Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Teil II/Arbeitsblatt 56/latex
\setcounter{section}{56}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien im $\R^2$ die
\definitionsverweis {Basen}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \mathfrak{ v }
}
{ = }{ \begin{pmatrix} 3 \\-7 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -5 \\2 \end{pmatrix}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und die Standardbasis $\mathfrak{ e }$ und in ${\mathbb C}$ die reellen Basen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \mathfrak{ x }
}
{ = }{ 8-2{ \mathrm i}, 6+3{ \mathrm i}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \mathfrak{ y }
}
{ = }{ 1,{ \mathrm i}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegeben. Bestimme die Übergangsmatrix zu den zugehörigen Basen auf dem Tensorprodukt
\mathl{\R^2 \otimes_{ \R } {\mathbb C}}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mathl{U,V,W}{} seien
$K$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{.}
Zeige die folgenden Aussagen
\zusatzklammer {im Sinne einer kanonischen Isomorphie} {} {.}
\aufzaehlungzwei {Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{U \otimes_{ K } V
}
{ \cong} {V \otimes_{ K } U
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
} {Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{U \otimes_{ K } { \left( V \otimes_{ K } W \right) }
}
{ \cong} { { \left( U \otimes_{ K } V \right) } \otimes_{ K } W
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Die \definitionsverweis {linearen Abbildungen}{}{} \maabbdisp {\varphi} {\R^2} { \R^2 } {} und \maabbdisp {\psi} {\R^2} { \R^2 } {} seien bezüglich der \definitionsverweis {Standardbasen}{}{} durch die beiden \definitionsverweis {Matrizen}{}{} \mathkor {} {\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ -4 & 9 \end{pmatrix}} {und} {\begin{pmatrix} 6 & 3 \\ 0 & 5 \end{pmatrix}} {} gegeben. Bestimme die Matrix zur linearen Abbildung \maabbdisp {\varphi \otimes \psi} { \R^2 \otimes \R^2 } { \R^2 \otimes \R^2 } {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei $Z$ ein
\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
über $K$. Wir betrachten die Zuordnung
\mathl{V \mapsto V \otimes_{ K } Z}{,} die einem Vektorraum $V$ das
\definitionsverweis {Tensorprodukt}{}{}
\mathl{V \otimes_{ K } Z}{} und einer
$K$-\definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {V} {W
} {}
die
\definitionsverweis {Tensorierung}{}{}
$\varphi \otimes
\operatorname{Id}_{ Z }$ zuordnet. Zeige die folgenden Aussagen.
\aufzaehlungdrei{Zur
\definitionsverweis {Identität}{}{}
\maabbdisp {\operatorname{Id}_{ V }} {V} {V
} {}
ist auch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{
\operatorname{Id}_{ V } \otimes
\operatorname{Id}_{ Z }
}
{ =} {
\operatorname{Id}_{ V \otimes Z }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Identität.
