Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Teil I/Vorlesung 16/latex
\setcounter{section}{16}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Waeller331.jpg} }
\end{center}
\bildtext {Vorli mag so ziemlich alles. Nur Handies findet sie blöd. Sie sind definitiv nix zum Fressen. Aber auch nix zum Spielen, da sie ablenken, ohne zu zerstreuen.} }
\bildlizenz { Waeller331.jpg } {} {Odatrulle} {Commons} {CC-by-sa 4.0} {}
\zwischenueberschrift{Die Determinante}
Kann man einer quadratischen $n \times n$-Matrix \anfuehrung{auf einen Blick}{} ansehen, ob sie \definitionsverweis {invertierbar}{}{} ist? Gibt es einen Ausdruck in den $n^2$ Einträgen der Matrix, mit dem man dies entscheiden kann? Diese Frage wird positiv durch die Determinante beantwortet.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M
}
{ = }{{ \left( a _{ i j } \right) }_{ i j }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
$n \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
über $K$. Zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{i
}
{ \in }{ { \{ 1 , \ldots , n \} }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sei $M_i$ diejenige
\mathl{(n-1)\times (n-1)}{-}Matrix, die entsteht, wenn man in $M$ die erste Spalte und die $i$-te Zeile weglässt. Dann definiert man rekursiv die \definitionswort {Determinante}{} von $M$ durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \det M
}
{ =} { \begin{cases} a_{11}\, , & \text{falls } n = 1 \, , \\ \sum_{i =1}^n(-1)^{i+1} a_{i1} \det M_i & \text{ für } n \geq 2 \, . \end{cases}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
} Die Determinante ist nur für quadratische Matrizen definiert. Die in der Definition auftretenden Matrizen nennt auch \stichwort {Streichungsmatrizen} {.} Für kleine $n$ kann man die Determinante einfach ausrechnen.
\inputbeispiel{}
{
Für eine $2\times 2$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist
\mathdisp {\det \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = a d - c b} { . }
}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Sarrus_rule.png} }
\end{center}
\bildtext {Als Merkregel für eine $3\times 3$-Matrix verwendet man die \stichwort {Regel von Sarrus} {.} Man wiederholt die erste Spalte als vierte Spalte und die zweite Spalte als fünfte Spalte. Die Produkte der durchgezogenen Diagonalen werden positiv genommen, die Produkte der gestrichelten Diagonalen negativ.} }
\bildlizenz { Sarrus rule.png } {} {Kmhkmh} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}
\inputbeispiel{}
{
Für eine
$3 \times 3$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ = }{ \begin{pmatrix} a_{ 1 1 } & a_{ 1 2 } & a_{ 1 3 } \\ a_{ 2 1 } & a_{ 2 2 } & a_{ 2 3 } \\ a_{ 3 1 } & a_{ 32 } & a_{ 33 } \end{pmatrix}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mathdisp {\det \begin{pmatrix} a_{ 1 1 } & a_{ 1 2 } & a_{ 1 3 } \\ a_{ 2 1 } & a_{ 2 2 } & a_{ 2 3 } \\ a_{ 3 1 } & a_{ 32 } & a_{ 33 } \end{pmatrix} = a_{1 1 } a_{2 2 } a_{3 3 } + a_{1 2 } a_{2 3 } a_{3 1 } + a_{1 3 } a_{2 1 } a_{3 2 } - a_{1 3 } a_{2 2 } a_{3 1 } - a_{1 1 } a_{2 3 } a_{3 2 } - a_{1 2 } a_{2 1 } a_{3 3 }} { . }
Dies nennt man die \stichwort {Regel von Sarrus} {.}
}
\inputfaktbeweis
{Determinante/Körper/Obere Dreiecksmatrix/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Für eine obere Dreiecksmatrix
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { \begin{pmatrix} b_1 & \ast & \cdots & \cdots & \ast \\ 0 & b_2 & \ast & \cdots & \ast \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & b_{ n-1} & \ast \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & b_{ n } \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}}
\faktfolgerung {ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \det M
}
{ =} { b_1b_2 { \cdots } b_{n-1} b_n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {Insbesondere ist für die
\definitionsverweis {Einheitsmatrix}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \det E_{ n }
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt mit einer einfachen Induktion direkt aus der Definition der \definitionsverweis {Determinante}{}{.}
\zwischenueberschrift{Multilineare und alternierende Abbildungen}
Wir führen zwei Begriffe ein, die wir im Moment hauptsächlich zum weiteren Verständnis der Determinante brauchen.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und seien
\mathl{ V_1 , \ldots , V_n }{} und $W$
\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
über $K$. Eine
\definitionsverweis {Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\Phi} { V_1 \times \cdots \times V_n } {W
} {}
heißt \definitionswort {multilinear}{,} wenn für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ i
}
{ \in }{ { \{ 1 , \ldots , n \} }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und jedes
\mathl{(n-1)}{-}Tupel
\mathl{(v_1 , \ldots , v_{i-1} , v_{i+1} , \ldots , v_n)}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v_j
}
{ \in }{ V_j
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die induzierte Abbildung
\maabbeledisp {} {V_i } { W
} {v_i } { \Phi ( v_1 , \ldots , v_{i-1} , v_i , v_{i+1} , \ldots , v_n )
} {,}
$K$-\definitionsverweis {linear}{}{}
ist.
