Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Teil II/Arbeitsblatt 43/latex
\setcounter{section}{43}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Multipliziere in
\mathl{\Z/(5) [x,y]}{} die beiden Polynome
\mathdisp {x^4+2x^2y^2-xy^3+2y^3 \text{ und } x^4y+4x^2y+3xy^2-x^2y^2+2y^2} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Multipliziere in
\mathl{\Q[x,y,z]}{} die beiden Polynome
\mathdisp {x^5+3x^2y^2-xyz^3 \text{ und } 2x^3yz+z^2+5xy^2z-x^2y} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass im
\definitionsverweis {Polynomring}{}{}
\mathl{K[X,Y]}{} über einem Körper $K$ das
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
\mathl{(X,Y)}{} kein
\definitionsverweis {Hauptideal}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Skizziere im $\R^2$ die Lösungsmenge der folgenden Gleichungen.
\aufzaehlungzweireihe {\itemfuenf {
\mathl{x^2-y^2 -1 = 0}{,}
}{
\mathl{x^2+xy+y^2 = 0}{,}
}{
\mathl{x^2+y^2 +1 = 0}{,}
}{
\mathl{x^2+y^2 = 0}{,}
}{
\mathl{x^2+y^3 = 0}{,}
} } {\itemfuenf {
\mathl{x^3-y^5 = 0}{,}
}{
\mathl{x^2-x^3 = 0}{,}
}{
\mathl{x^3+y^3 = 1}{,}
}{
\mathl{x^4+y^4 = 1}{,}
}{
\mathl{-5+3x+4x^2+x^3-y^2 = 1}{.}
} }
}
{} {}
In den folgenden Aufgaben ist Standardform im Sinne von
Satz 43.9
zu verstehen. Es muss die neue Basis, die Variablentransformation
\zusatzklammer {Koordinatentransformation} {} {}
und das vereinfachte quadratische Polynom angegeben werden.
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bringe das reelle quadratische Polynom
\mathdisp {X^2-4Y^2+6XY -3X +Y+2} { }
auf eine
\definitionsverweis {Standardgestalt}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bringe das reelle quadratische Polynom
\mathdisp {5X^2-2Y^2-6XY -5X-3Y-7} { }
auf eine
\definitionsverweis {Standardgestalt}{}{.}
}
{} {}
In der folgenden Aufgabe geht es um zwei Definitionen für eine Ellipse.
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Q_1,Q_2
}
{ \in }{ \R^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zwei Punkte,
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{E
}
{ =} { { \left\{ P\in \R^2 \mid d(P,Q_1)+d(P,Q_2) = c \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass $E$ die Nullstellenmenge einer quadratischen Gleichung in zwei Variablen ist. Wie sieht die Standardgestalt aus? Was sind die Hauptachsen?
}
{} {Tipp: Führe die beschriebene Situation auf den Fall zurück, wo
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Q_1
}
{ = }{ (e,0)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Q_2
}
{ = }{ (-e,0)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
Unter normierter Standardgestalt verstehen wir eine quadratische Form, bei der die nichtkonstanten Koeffizienten nur den Wert
\mathl{0,1,-1}{} haben dürfen. Dies kann man durch Verzerrungen stets erreichen
\zusatzklammer {wobei aber die Orthogonalität verloren geht} {} {.}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {normierte Standardgestalt}{}{}
der reellen
\definitionsverweis {Quadrik}{}{}
\mathdisp {7x^2-11y^2+ 15 xy} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Quadriken-7.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Quadriken-7.svg } {} {Ag2gaeh} {Commons} {CC-by-sa 4.0} {}
Welche der rechts skizzierten Quadriken kann man \zusatzklammer {in welchem Sinne} {} {} mit weniger als drei Variablen beschreiben?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme, welche Quadriken aus Beispiel 43.12 sich als \definitionsverweis {Graph}{}{} und welche sich als \definitionsverweis {Rotationsfläche}{}{} beschreiben lassen.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {normierte Standardgestalt}{}{}
der reellen
\definitionsverweis {Quadrik}{}{}
\mathdisp {3x^2+2y^2+ 2 xy - 2 yz} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {normierte Standardgestalt}{}{}
der reellen
\definitionsverweis {Quadrik}{}{}
\mathdisp {x^2+y^2-2z^2-4xy+6xy-2yz} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {Minkowski-Raum}{}{}
der Dimension $n$. Wir betrachten die Menge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ T
}
{ =} { { \left\{ v \in V \mid \left\langle v , v \right\rangle = 1 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Für welche $n$ ist $T$
\definitionsverweis {wegzusammenhängend}{}{,}
für welche zerfällt es in verschiedene Komponenten?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {Minkowski-Raum}{}{}
der Dimension $n$. Wir betrachten die Menge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ T
}
{ =} { { \left\{ v \in V \mid \left\langle v , v \right\rangle = 1 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Es sei $w$ der
\definitionsverweis {Beobachtervektor}{}{}
eines Beobachters $B$ und es sei $V_B$ seine Raumkomponente. Welche Gestalt besitzt
\mathl{T \cap V_B}{?}
}
{} {}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Cusp.png} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Cusp.png } {} {Satipatthana} {Commons} {PD} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{.}
Das
\definitionsverweis {Bild}{}{}
der durch
\maabbeledisp {} {K} {K^2
} {t} {\left( t^2 , \, t^3 \right)
} {,}
definierten Kurve heißt \stichwort {Neilsche Parabel} {.} Zeige, dass ein Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{(x,y)
}
{ \in }{ K^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann zu diesem Bild gehört, wenn er die Gleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x^3
}
{ = }{y^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
erfüllt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabbeledisp {f} { \R } { \R^2
} { t } { \left( t^2 , \, t^3 \right)
} {.}
Bestimme die Punkte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t_0
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
für die der Abstand der zugehörigen Kurvenpunkte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(t)
}
{ = }{ \left( t^2 , \, t^3 \right)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zum Punkt
\mathl{(1,0)}{} minimal wird.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten die Kurve
\maabbeledisp {} {\R} {\R^2
} {t} {(t^2-1,t^3-t)
} {.}
a) Zeige, dass die
\definitionsverweis {Bildpunkte}{}{}
\mathl{(x,y)}{} der Kurve die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y^2
}
{ =} { x^2+x^3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
erfüllen.