}{Zu linearen Abbildungen
\mathdisp {U \stackrel{\varphi}{\longrightarrow} V \stackrel{\psi}{\longrightarrow} W} { }
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ ( \psi \circ \varphi) \otimes
\operatorname{Id}_{ Z }
}
{ =} { { \left( \varphi \otimes
\operatorname{Id}_{ Z } \right) } \circ { \left( \psi \otimes
\operatorname{Id}_{ Z } \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Zu einem
\definitionsverweis {Isomorphismus}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {V} {W
} {}
ist auch
\mathl{\varphi \otimes
\operatorname{Id}_{ Z }}{} ein Isomorphismus, und für die
\definitionsverweis {Umkehrabbildung}{}{}
gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( \varphi \otimes
\operatorname{Id}_{ Z } \right) }^{-1}
}
{ =} { \varphi^{-1} \otimes
\operatorname{Id}_{ Z }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und seien
\mathl{U,V,W}{}
\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
über $K$. Zeige, dass eine kanonische Isomorphie
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{U \otimes_{ K } { \left( V \oplus W \right) }
}
{ \cong} { { \left( U \otimes_{ K } V \right) } \oplus { \left( U \otimes_{ K } W \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
vorliegt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es seien
\mathl{V_1 , \ldots , V_n}{}
\definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
und es seien
\mathdisp {U_{1,1} \subset U_{1,2} \subset \ldots \subset U_{1, \dim_{ K } { \left( V_1 \right) } } \subset V_1 , \ldots , U_{n,1} \subset U_{n,2} \subset \ldots \subset U_{n, \dim_{ K } { \left( V_n \right) } } \subset V_n} { }
\definitionsverweis {Fahnen}{}{}
in den beteiligten Vektorräumen. Zeige, dass es keine Fahne in
\mathl{V_1 \otimes_{ K } \cdots \otimes_{ K } V_n}{} geben muss, in der die einzelnen Unterräume die Gestalt
\mathdisp {U_{1,j_1} \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } U_{n,j_n}} { }
haben.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathl{U_1 \subseteq V_1, U_2 \subseteq V_2 , \ldots , U_n \subseteq V_n}{}
\definitionsverweis {Untervektorräume}{}{}
mit den
\definitionsverweis {Restklassenräumen}{}{}
\mathl{V_1/U_1 , \ldots , V_n/U_n}{.} Gibt es eine kanonische Isomorphie
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{( V_1 \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } V_n)/( U_1 \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } U_n)
}
{ \cong} { ( V_1/U_1 ) \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } (V_n/U_n)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{?}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und seien
\mathl{V_1 , \ldots , V_n}{}
\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
über $K$. Es seien
\definitionsverweis {diagonalisierbare}{}{}
$K$-\definitionsverweis {lineare Abbildungen}{}{}
\maabbdisp {\varphi_i} {V_i} {V_i
} {}
gegeben. Zeige, dass auch das
\definitionsverweis {Tensorprodukt}{}{}
\maabbdisp {\varphi_1 \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } \varphi_n} {V_1 \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } V_n } {V_1 \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } V_n
} {}
diagonalisierbar ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und seien
\mathl{V_1 , \ldots , V_n}{}
\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
über $K$. Es seien
\definitionsverweis {trigonalisierbare}{}{}
$K$-\definitionsverweis {lineare Abbildungen}{}{}
\maabbdisp {\varphi_i} {V_i} {V_i
} {}
gegeben. Zeige, dass auch das
\definitionsverweis {Tensorprodukt}{}{}
\maabbdisp {\varphi_1 \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } \varphi_n} {V_1 \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } V_n } {V_1 \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } V_n
} {}
trigonalisierbar ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Die lineare Abbildung
\maabb {\varphi} {V} {V
} {}
sei bezüglich der Basis
\mathl{v_1,v_2}{} durch die
\definitionsverweis {Jordan-Matrix}{}{}
\mathl{\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}}{} und die lineare Abbildung
\maabb {\psi} {W} {W
} {}
sei bezüglich der Basis
\mathl{w_1,w_2}{} durch die Jordan-Matrix
\mathl{\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}}{} gegeben.