}
Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ = }{ 2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
spricht man auch von \stichwort {bilinear} {.} Beispielsweise ist die Multiplikation in einem Körper $K$, also die Abbildung
\maabbeledisp {} { K \times K } { K
} { (x,y) } { xy
} {,}
bilinear. Ebenso ist zu einem
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$V$ mit
\definitionsverweis {Dualraum}{}{}
${ V }^{ * }$ die Auswertungsabbildung
\maabbeledisp {} { V \times { V }^{ * } } {K
} { (v,f) } { f(v)
} {,}
bilinear.
{Multilineare Abbildung/Distributivgesetz/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und seien
\mathl{V_1 , \ldots , V_n}{} und $W$
\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
über $K$. Es sei
\maabbdisp {\Phi} { V_1 \times \cdots \times V_n } {W
} {}
eine
\definitionsverweis {multilineare Abbildung}{}{}
und es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v_{1 j} , \ldots , v_{m_j j}
}
{ \in }{ V_j
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a_{i j}
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{ \Phi { \left( \sum_{ i = 1 }^{m_1} a_{i 1} v_{i1} , \ldots , \sum_{ i = 1 }^{m_n} a_{i n} v_{in} \right) }
}
{ =} { \sum_{ ( i_1 , \ldots , i_n ) \in \{1 , \ldots , m_1 \} \times \cdots \times \{1 , \ldots , m_n \} } a_{i_1 1} \cdots a_{i_n n} \Phi { \left( v_{i_1 1} , \ldots , v_{i_n n} \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 16.17. }
\inputdefinition
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
$V$ und $W$ seien
$K$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{\N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Eine
\definitionsverweis {multilineare Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\Phi} {V^n = \underbrace{V \times \cdots \times V}_{n\text{-mal} } } {W
} {}
heißt \definitionswort {alternierend}{,} wenn folgendes gilt: Falls in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v
}
{ = }{ (v_1 , \ldots , v_{ n })
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zwei Einträge übereinstimmen, also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v_i
}
{ = }{v_j
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für ein Paar
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{i
}
{ \neq }{j
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
so ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Phi (v)
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
} Bei einer alternierenden Abbildung muss an jeder Stelle der gleiche Vektorraum stehen.