b) Zeige, dass jeder Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (x,y)
}
{ \in }{ \R^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y^2
}
{ = }{ x^2+x^3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zum Bild der Kurve gehört.
c) Zeige, dass es genau zwei Punkte
\mathkor {} {t_1} {und} {t_2} {}
mit identischem Bildpunkt gibt, und dass ansonsten die Abbildung injektiv ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ C
}
{ \subseteq }{ \R^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
das
\definitionsverweis {Bild}{}{}
unter der polynomialen Abbildung
\maabbeledisp {} {\R} {\R^2
} {t} { \left( t^3-1 , \, t^2-1 \right)
} {.}
Bestimme ein Polynom
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in zwei Variablen derart, dass $C$ auf dem Nullstellengebilde zu $F$ liegt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $T$ der
\definitionsverweis {Graph}{}{}
der Standardparabel
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y
}
{ =} {x^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M
}
{ \subseteq }{ \R^3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {Rotationsfläche}{}{}
zu $T$ um die $x$-Achse.
\aufzaehlungzwei {Zeige, dass $M$ durch keine
\definitionsverweis {Quadrik}{}{}
beschrieben wird.
} {Zeige, dass $M$ die
\definitionsverweis {Nullstellenmenge}{}{}
eines Polynoms in drei Variablen ist.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $\Psi$ eine \definitionsverweis {hermitesche Form}{}{} mit der \definitionsverweis {Gramschen Matrix}{}{} $G$ \zusatzklammer {bezüglich einer Basis} {} {.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Determinante}{}{} von $G$ reell ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $\Psi$ eine \definitionsverweis {hermitesche Form}{}{} mit der \definitionsverweis {Gramschen Matrix}{}{} $G$ \zusatzklammer {bezüglich einer Basis} {} {.} Zeige, dass das \definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{} von $G$ reelle Koeffizienten besitzt.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{3}
{
Wie viele Monome vom \definitionsverweis {Grad }{}{} $d$ gibt es im Polynomring in einer, in zwei und in drei Variablen?
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Bestimme alle Lösungen der Kreisgleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^2+y^2
}
{ =} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für die Körper
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ = }{ \Z/(2)}
{ }{}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{,}
\mathl{\Z/(3)}{,}
\mathl{\Z/(5)}{}
und
\mathl{\Z/(7)}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{6}
{
Bringe das reelle quadratische Polynom
\mathdisp {3X^2-5Y^2+7XY +4X-2Y+5} { }
auf eine
\definitionsverweis {Standardgestalt}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{10 (4+6)}
{
Wir betrachten den Kegel
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{K
}
{ =} { { \left\{ (x,y,z) \in \R^2 \mid x^2+y^2 = z^2 \right\} }
}
{ \subseteq} {\R^3
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ E
}
{ \subseteq }{ \R^3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {affine Ebene}{}{.}
Der Durchschnitt
\mathl{K \cap E}{} heißt \stichwort {Kegelschnitt} {.}
\aufzaehlungzwei {Zeige, dass jeder Kegelschnitt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{K \cap E
}
{ \subseteq} {E
}
{ \cong} {\R^2
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
in geeigneten Koordinaten
\mathl{u,v}{} des $\R^2$ als
\definitionsverweis {Nullstellenmenge}{}{}
eines quadratischen Polynoms in
\mathl{u,v}{} beschrieben werden kann.
} {Bestimme, welche der Quadriken aus
Beispiel 43.8
sich als Kegelschnitte realisieren lassen.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {normierte Standardgestalt}{}{}
der reellen
\definitionsverweis {Quadrik}{}{}
\mathdisp {5x^2-4y^2+z^2-xy+3xz} { . }
}
{} {}