\aufzaehlungzwei {Bestimme die Matrix von
\maabbdisp {\varphi \otimes \psi} {V \otimes W} {V \otimes W
} {}
bezüglich der Basis
\mathl{v_1 \otimes w_1, v_1 \otimes w_2, v_2 \otimes w_1, v_2 \otimes w_2}{.}
} {Bestimme die
\definitionsverweis {jordansche Normalform}{}{}
von
\mathl{\varphi \otimes \psi}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und seien
\mathl{V_1 , \ldots , V_n, W_1 , \ldots , W_n}{}
\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
über $K$. Zeige, dass die Abbildung
\maabbeledisp {} { \operatorname{Hom}_{ K } { \left( V_1 , W_1 \right) } \times \cdots \times \operatorname{Hom}_{ K } { \left( V_n , W_n \right) } } { \operatorname{Hom}_{ K } { \left( V_1 \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } V_n , W_1 \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } W_n \right) }
} {(\varphi_1 , \ldots , \varphi_n )} {\varphi_1 \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } \varphi_n
} {,}
\definitionsverweis {multilinear}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und seien
\mathl{V_1 , \ldots , V_n, W_1 , \ldots , W_n}{}
\definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{.}
Zeige, dass es einen kanonischen Isomorphismus
\maabbdisp {} { \operatorname{Hom}_{ K } { \left( V_1 , W_1 \right) } \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } \operatorname{Hom}_{ K } { \left( V_n , W_n \right) } } { \operatorname{Hom}_{ K } { \left( V_1 \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } V_n , W_1 \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } W_n \right) }
} {}
gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine \definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \in }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die Abbildung
\maabbeledisp {\mu_f} { L } { L
} { x } { fx
} {,}
$K$-\definitionsverweis {linear}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine \definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{} und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die Einsetzungsabbildung, also die Zuordnung
\maabbeledisp {\psi} { K[X] } { L
} { P } { P(a)
} {,}
folgende Eigenschaften erfüllt
\zusatzklammer {dabei seien
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ P,Q
}
{ \in }{ K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {.}
\aufzaehlungdrei{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (P + Q)(a)
}
{ = }{ P(a) +Q(a)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (P \cdot Q)(a)
}
{ = }{ P(a) \cdot Q(a)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 1(a)
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
$V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{.}
Es sei
\mathbed {v_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
eine Familie von Vektoren aus $V$. Zeige die folgende Aussagen.
\aufzaehlungdrei{Die Familie
\mathbed {v_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
ist genau dann ein
$K$-\definitionsverweis {Erzeugendensystem}{}{}
von $V$, wenn
\mathbed {1 \otimes v_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
ein $L$-Erzeugendensystem von
\mathl{L \otimes V}{} ist.
}{Die Familie
\mathbed {v_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
ist genau dann
$K$-\definitionsverweis {linear unabhängig}{}{}
\zusatzklammer {über $K$} {} {}
in $V$, wenn
\mathbed {1 \otimes v_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
linear unabhängig
\zusatzklammer {über $L$} {} {}
in
\mathl{L \otimes V}{} ist.
}{Die Familie
\mathbed {v_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
ist genau dann eine
$K$-\definitionsverweis {Basis}{}{}
von $V$, wenn
\mathbed {1 \otimes v_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
eine $L$-Basis von
\mathl{L \otimes V}{} ist.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine \definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{.} Wir betrachten die Zuordnung
\mathl{V \mapsto V_L= L \otimes_{ K } V}{,} die einem
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$V$ den $L$-Vektorraum
\mathl{L \otimes_{ K } V}{} und einer
$K$-\definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {V} {W
} {}
die
\definitionsverweis {Tensorierung}{}{}
$\varphi_L$ zuordnet. Zeige die folgenden Aussagen.
\aufzaehlungdrei{Zur
\definitionsverweis {Identität}{}{}
\maabbdisp {\operatorname{Id}_{ V }} {V} {V
} {}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left(
\operatorname{Id}_{ V } \right) } _L
}
{ =} {
\operatorname{Id}_{ L \otimes_{ K } V }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Identität.
}{Zu linearen Abbildungen
\mathdisp {U \stackrel{\varphi}{\longrightarrow} V \stackrel{\psi}{\longrightarrow} W} { }
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ ( \psi \circ \varphi)_L
}
{ =} { \psi_L \circ \varphi_L
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Zu einem
\definitionsverweis {Isomorphismus}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {V} {W
} {}
ist auch
\mathl{\varphi_L}{} ein Isomorphismus, und für die
\definitionsverweis {Umkehrabbildung}{}{}
gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( \varphi_L \right) }^{-1}
}
{ =} { { \left( \varphi^{-1} \right) }_L
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
Eine
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
heißt \definitionswort {endlich}{,} wenn $L$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler Vektorraum}{}{}
über $K$ ist.
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{.}
Dann nennt man die
$K$-\definitionsverweis {Vektorraumdimension}{}{}
von $L$ den \definitionswort {Grad}{} der Körpererweiterung.