\inputfaktbeweis
{Alternierende Abbildung/Vertauschungseigenschaft/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
$V$ und $W$ seien
$K$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei
\maabbdisp {\Phi} {V^n = \underbrace{V \times \cdots \times V}_{n\text{-mal} } } { W
} {}
eine
\definitionsverweis {alternierende Abbildung}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gilt
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{ \Phi(v_1 , \ldots , v_{r-1} , v_r, v_{r+1} , \ldots , v_{s-1} , v_s, v_{s+1} , \ldots , v_n )
}
{ =} { - \Phi(v_1 , \ldots , v_{r-1} , v_s, v_{r+1} , \ldots , v_{s-1} , v_r, v_{s+1} , \ldots , v_n )
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {D.h. wenn man zwei Vektoren vertauscht, so ändert sich das Vorzeichen.}
\faktzusatz {}
}
{
Aufgrund der Definition von alternierend und
Lemma 16.6
gilt
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{0
}
{ =} {\Phi(v_1 , \ldots , v_{r-1} , v_r +v_s, v_{r+1} , \ldots , v_{s-1} , v_r + v_s, v_{s+1} , \ldots , v_n )
}
{ =} { \Phi(v_1 , \ldots , v_{r-1} , v_r, v_{r+1} , \ldots , v_{s-1} , v_s, v_{s+1} , \ldots , v_n ) + \Phi(v_1 , \ldots , v_{r-1} , v_s, v_{r+1} , \ldots , v_{s-1} , v_r, v_{s+1} , \ldots , v_n )
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
\zwischenueberschrift{Die Determinante ist eine alternierende Abbildung}
Wir wollen zeigen, dass die rekursiv definierte Determinante eine multilineare und alternierende Abbildung ist, wenn man die Identifizierung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Mat}_{ n } (K)
}
{ \cong} { (K^n)^n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
vornimmt, bei der einer Matrix das $n$-Tupel der Zeilen der Matrix zugeordnet wird. Wir fassen also im Folgenden eine Matrix als ein Spaltentupel
\mathdisp {\begin{pmatrix} v_{1 } \\ \vdots\\ v_{ n } \end{pmatrix}} { }
auf, wobei die einzelnen Einträge $v_i$ Zeilenvektoren der Länge $n$ sind.
\inputfaktbeweis
{Determinante/Rekursiv/Multilinear/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{\N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist die
\definitionsverweis {Determinante}{}{}
\maabbeledisp {} { \operatorname{Mat}_{ n } (K) = (K^n)^n } {K
} {M} { \det M
} {,}
\definitionsverweis {multilinear}{}{.}}
\faktzusatz {D.h., dass für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k
}
{ \in }{{ \{ 1 , \ldots , n \} }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
für je
\mathl{n-1}{} Vektoren
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v_1 , \ldots , v_{k-1} , v_{k+1} , \ldots , v_n
}
{ \in }{ K^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{u,w
}
{ \in }{ K^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \det \begin{pmatrix} v_1 \\\vdots\\ v _{ k -1 }\\u+w\\ v _{ k +1 }\\ \vdots\\ v_{ n } \end{pmatrix}
}
{ =} { \det \begin{pmatrix} v_1 \\\vdots\\ v _{ k -1 }\\u\\ v _{ k +1 }\\ \vdots\\ v_{ n } \end{pmatrix} + \det \begin{pmatrix} v_1 \\\vdots\\ v _{ k -1 }\\w\\ v _{ k +1 }\\ \vdots\\ v_{ n } \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \det \begin{pmatrix} v_1 \\\vdots\\ v _{ k -1 }\\s u\\ v _{ k +1 }\\ \vdots\\ v_{ n } \end{pmatrix}
}
{ =} { s \det \begin{pmatrix} v_1 \\\vdots\\ v _{ k -1 }\\u\\ v _{ k +1 }\\ \vdots\\ v_{ n } \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.}
\faktzusatz {}
}
{
Es seien
\mathdisp {M \defeq \begin{pmatrix} v_1 \\\vdots\\ v _{ k -1 }\\u\\ v _{ k +1 }\\ \vdots\\ v_{ n } \end{pmatrix} \, ,M' \defeq \begin{pmatrix} v_1 \\\vdots\\ v _{ k -1 }\\w\\ v _{ k +1 }\\ \vdots\\ v_{ n } \end{pmatrix} \text{ und } \tilde{M} \defeq \begin{pmatrix} v_1 \\\vdots\\ v _{ k -1 }\\u+w\\ v _{ k +1 }\\ \vdots\\ v_{ n } \end{pmatrix}} { , }
wobei wir die Einträge und die Streichungsmatrizen analog bezeichnen. Insbesondere ist also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u
}
{ = }{ \left( a_{k1} , \, \ldots , \, a_{kn} \right)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ w
}
{ = }{ \left( a_{k1}' , \, \ldots , \, a_{kn}' \right)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.} Wir beweisen die Aussage des Satzes durch Induktion nach $n$, wobei der Fall
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
klar ist. Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{i
}
{ \neq }{k
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \tilde{a}_{i 1}
}
{ = }{ a_{i1}
}
{ = }{ a'_{i1}
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \det \tilde{M}_i
}
{ =} { \det M_i + \det M'_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
nach Induktionsvoraussetzung. Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{i
}
{ = }{k
