Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Teil II/Arbeitsblatt 58/latex
\setcounter{section}{58}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Drücke das
\definitionsverweis {Dachprodukt}{}{}
\mathl{\begin{pmatrix} 2 \\3\\ 2 \end{pmatrix} \wedge \begin{pmatrix} 4 \\-1\\ 5 \end{pmatrix}}{} in der Standardbasis von
\mathl{\bigwedge^2 \R^3}{} aus.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {\R^2} {\R^3
} {}
die durch die
\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 4 & -1 \\ 0 & 7 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}} { }
gegebene
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.}
Bestimme die Matrix zu
\mathl{\bigwedge^2 \varphi}{} bezüglich der Standardbasen der Dachprodukte.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
und sei
\mathl{v_1 , \ldots , v_m}{} eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
von $V$. Beschreibe die Matrix zur natürlichen Abbildung
\zusatzklammer {$n$ Faktoren} {} {}
\maabbdisp {} {V \otimes_{ K } \cdots \otimes_{ K } V } { \bigwedge^n V
} {}
bezüglich der zugehörigen Basen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V
}
{ =} {U \oplus W
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {direkte Zerlegung}{}{}
in
\definitionsverweis {Untervektorräume}{}{}
der
\definitionsverweis {Dimension}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \dim_{ K } { \left( U \right) }
}
{ = }{r
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \dim_{ K } { \left( U \right) }
}
{ = }{s
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass es eine kanonische Isomorphie
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \bigwedge^{r+s} V
}
{ \cong} { \bigwedge^r U \otimes \bigwedge^s W
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und $V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u_1 , \ldots , u_n
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass es zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ k
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine eindeutig bestimmte
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
\maabbdisp {} { \bigwedge^k V } { \bigwedge^{k+n} V
} {}
mit
\mathl{v_1 \wedge \ldots \wedge v_k \mapsto v_1 \wedge \ldots \wedge v_k \wedge u_1 \wedge \ldots \wedge u_n}{} gibt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
über dem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$ und
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
ein
\definitionsverweis {Endomorphismus}{}{.}
Es sei
\maabbdisp {\bigwedge^m \varphi} {\bigwedge^m V } { \bigwedge^m V
} {}
das $m$-te
\definitionsverweis {Dachprodukt}{}{}
von $\varphi$. Es seien
\mathl{v_1 , \ldots , v_m}{}
\definitionsverweis {linear unabhängige}{}{} \definitionsverweis {Eigenvektoren}{}{}
zu $\varphi$ zu den
\definitionsverweis {Eigenwerten}{}{}
\mathl{a_1 , \ldots , a_m}{.} Zeige, dass
\mathl{a_1 \cdots a_m}{} ein Eigenwert von $\bigwedge^m \varphi$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Es sei \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} eine \definitionsverweis {diagonalisierbare}{}{} $K$-\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Zeige, dass auch das \definitionsverweis {Dachprodukt}{}{} \maabbdisp {\bigwedge^n \varphi} { \bigwedge^n V } { \bigwedge^n V } {} diagonalisierbar ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Es sei \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} eine \definitionsverweis {trigonalisierbare}{}{} $K$-\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Zeige, dass auch das \definitionsverweis {Dachprodukt}{}{} \maabbdisp {\bigwedge^n \varphi} { \bigwedge^n V } { \bigwedge^n V } {} trigonalisierbar ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Beweise den Determinantenmultiplikationssatz mit Hilfe des \definitionsverweis {Dachproduktes}{}{.}
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{4}
{
Drücke das
\definitionsverweis {Dachprodukt}{}{}
\mathdisp {4 \begin{pmatrix} 2 \\3\\ 4 \end{pmatrix} \wedge \begin{pmatrix} 1 \\0\\ 3 \end{pmatrix} + 5\begin{pmatrix} -3 \\2\\ 3 \end{pmatrix} \wedge \begin{pmatrix} 0 \\0\\ 1 \end{pmatrix} -2\begin{pmatrix} 7 \\-5\\ 3 \end{pmatrix} \wedge \begin{pmatrix} 1 \\3\\ -4 \end{pmatrix}} { }
im
\mathl{\bigwedge^2 \R^3}{} als Linearkombination der Dachprodukte
\mathl{e_1 \wedge e_2}{,}
\mathl{e_1 \wedge e_3}{} und
\mathl{e_2 \wedge e_3}{} aus.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Drücke das
\definitionsverweis {Dachprodukt}{}{}
\mathl{\begin{pmatrix} -2 \\5\\ -4 \end{pmatrix} \wedge \begin{pmatrix} 7 \\-2\\ 4 \end{pmatrix}}{} in der Standardbasis von
\mathl{\bigwedge^2 \R^3}{} aus.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Drücke das
\definitionsverweis {Dachprodukt}{}{}
\mathdisp {-2 \begin{pmatrix} 3 \\6\\ -2\\5 \end{pmatrix} \wedge \begin{pmatrix} 2 \\7\\ 4\\0 \end{pmatrix} \wedge \begin{pmatrix} 0 \\3\\ -4\\-2 \end{pmatrix} +4 \begin{pmatrix} 1 \\2\\ 3\\4 \end{pmatrix} \wedge \begin{pmatrix} 1 \\-1\\ -2\\3 \end{pmatrix} \wedge \begin{pmatrix} 7 \\6\\ 5\\-4 \end{pmatrix}} { }
in der Standardbasis von
\mathl{\bigwedge^3 \R^4}{} aus.
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Wir betrachten die
\definitionsverweis {Basis}{}{}
\mathdisp {v_1= \begin{pmatrix} 9 \\8\\ 1 \end{pmatrix} ,\, v_2 = \begin{pmatrix} 4 \\7\\ -3 \end{pmatrix} ,\, v_3= \begin{pmatrix} 2 \\5\\ -2 \end{pmatrix}} { }
von $\R^3$ und die dadurch induzierte Basis
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \mathfrak{ v }
}
{ =} { v_1 \wedge v_2,\, v_1 \wedge v_3 , \, v_2 \wedge v_3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
von
\mathl{\bigwedge^2 \R^3}{.} Bestimme die
\definitionsverweis {Übergangsmatrizen}{}{}
\zusatzklammer {in beide Richtungen} {} {}
zwischen der Basis $\mathfrak{ v }$ und der Standardbasis
\mathl{e_1 \wedge e_2,\, e_1 \wedge e_3 , \, e_2 \wedge e_3}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {\R^3} {\R^3
} {}
die durch die
\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 4 & -2 & 5 \\ 6 & 8 & -3 \\1 & 4 & -1 \end{pmatrix}} { }
gegebene
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.}
Bestimme die Matrix zu
\mathl{\bigwedge^2 \varphi}{} bezüglich der Standardbasen der Dachprodukte.
}
{} {}