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme den
\definitionsverweis {Grad}{}{}
der
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \R
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ \subseteq }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {Körpererweiterungen}{}{}
derart, dass $M$ über $K$
\definitionsverweis {endlich}{}{}
ist. Zeige, dass dann auch $M$ über $L$ und $L$ über $K$ endlich sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_1 , \ldots , x_n
}
{ \in }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
$K$-\definitionsverweis {Basis}{}{}
von $L$. Zeige, dass die Multiplikation auf $L$ durch die Produkte
\mathbeddisp {x_i x_j} {}
{1 \leq i\leq j \leq n} {}
{} {} {} {,}
eindeutig festgelegt ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{} und seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v_1 , \ldots , v_n
}
{ \in }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Elemente, die eine
$K$-\definitionsverweis {Basis}{}{}
von $L$ bilden. Sei
\mathbed {x \in L} {}
{x \neq 0} {}
{} {} {} {.}
Zeige, dass auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ xv_1 , \ldots , xv_n
}
{ \in }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine $K$-Basis von $L$ bilden.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine \definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{} und seien $V_1 , \ldots , V_n$
$K$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{.}
Zeige, dass es eine kanonische Isomorphie der $L$-Vektorräume
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ L \otimes_{ K } { \left( V_1 \otimes_{ K } \cdots \otimes_{ K } V_n \right) }
}
{ =} { { \left( L \otimes_{ K } V_1 \right) } \otimes_{ L } \cdots \otimes_{ L } { \left( L \otimes_{ K } V_n \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Q
}
{ \subseteq }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nicht
\definitionsverweis {endlich}{}{}
ist.
}
{} {}
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei $A$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.}
Man nennt $A$ eine
\definitionsverweis {kommutative}{}{}
\definitionswortpraemath {K}{ Algebra }{,}
wenn es ein ausgezeichnetes Element $1$ und eine
\definitionsverweis {Verknüpfung}{}{,}
genannt
\definitionswort {Multiplikation}{,}
\maabbeledisp {} {A \times A} {A
} {(a,b)} { a \cdot b
} {,}
gibt, die die Bedingungen
\aufzaehlungvier{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 1 \cdot a
}
{ =} {a
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ A
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Die Verknüpfung ist
\definitionsverweis {assoziativ}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a \cdot b
}
{ =} {b \cdot a
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ A
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ A
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ ca
}
{ =} { (c 1) \cdot a
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei
\mathkor {} {ca} {und} {c1} {}
die Skalarmultiplikation bezeichen.
}
erfüllen.
Wichtige Beispiele für $K$-Algebren werden durch Körpererweiterungen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegeben. Aber auch der Polynomring
\mathl{K[X]}{} ist eine $K$-Algebra.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und seien
\mathkor {} {A} {und} {B} {}
\definitionsverweis {Algebren}{}{}
über $K$. Zeige, dass
\mathl{A \otimes_{ K } B}{} ebenfalls eine $K$-Algebra ist, wobei die $1$ durch $1 \otimes 1$ und die Multiplikation für zerlegbare Tensoren durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ ( a \otimes b) \cdot ( c \otimes d)
}
{ \defeq} { (a \cdot c) \otimes (b \cdot d)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
festgelegt ist.