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M_k
}
{ = }{M_k'
}
{ = }{\tilde{M}_k
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \tilde{a}_{k 1}
}
{ = }{ a_{k1} + a'_{k1}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Insgesamt ergibt sich
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ \det \tilde{M}
}
{ =} { \sum_{i = 1}^n (-1)^{i+1} \tilde{a}_{i1} \det \tilde{M}_i
}
{ =} { \sum_{i = 1,\, i \neq k }^n (-1)^{i+1} a_{i1} ( \det {M}_i + \det {M}'_i )
\bruchhilfealign + (-1)^{k+1} ( a_{k1} + a'_{k1} )( \det \tilde{M}_k )
}
{ =} { \sum_{i = 1,\, i \neq k }^n (-1)^{i+1} a_{i1} \det {M}_i + \sum_{i = 1,\, i \neq k }^n (-1)^{i+1} a_{i1} \det {M}'_i \bruchhilfealign + (-1)^{k+1} a_{k1} \det M_k + (-1)^{k+1} a'_{k1} \det M_k
}
{ =} { \sum_{i = 1 }^n (-1)^{i+1} a_{i1} \det {M}_i + \sum_{ i = 1,\, i \neq k, \,}^n (-1)^{i+1} a_{i1} \det {M}'_i
\bruchhilfealign + (-1)^{k+1} a'_{k1} \det M_k
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { \sum_{i = 1 }^n (-1)^{i+1} a_{i1} \det {M}_i + \sum_{ i = 1 }^n (-1)^{i+1} a'_{i1} \det {M}'_i
}
{ =} { \det M + \det M'
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
Die Verträglichkeit mit der skalaren Multiplikation beweist man ähnlich, siehe
Aufgabe 16.22.
\inputfaktbeweis
{Determinante/Rekursiv/Alternierend/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist die
\definitionsverweis {Determinante}{}{}
\maabbeledisp {} {\operatorname{Mat}_{ n } (K) = (K^n)^n } {K
} {M} { \det M
} {,}
\definitionsverweis {alternierend}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wir beweisen die Aussage durch Induktion über $n$, wobei es für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nichts zu zeigen gibt. Es sei also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M
}
{ = }{ \begin{pmatrix} v_1 \\\vdots \\ v_n \end{pmatrix}
}
{ = }{ { \left( a_{ij} \right) }_{ij}
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Die relevanten Zeilen seien
\mathkor {} {v_r} {und} {v_s} {}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r
}
{ < }{s
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Nach Definition ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \det M
}
{ = }{ \sum_{i = 1}^n (-1)^{i+1} a_{i1} \det M_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Nach Induktionsvoraussetzung sind dabei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \det M_i
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ i
}
{ \neq }{ r,s
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
da ja dann zwei Zeilen übereinstimmen. Damit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \det M
}
{ =} { (-1)^{r+1} a_{r1} \det M_r + (-1)^{s+1} a_{s1} \det M_s
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a_{r1}
}
{ = }{ a_{s1}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist. Die beiden Matrizen
\mathkor {} {M_r} {und} {M_s} {}
haben die gleichen Zeilen, allerdings tritt die Zeile
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z
}
{ = }{ v_r
}
{ = }{ v_s
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in $M_r$ als die
\mathl{(s-1)}{-}te Zeile und in $M_s$ als die $r$-te Zeile auf. Alle anderen Zeilen kommen in beiden Matrizen in der gleichen Reihenfolge vor. Durch insgesamt
\mathl{s-r-1}{} Vertauschungen von benachbarten Zeilen kann man $M_r$ in $M_s$ überführen. Nach der Induktionsvoraussetzung und
Lemma 16.8
unterscheiden sich daher die Determinanten um den Faktor
\mathl{(-1)^{s-r-1}}{,} also ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \det M_s
}
{ = }{ (-1)^{s-r-1} \det M_r
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Setzt man dies oben ein, so erhält man
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ \det M
}
{ =} { (-1)^{r+1} a_{r1} \det M_r + (-1)^{s+1} a_{s1} \det M_s
}
{ =} { a_{r1} { \left( (-1)^{r+1} \det M_r + (-1)^{s+1} (-1)^{s-r-1} \det M_r \right) }
}
{ =} { a_{r1} { \left( (-1)^{r+1} +(-1)^{2s -r } \right) } \det M_r
}
{ =} { a_{r1} { \left( (-1)^{r+1} +(-1)^{r } \right) } \det M_r
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { 0
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
Durch die Eigenschaft, alternierend zu sein, vereinfacht sich das Berechnen der Determinante. Insbesondere kann man gut überblicken, wie sich die Determinate bei elementaren Zeilenumformungen verhält. Wenn man eine Zeile mit einer Zahl $s$ multipliziert, so muss man die Determinante auch mit $s$ multiplizieren. Wenn man Zeilen vertauscht, so ändert sich das Vorzeichen der Determinante. Wenn man eine Zeile
\zusatzklammer {oder ein Vielfaches davon} {} {}
zu einer anderen Zeile hinzuaddiert, so ändert sich die Determinante nicht.
