1\otimes v_{i}$, ${}i\in I$, eine ${}L$-Basis von ${}L\otimes V$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung. Wir betrachten die Zuordnung ${}V\mapsto V_{L}=L\otimes _{K}V$, die einem ${}K$- Vektorraum ${}V$ den ${}L$-Vektorraum ${}L\otimes _{K}V$ und einer ${}K$- linearen Abbildung

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

die Tensorierung ${}\varphi _{L}$ zuordnet. Zeige die folgenden Aussagen.

1. Zur Identität

   $\operatorname {Id} _{V}\colon V\longrightarrow V$

   ist

   ${}{\left(\operatorname {Id} _{V}\right)}_{L}=\operatorname {Id} _{L\otimes _{K}V}\,$

   die Identität.

2. Zu linearen Abbildungen

   $U{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}V{\stackrel {\psi }{\longrightarrow }}W$

   ist

   ${}(\psi \circ \varphi )_{L}=\psi _{L}\circ \varphi _{L}\,.$

3. Zu einem Isomorphismus

   $\varphi \colon V\longrightarrow W$

   ist auch ${}\varphi _{L}$ ein Isomorphismus, und für die Umkehrabbildung gilt

   ${}{\left(\varphi _{L}\right)}^{-1}={\left(\varphi ^{-1}\right)}_{L}\,.$

Eine Körpererweiterung ${}K\subseteq L$ heißt endlich, wenn ${}L$ ein endlichdimensionaler Vektorraum über ${}K$ ist.

Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung. Dann nennt man die ${}K$- Vektorraumdimension von ${}L$ den Grad der Körpererweiterung.

Aufgabe *

Bestimme den Grad der Körpererweiterung ${}\mathbb {R} \subseteq {\mathbb {C} }$.

Aufgabe

Es seien ${}K\subseteq L\subseteq M$ Körpererweiterungen derart, dass ${}M$ über ${}K$ endlich ist. Zeige, dass dann auch ${}M$ über ${}L$ und ${}L$ über ${}K$ endlich sind.

Aufgabe

Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung und sei ${}x_{1},\ldots ,x_{n}\in L$ eine ${}K$- Basis von ${}L$. Zeige, dass die Multiplikation auf ${}L$ durch die Produkte

$x_{i}x_{j},1\leq i\leq j\leq n,$

eindeutig festgelegt ist.

Aufgabe

Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung und seien ${}v_{1},\ldots ,v_{n}\in L$ Elemente, die eine ${}K$- Basis von ${}L$ bilden. Sei ${}x\in L$, ${}x\neq 0$. Zeige, dass auch ${}xv_{1},\ldots ,xv_{n}\in L$ eine ${}K$-Basis von ${}L$ bilden.

Aufgabe

Es sei ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung und seien ${}V_{1},\ldots ,V_{n}$ ${}K$- Vektorräume. Zeige, dass es eine kanonische Isomorphie der ${}L$-Vektorräume

${}L\otimes _{K}{\left(V_{1}\otimes _{K}\cdots \otimes _{K}V_{n}\right)}={\left(L\otimes _{K}V_{1}\right)}\otimes _{L}\cdots \otimes _{L}{\left(L\otimes _{K}V_{n}\right)}\,.$

Aufgabe

Zeige, dass die Körpererweiterung ${}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R}$ nicht endlich ist.

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}A$ ein ${}K$- Vektorraum. Man nennt ${}A$ eine kommutative ${}K$-Algebra, wenn es ein ausgezeichnetes Element ${}1$ und eine Verknüpfung, genannt Multiplikation,

$A\times A\longrightarrow A,\,(a,b)\longmapsto a\cdot b,$

gibt, die die Bedingungen

1. Es ist

   ${}1\cdot a=a\,$

   für alle ${}a\in A$.

2. Die Verknüpfung ist assoziativ.
3. Es ist

   ${}a\cdot b=b\cdot a\,$

   für alle ${}a\in A$.

4. Für ${}c\in K$ und ${}a\in A$ ist

   ${}ca=(c1)\cdot a\,,$

   wobei ${}ca$ und ${}c1$ die Skalarmultiplikation bezeichen.

erfüllen.

Wichtige Beispiele für ${}K$-Algebren werden durch Körpererweiterungen ${}K\subseteq L$ gegeben. Aber auch der Polynomring ${}K[X]$ ist eine ${}K$-Algebra.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}A$ und ${}B$ Algebren über ${}K$. Zeige, dass ${}A\otimes _{K}B$ ebenfalls eine ${}K$-Algebra ist, wobei die ${}1$ durch ${}1\otimes 1$ und die Multiplikation für zerlegbare Tensoren durch

${}(a\otimes b)\cdot (c\otimes d):=(a\cdot c)\otimes (b\cdot d)\,$

festgelegt ist.

