Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Teil II/Arbeitsblatt 58

Übungsaufgaben

Aufgabe *

Drücke das Dachprodukt ${}{\begin{pmatrix}2\\3\\2\end{pmatrix}}\wedge {\begin{pmatrix}4\\-1\\5\end{pmatrix}}$ in der Standardbasis von ${}\bigwedge ^{2}\mathbb {R} ^{3}$ aus.

Aufgabe

Es sei

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}$

die durch die Matrix

${\begin{pmatrix}4&-1\\0&7\\2&3\end{pmatrix}}$

gegebene lineare Abbildung. Bestimme die Matrix zu ${}\bigwedge ^{2}\varphi$ bezüglich der Standardbasen der Dachprodukte.

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum und sei ${}v_{1},\ldots ,v_{m}$ eine Basis von ${}V$. Beschreibe die Matrix zur natürlichen Abbildung (${}n$ Faktoren)

$V\otimes _{K}\cdots \otimes _{K}V\longrightarrow \bigwedge ^{n}V$

bezüglich der zugehörigen Basen.

Aufgabe

Es sei

${}V=U\oplus W\,$

eine direkte Zerlegung in Untervektorräume der Dimension ${}\dim _{K}{\left(U\right)}=r$ und ${}\dim _{K}{\left(U\right)}=s$. Zeige, dass es eine kanonische Isomorphie

${}\bigwedge ^{r+s}V\cong \bigwedge ^{r}U\otimes \bigwedge ^{s}W\,$

gibt.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum. Es seien ${}u_{1},\ldots ,u_{n}\in V$. Zeige, dass es zu jedem ${}k\in \mathbb {N}$ eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung

$\bigwedge ^{k}V\longrightarrow \bigwedge ^{k+n}V$

mit ${}v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{k}\mapsto v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{k}\wedge u_{1}\wedge \ldots \wedge u_{n}$ gibt.

Aufgabe *

Es sei ${}V$ ein Vektorraum über dem Körper ${}K$ und

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

ein Endomorphismus. Es sei

$\bigwedge ^{m}\varphi \colon \bigwedge ^{m}V\longrightarrow \bigwedge ^{m}V$

das ${}m$-te Dachprodukt von ${}\varphi$. Es seien ${}v_{1},\ldots ,v_{m}$ linear unabhängige Eigenvektoren zu ${}\varphi$ zu den Eigenwerten ${}a_{1},\ldots ,a_{m}$. Zeige, dass ${}a_{1}\cdots a_{m}$ ein Eigenwert von ${}\bigwedge ^{m}\varphi$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine diagonalisierbare ${}K$- lineare Abbildung. Zeige, dass auch das Dachprodukt

$\bigwedge ^{n}\varphi \colon \bigwedge ^{n}V\longrightarrow \bigwedge ^{n}V$

diagonalisierbar ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine trigonalisierbare ${}K$- lineare Abbildung. Zeige, dass auch das Dachprodukt

$\bigwedge ^{n}\varphi \colon \bigwedge ^{n}V\longrightarrow \bigwedge ^{n}V$

trigonalisierbar ist.

Aufgabe

Beweise den Determinantenmultiplikationssatz mit Hilfe des Dachproduktes.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Drücke das Dachprodukt

$4{\begin{pmatrix}2\\3\\4\end{pmatrix}}\wedge {\begin{pmatrix}1\\0\\3\end{pmatrix}}+5{\begin{pmatrix}-3\\2\\3\end{pmatrix}}\wedge {\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}-2{\begin{pmatrix}7\\-5\\3\end{pmatrix}}\wedge {\begin{pmatrix}1\\3\\-4\end{pmatrix}}$

im ${}\bigwedge ^{2}\mathbb {R} ^{3}$ als Linearkombination der Dachprodukte ${}e_{1}\wedge e_{2}$, ${}e_{1}\wedge e_{3}$ und ${}e_{2}\wedge e_{3}$ aus.

Aufgabe (2 Punkte)

Drücke das Dachprodukt ${}{\begin{pmatrix}-2\\5\\-4\end{pmatrix}}\wedge {\begin{pmatrix}7\\-2\\4\end{pmatrix}}$ in der Standardbasis von ${}\bigwedge ^{2}\mathbb {R} ^{3}$ aus.

Aufgabe (4 Punkte)

Drücke das Dachprodukt

$-2{\begin{pmatrix}3\\6\\-2\\5\end{pmatrix}}\wedge {\begin{pmatrix}2\\7\\4\\0\end{pmatrix}}\wedge {\begin{pmatrix}0\\3\\-4\\-2\end{pmatrix}}+4{\begin{pmatrix}1\\2\\3\\4\end{pmatrix}}\wedge {\begin{pmatrix}1\\-1\\-2\\3\end{pmatrix}}\wedge {\begin{pmatrix}7\\6\\5\\-4\end{pmatrix}}$

in der Standardbasis von ${}\bigwedge ^{3}\mathbb {R} ^{4}$ aus.

Aufgabe (5 Punkte)

Wir betrachten die Basis

$v_{1}={\begin{pmatrix}9\\8\\1\end{pmatrix}},\,v_{2}={\begin{pmatrix}4\\7\\-3\end{pmatrix}},\,v_{3}={\begin{pmatrix}2\\5\\-2\end{pmatrix}}$

von ${}\mathbb {R} ^{3}$ und die dadurch induzierte Basis

${}{\mathfrak {v}}=v_{1}\wedge v_{2},\,v_{1}\wedge v_{3},\,v_{2}\wedge v_{3}\,$

von ${}\bigwedge ^{2}\mathbb {R} ^{3}$. Bestimme die Übergangsmatrizen (in beide Richtungen) zwischen der Basis ${}{\mathfrak {v}}$ und der Standardbasis ${}e_{1}\wedge e_{2},\,e_{1}\wedge e_{3},\,e_{2}\wedge e_{3}$.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}$

die durch die Matrix

${\begin{pmatrix}4&-2&5\\6&8&-3\\1&4&-1\end{pmatrix}}$

gegebene lineare Abbildung. Bestimme die Matrix zu ${}\bigwedge ^{2}\varphi$ bezüglich der Standardbasen der Dachprodukte.