}
{} {}
In den folgenden Aufgaben bedeutet $\cong$, dass sich die Addition, die Multiplikation, die $0$ und die $1$ entsprechen.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine \definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{.} Zeige, dass für den
\definitionsverweis {Polynomring}{}{}
die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ L \otimes_{ K } K[X]
}
{ \cong} { L[X]
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{.} Zeige, dass für
\definitionsverweis {Polynomringe}{}{}
die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ K[X] \otimes_{ K } K[Y]
}
{ \cong} { K[X,Y]
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
und $A$ eine
$K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{.}
Zeige, dass
\mathl{L \otimes_{ K } A}{} eine $L$-Algebra ist.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{4}
{
Es seien im $\R^2$ die
\definitionsverweis {Basen}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \mathfrak{ v }
}
{ = }{ \begin{pmatrix} 6 \\-5 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -4 \\7 \end{pmatrix}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und die Standardbasis $\mathfrak{ e }$ und im $\R^3$ die Basis
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \mathfrak{ x }
}
{ = }{ \begin{pmatrix} -3 \\4\\ -5 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 \\-1\\ 6 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 5 \\2\\ 4 \end{pmatrix}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und die Standardbasis gegeben. Bestimme die Übergangsmatrix zu den zugehörigen Basen auf dem Tensorprodukt
\mathl{\R^2 \otimes_{ \R } \R^3}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und seien
\mathl{U_1 , \ldots , U_n, V_1 , \ldots , V_n,W_1 , \ldots , W_n}{}
\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
über $K$. Es seien
\maabbdisp {\psi_i} { U_i} {V_i
} {}
und
\maabbdisp {\varphi_i} {V_i} {W_i
} {}
$K$-\definitionsverweis {lineare Abbildungen}{}{.}
Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ ( \varphi_1\circ \psi_1) \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } ( \varphi_n \circ \psi_n)
}
{ =} { ( \varphi_1 \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } \varphi_n ) \circ ( \psi_1 \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } \psi_n )
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Es seien
\mathl{V_1 , \ldots , V_n}{}
\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
über dem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$ und
\maabbdisp {\varphi_i} {V_i} {V_i
} {}
\definitionsverweis {lineare Abbildungen}{}{}
und
\maabbdisp {\varphi = \varphi_1 \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } \varphi_n} { V_1 \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } V_n} {V_1 \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } V_n
} {}
die zugehörige
\definitionsverweis {Tensorproduktabbildung}{}{.}
Es sei $a_i$ ein
\definitionsverweis {Eigenwert}{}{}
von $\varphi_i$. Zeige, dass
\mathl{a_1 \cdots a_n}{} ein Eigenwert von $\varphi$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.}
Zeige, dass die Abbildung
\maabbdisp {} { \operatorname{End}_{ } { \left( V \right) } } {K
} {,}
die sich aus der Identifizierung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{End}_{ } { \left( V \right) }
}
{ =} { { V }^{ * } \otimes_{ K } V
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gemäß
Aufgabe 55.15
und der natürlichen Abbildung
\maabbeledisp {} { { V }^{ * } \otimes_{ K } V } { K
} {f \otimes v} { f(v)
} {,}
im Sinne von
Aufgabe 55.14
ergibt, gleich der
\definitionsverweis {Spur}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{6 (2+4)}
{
Die lineare Abbildung
\maabb {\varphi} {V} {V
} {}
sei bezüglich der Basis
\mathl{v_1,v_2}{} durch die
\definitionsverweis {Jordan-Matrix}{}{}
\mathl{\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}}{} und die lineare Abbildung
\maabb {\psi} {W} {W
} {}
sei bezüglich der Basis
\mathl{w_1,w_2,w_3}{} durch die Jordan-Matrix
\mathl{\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\0 & 0 & 1 \end{pmatrix}}{} gegeben.
\aufzaehlungzwei {Bestimme die Matrix von
\maabbdisp {\varphi \otimes \psi} {V \otimes W} {V \otimes W
} {}
bezüglich der Basis
\mathl{v_1 \otimes w_1, v_1 \otimes w_2, v_1 \otimes w_3, v_2 \otimes w_1, v_2 \otimes w_2 , v_2 \otimes w_3}{.}
} {Bestimme die
\definitionsverweis {jordansche Normalform}{}{}
von
\mathl{\varphi \otimes \psi}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es seien
\mathl{U_1 \subseteq V_1, U_2 \subseteq V_2 , \ldots , U_n \subseteq V_n}{}
\definitionsverweis {Untervektorräume}{}{}
mit den
\definitionsverweis {Restklassenräumen}{}{}
\mathl{V_1/U_1 , \ldots , V_n/U_n}{.} Zeige, dass der
\definitionsverweis {Kern}{}{}
der kanonischen Abbildung
\maabbdisp {} { V_1 \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } V_n} { ( V_1/U_1 ) \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } (V_n/U_n)
} {}
gleich
\mathdisp {\sum_j V_1 \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } V_{j-1} \otimes U_j \otimes V_{j+1} \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } V_n} { }
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{.}
Zeige, dass
\mathl{L \otimes_{ K } L}{} kein Körper sein muss.
}
{} {}