Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Teil II/Arbeitsblatt 57

Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung, ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum und

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung. Zeige, dass das charakteristische Polynom zu ${}\varphi$ mit dem charakteristischen Polynom der Tensorierung ${}\varphi _{L}$ übereinstimmt.

Allerdings können beim Übergang von ${}K$ nach ${}L$ neue Nullstellen des charakteristischen Polynoms und damit neue Eigenwerte und Eigenvektoren auftreten.

Aufgabe

Es sei ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung und seien ${}V$ und ${}W$ Vektorräume über ${}K$.

a) Definiere eine ${}L$- lineare Abbildung

$L\otimes _{K}\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}\longrightarrow \operatorname {Hom} _{L}{\left(V_{L},W_{L}\right)},$

die ${}c\otimes \varphi$ auf ${}c{\left(\operatorname {Id} _{L}\otimes \varphi \right)}$ abbildet.

b) Es seien die beiden Vektorräume nun endlichdimensional. Zeige, dass die Abbildung aus Teil (a) ein Isomorphismus ist.

Aufgabe

Es sei ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung, ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum und ${}W$ ein ${}L$-Vektorraum. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

eine ${}K$- lineare Abbildung. Zeige, dass es eine ${}L$-lineare Abbildung

${\tilde {\varphi }}\colon V_{L}\longrightarrow W$

gibt, die ${}\varphi$ fortsetzt (also auf ${}V\subseteq V_{L}$ mit ${}\varphi$ übereinstimmt).

Aufgabe

Vereinfache in ${}\bigwedge ^{2}\mathbb {R} ^{3}$ den Ausdruck

$e_{1}\wedge (e_{2}-4e_{3})-e_{2}\wedge (5e_{1}+3e_{2}-4e_{3})+{\left(7e_{3}\right)}\wedge e_{1}-4{\left(5e_{1}\wedge 2e_{3}\right)}+(2e_{1}-8e_{2})\wedge (2e_{1}-8e_{2}).$

Aufgabe

Vereinfache in ${}\bigwedge ^{3}\mathbb {R} ^{3}$ den Ausdruck

$(e_{1}-e_{2})\wedge (e_{2}-4e_{3})\wedge (3e_{1}-5e_{2}+4e_{3})+{\left(7e_{3}\right)}\wedge {\left(e_{1}-4e_{3}\right)}\wedge {\left(5e_{3}-e_{1}\right)}-(4e_{3}-2e_{2})\wedge e_{2}\wedge (4e_{1}+3e_{2}-4e_{3}).$

Aufgabe

Vereinfache in ${}\bigwedge ^{3}\mathbb {R} ^{3}$ den Ausdruck

$-7e_{1}\wedge e_{2}\wedge e_{3}+6e_{2}\wedge e_{3}\wedge e_{1}+4e_{3}\wedge e_{2}\wedge e_{1}+3e_{2}\wedge e_{1}\wedge e_{3}+5e_{3}\wedge e_{1}\wedge e_{2}-11e_{2}\wedge e_{3}\wedge e_{1}.$

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum. Zeige die Gleichheit ${}V=\bigwedge ^{1}V$.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum der Dimension ${}n$. Zeige, dass ${}\bigwedge ^{n}V$ nicht der Nullraum ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}m$- dimensionaler ${}K$- Vektorraum. Es sei ${}n>m$. Zeige ${}\bigwedge ^{n}V=0$.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum. Es seien ${}f_{1},\ldots ,f_{k}\in V^{*}$. Zeige, dass die Abbildung

$V\times \cdots \times V\longrightarrow K,\,(v_{1},\ldots ,v_{k})\longmapsto \det(f_{i}(v_{j}))_{1\leq i,j\leq k},$

multilinear und alternierend ist.

Aufgabe

Zeige folgende Aussage über das Dachprodukt: Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum der Dimension ${}n$. Es seien ${}v_{1},\ldots ,v_{r}$ und ${}w_{1},\ldots ,w_{r}$ Vektoren in ${}V$, die miteinander in der Beziehung

${}{\begin{pmatrix}w_{1}\\\vdots \\w_{r}\end{pmatrix}}=M{\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{r}\end{pmatrix}}\,$

stehen, wobei ${}M$ eine ${}r\times r$- Matrix bezeichnet. Dann gilt in ${}\bigwedge ^{r}V$ die Beziehung

${}w_{1}\wedge \ldots \wedge w_{r}=(\det M)v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{r}\,.$

Aufgabe

Beweise Satz 57.9 direkt aus der Konstruktion für das Tensorprodukt und der Konstruktion für das Dachprodukt.

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum und sei ${}n\in \mathbb {N}$.

1. Kann man durch die Zuordnung

   $v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{n}\mapsto v_{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}v_{n}$

   eine (lineare) Abbildung von ${}\bigwedge ^{n}V$ nach ${}V\otimes _{}\cdots \otimes _{}V$ festlegen?

2. Kann man auf die kanonische Abbildung

   $\pi \colon V\times \cdots \times V\longrightarrow V\otimes _{}\cdots \otimes _{}V$

   die universelle Eigenschaft für das Dachprodukt anwenden, um eine lineare Abbildung von ${}\bigwedge ^{n}V$ nach ${}V\otimes _{}\cdots \otimes _{}V$ zu erhalten?

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum und sei

$\pi \colon V\times \cdots \times V\longrightarrow V\otimes _{}\cdots \otimes _{}V$

(mit ${}n$ Faktoren) die kanonische multilineare Abbildung.

1. Es sei ${}\sigma \in S_{n}$ eine Permutation. Zeige, dass es eine multilineare Abbildung

   $\pi \circ \sigma \colon V\times \cdots \times V\longrightarrow V\otimes _{}\cdots \otimes _{}V$

   mit

   ${}(\pi \circ \sigma )(v_{1},\ldots ,v_{n})=v_{\sigma (1)}\otimes _{}\cdots \otimes _{}v_{\sigma (n)}\,$

   gibt.

2. Zeige, dass ${}\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn} (\sigma )\pi \circ \sigma$ multilinear und alternierend ist.
3. Zeige, dass es eine lineare Abbildung

   $\Psi \colon \bigwedge ^{n}V\longrightarrow V\otimes _{}\cdots \otimes _{}V$

   mit

   ${}\Psi (v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{n})=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn} (\sigma )v_{\sigma (1)}\otimes _{}\cdots \otimes _{}v_{\sigma (n)}\,$

   gibt.

Aufgabe

Es sei ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung, ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum und ${}n\in \mathbb {N}$. Zeige, dass es eine kanonische Isomorphie der ${}L$-Vektorräume

$\bigwedge ^{n}V_{L}\,\,{\text{ und }}\,\,(\bigwedge ^{n}V)_{L}$

(wobei links das Dachprodukt über ${}L$ steht) gibt.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung, ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum und

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung. Zeige

${}\det \varphi =\det \varphi _{L}\,.$

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

ein Endomorphismus auf einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum ${}V$ und

$\varphi _{\mathbb {C} }\colon V_{\mathbb {C} }\longrightarrow V_{\mathbb {C} }$

die zugehörige Komplexifizierung. Zeige, dass ${}\varphi$ genau dann (asymptotisch) stabil ist, wenn dies für ${}\varphi _{\mathbb {C} }$ gilt.