\inputfaktbeweis
{Determinante/Null, linear abhängig und Rangeigenschaft/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei $M$ eine
$n \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
über $K$.}
\faktuebergang {Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungvier{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \det M
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Die Zeilen von $M$ sind
\definitionsverweis {linear unabhängig}{}{.}
}{$M$ ist
\definitionsverweis {invertierbar}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{rang} \, M
}
{ = }{ n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Die Beziehung zwischen Rang, Invertierbarkeit und linearer Unabhängigkeit wurde schon in
Korollar 12.16
gezeigt.
\teilbeweis {}{}{}
{Es seien die Zeilen
\definitionsverweis {linear abhängig}{}{.}
Wir können nach Zeilenvertauschungen annehmen, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v_n
}
{ = }{\sum_{i = 1}^{n-1} s_i v_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist. Dann ist nach
Satz 16.9
und
Satz 16.10
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \det M
}
{ =} { \det \begin{pmatrix} v_1 \\ \vdots \\ v_{n-1}\\ \sum_{i = 1}^{n-1} s_i v_i \end{pmatrix}
}
{ =} { \sum_{i = 1}^{n-1} s_i \det \begin{pmatrix} v_1 \\ \vdots \\ v_{n-1}\\ v_i \end{pmatrix}
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Es seien nun die Zeilen linear unabhängig. Dann kann man durch Zeilenvertauschungen, Skalierung und Addition einer Zeile zu einer anderen Zeile die Matrix sukzessive zur Einheitsmatrix transformieren. Dabei ändert sich die Determinante stets durch einen von $0$ verschiedenen Faktor. Da die Determinante der Einheitsmatrix nach
Lemma 16.4
gleich $1$ ist, muss auch die Determinante der Ausgangsmatrix $\neq 0$ sein.}
{}
\inputbemerkung
{}
{
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Determinant_parallelepiped.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Determinant parallelepiped.svg } {Claudio Rocchini} {} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}
Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ = }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
steht die
\definitionsverweis {Determinante}{}{}
in einer engen Beziehung zu Volumina von geometrischen Objekten. Wenn man im $\R^n$ Vektoren
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} betrachtet, so spannen diese ein \stichwort {Parallelotop} {} auf. Dieses ist definiert als
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P
}
{ \defeq} { { \left\{ s_1v_1 + \cdots + s_n v_n \mid s_i \in [0,1] \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Es besteht also aus allen
\definitionsverweis {Linearkombinationen}{}{}
der Vektoren, wobei aber die Skalare auf das Einheitsintervall beschränkt sind. Wenn die Vektoren linear unabhängig sind, so handelt es sich wirklich um einen \anfuehrung{voluminösen}{} Körper, andernfalls liegt ein Objekt von niedrigerer Dimension vor. Es gilt nun die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{vol} \, P
}
{ =} { \betrag { \det { \left( v_1 , \ldots , v_n \right) } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
d.h. das Volumen des Parallelotops ist der Betrag der Determinante derjenigen Matrix, die entsteht, wenn man die aufspannenden Vektoren hintereinander schreibt.
}
Für einen Beweis der eben genannten Beziehung zwischen Determinante und Volumen siehe Satz 7.2 (Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)).