In den folgenden Aufgaben bedeutet ${}\cong$, dass sich die Addition, die Multiplikation, die ${}0$ und die ${}1$ entsprechen.

Aufgabe

Es sei ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung. Zeige, dass für den Polynomring die Gleichheit

${}L\otimes _{K}K[X]\cong L[X]\,$

gilt.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper. Zeige, dass für Polynomringe die Gleichheit

${}K[X]\otimes _{K}K[Y]\cong K[X,Y]\,$

gilt.

Aufgabe

Es sei ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung und ${}A$ eine ${}K$- Algebra. Zeige, dass ${}L\otimes _{K}A$ eine ${}L$-Algebra ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Es seien im ${}\mathbb {R} ^{2}$ die Basen ${}{\mathfrak {v}}={\begin{pmatrix}6\\-5\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-4\\7\end{pmatrix}}$ und die Standardbasis ${}{\mathfrak {e}}$ und im ${}\mathbb {R} ^{3}$ die Basis ${}{\mathfrak {x}}={\begin{pmatrix}-3\\4\\-5\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2\\-1\\6\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}5\\2\\4\end{pmatrix}}$ und die Standardbasis gegeben. Bestimme die Übergangsmatrix zu den zugehörigen Basen auf dem Tensorprodukt ${}\mathbb {R} ^{2}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {R} ^{3}$.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}U_{1},\ldots ,U_{n},V_{1},\ldots ,V_{n},W_{1},\ldots ,W_{n}$ Vektorräume über ${}K$. Es seien

$\psi _{i}\colon U_{i}\longrightarrow V_{i}$

und

$\varphi _{i}\colon V_{i}\longrightarrow W_{i}$

${}K$- lineare Abbildungen. Zeige

${}(\varphi _{1}\circ \psi _{1})\otimes _{}\cdots \otimes _{}(\varphi _{n}\circ \psi _{n})=(\varphi _{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}\varphi _{n})\circ (\psi _{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}\psi _{n})\,.$

Aufgabe (2 Punkte)

Es seien ${}V_{1},\ldots ,V_{n}$ Vektorräume über dem Körper ${}K$ und

$\varphi _{i}\colon V_{i}\longrightarrow V_{i}$

lineare Abbildungen und

$\varphi =\varphi _{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}\varphi _{n}\colon V_{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}V_{n}\longrightarrow V_{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}V_{n}$

die zugehörige Tensorproduktabbildung. Es sei ${}a_{i}$ ein Eigenwert von ${}\varphi _{i}$. Zeige, dass ${}a_{1}\cdots a_{n}$ ein Eigenwert von ${}\varphi$ ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum. Zeige, dass die Abbildung

$\operatorname {End} _{}{\left(V\right)}\longrightarrow K,$

die sich aus der Identifizierung

${}\operatorname {End} _{}{\left(V\right)}={V}^{*}\otimes _{K}V\,$

gemäß Aufgabe 55.15 und der natürlichen Abbildung

${V}^{*}\otimes _{K}V\longrightarrow K,\,f\otimes v\longmapsto f(v),$

im Sinne von Aufgabe 55.14 ergibt, gleich der Spur ist.

Aufgabe (6 (2+4) Punkte)

Die lineare Abbildung ${}\varphi \colon V\rightarrow V$ sei bezüglich der Basis ${}v_{1},v_{2}$ durch die Jordan-Matrix ${}{\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}$ und die lineare Abbildung ${}\psi \colon W\rightarrow W$ sei bezüglich der Basis ${}w_{1},w_{2},w_{3}$ durch die Jordan-Matrix ${}{\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}}$ gegeben.

1. Bestimme die Matrix von

   $\varphi \otimes \psi \colon V\otimes W\longrightarrow V\otimes W$

   bezüglich der Basis ${}v_{1}\otimes w_{1},v_{1}\otimes w_{2},v_{1}\otimes w_{3},v_{2}\otimes w_{1},v_{2}\otimes w_{2},v_{2}\otimes w_{3}$.

2. Bestimme die jordansche Normalform von ${}\varphi \otimes \psi$.

Aufgabe (4 Punkte)

Es seien ${}U_{1}\subseteq V_{1},U_{2}\subseteq V_{2},\ldots ,U_{n}\subseteq V_{n}$ Untervektorräume mit den Restklassenräumen ${}V_{1}/U_{1},\ldots ,V_{n}/U_{n}$. Zeige, dass der Kern der kanonischen Abbildung

$V_{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}V_{n}\longrightarrow (V_{1}/U_{1})\otimes _{}\cdots \otimes _{}(V_{n}/U_{n})$

gleich

$\sum _{j}V_{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}V_{j-1}\otimes U_{j}\otimes V_{j+1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}V_{n}$

ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung. Zeige, dass ${}L\otimes _{K}L$ kein Körper sein muss.