Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Teil II/Arbeitsblatt 58
- Übungsaufgaben
Drücke das Dachprodukt in der Standardbasis von aus.
Es sei
die durch die Matrix
gegebene lineare Abbildung. Bestimme die Matrix zu bezüglich der Standardbasen der Dachprodukte.
Es sei ein endlichdimensionaler - Vektorraum und sei eine Basis von . Beschreibe die Matrix zur natürlichen Abbildung ( Faktoren)
bezüglich der zugehörigen Basen.
Es sei
eine direkte Zerlegung in Untervektorräume der Dimension und . Zeige, dass es eine kanonische Isomorphie
gibt.
Es sei ein Körper und ein - Vektorraum. Es seien . Zeige, dass es zu jedem eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung
mit gibt.
Es sei ein Vektorraum über dem Körper und
ein Endomorphismus. Es sei
das -te Dachprodukt von . Es seien linear unabhängige Eigenvektoren zu zu den Eigenwerten . Zeige, dass ein Eigenwert von ist.
Es sei ein Körper und sei ein - Vektorraum. Es sei
eine diagonalisierbare - lineare Abbildung. Zeige, dass auch das Dachprodukt
diagonalisierbar ist.
Es sei ein Körper und sei ein - Vektorraum. Es sei
eine trigonalisierbare - lineare Abbildung. Zeige, dass auch das Dachprodukt
trigonalisierbar ist.
Beweise den Determinantenmultiplikationssatz mit Hilfe des Dachproduktes.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (4 Punkte)
Aufgabe (2 Punkte)
Drücke das Dachprodukt in der Standardbasis von aus.
Aufgabe (4 Punkte)
Aufgabe (5 Punkte)
Wir betrachten die Basis
von und die dadurch induzierte Basis
von . Bestimme die Übergangsmatrizen (in beide Richtungen) zwischen der Basis und der Standardbasis .
Aufgabe (5 Punkte)
Es sei
die durch die Matrix
gegebene lineare Abbildung. Bestimme die Matrix zu bezüglich der Standardbasen der Dachprodukte.
<< | Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Teil II | >> PDF-Version dieser Vorlesung Zur Vorlesung (PDF) |
---|