Kurs:Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)/Arbeitsblatt 2/latex
\setcounter{section}{2}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{(M,d)}{} ein
\definitionsverweis {metrischer Raum}{}{.} Zeige, dass in $M$ die sogenannte \stichwort {Hausdorff} {-}Eigenschaft gilt, d.h. zu je zwei verschiedenen Punkten
\mathkor {} {x} {und} {y} {} gibt es
\definitionsverweis {offene Mengen}{}{}
\mathkor {} {U} {und} {V} {} mit
\mathdisp {x \in U \text{ und } y \in V \text{ und } U \cap V = \emptyset} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass in einem
\definitionsverweis {Hausdorff-Raum}{}{}
$X$ jeder Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {abgeschlossen}{}{}
ist.
}
{} {}
Wir verallgemeinern einige Konzepte von metrischen Räumen auf topologische Räume.
Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine
\definitionsverweis {Folge}{}{}
in einem
\definitionsverweis {topologischen Raum}{}{}
$X$. Man sagt, dass die Folge gegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionswort {konvergiert}{,} wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist.
Zu jeder
\definitionsverweis {offenen Umgebung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
von $x$ gibt es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n_0
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \geq }{ n_0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Folgenglieder $x_n$ zu $U$ gehören.
In diesem Fall heißt $x$ der \definitionswort {Grenzwert}{} oder der \definitionswort {Limes}{} der Folge. Dafür schreibt man auch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \lim_{n \rightarrow \infty} x_n
}
{ =} { x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wenn die Folge einen Grenzwert besitzt, so sagt man auch, dass sie \definitionswort {konvergiert}{}
\zusatzklammer {ohne Bezug auf einen Grenzwert} {} {,}
andernfalls, dass sie \definitionswort {divergiert}{.}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{(M,d)}{} ein
\definitionsverweis {metrischer Raum}{}{} und sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine
\definitionsverweis {Folge}{}{}
in $M$. Zeige, dass die Folge in $M$ genau dann im Sinne der Metrik
\definitionsverweis {konvergiert}{}{,}
wenn sie im Sinne der Topologie
\definitionsverweis {konvergiert}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass eine
\definitionsverweis {Folge}{}{}
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} in einem
\definitionsverweis {Hausdorffraum}{}{}
$X$ höchstens einen
\definitionsverweis {Grenzwert}{}{}
besitzt.
}
{} {}
Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine
\definitionsverweis {Folge}{}{}
in einem
\definitionsverweis {topologischen Raum}{}{}
$X$. Ein Punkt
\mathl{x \in X}{} heißt \definitionswort {Häufungspunkt}{} der Folge, wenn in jeder
\definitionsverweis {offenen Umgebung}{}{}
$U$ von
\mathl{x}{} unendlich viele Folgenglieder $x_n$ liegen.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine
\definitionsverweis {Folge}{}{}
in einem
\definitionsverweis {topologischen Raum}{}{}
$X$ und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es gebe eine gegen $x$
\definitionsverweis {konvergente}{}{}
\definitionsverweis {Teilfolge}{}{.}
Zeige, dass $x$ ein
\definitionsverweis {Häufungspunkt}{}{}
der Folge ist.
}
{} {}
Eine Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eines
\definitionsverweis {topologischen Raumes}{}{}
$X$ heißt \definitionswort {dicht}{,} wenn für jede nichtleere
\definitionsverweis {offene Menge}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Beziehung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T \cap U
}
{ \neq }{ \emptyset
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt.
Es wurde bereits in
Aufgabe 35.7 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
gezeigt, dass dieses Konzept mit der Dichtheit in einem metrischen Raum übereinstimmt.
\inputaufgabe
{}
{
Man beschreibe einen \definitionsverweis {topologischen Raum}{}{,} der aus zwei Punkten besteht, wobei der eine Punkt \definitionsverweis {dicht}{}{} und der andere Punkt nicht dicht sei.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $X$ ein
\definitionsverweis {topologischer Raum}{}{}
mit einer
\definitionsverweis {abzählbaren Basis}{}{.}
Zeige, dass dann auch jeder Unterraum
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Y
}
{ \subseteq }{ X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit der
\definitionsverweis {induzierten Topologie}{}{}
eine abzählbare Basis besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $X$ ein
\definitionsverweis {topologischer Raum}{}{}
mit einer
\definitionsverweis {abzählbaren Basis}{}{.}
Zeige, dass es zu jeder Überdeckung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ = }{ \bigcup_{i \in I} U_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\definitionsverweis {offenen Mengen}{}{}
$U_i$ eine abzählbare Teilüberdeckung gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine
\definitionsverweis {Folge}{}{}
in einem
\definitionsverweis {topologischen Raum}{}{}
$X$, der eine
\definitionsverweis {abzählbare Basis}{}{}
besitze, und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass $x$ genau dann ein
\definitionsverweis {Häufungspunkt}{}{}
der Folge ist, wenn es eine gegen $x$
\definitionsverweis {konvergente}{}{}
\definitionsverweis {Teilfolge}{}{}
gibt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mathl{(X, {\mathcal T } )}{} ein
\definitionsverweis {topologischer Raum}{}{}
und sei
\mathl{{\mathcal A }}{} die davon erzeugte
\definitionsverweis {Mengenalgebra}{}{.}
Zeige, dass diese genau aus allen endlichen Vereinigungen
\mathdisp {(U_1 \cap A_1) \cup ( U_2 \cap A_2) \cup \ldots \cup (U_n \cap A_n)} { }
mit offenen Mengen
\mathl{U_1 , \ldots , U_n}{} und abgeschlossenen Mengen
\mathl{A_1 , \ldots , A_n}{} besteht.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei \maabbdisp {f} {\R} {\R } {} eine \definitionsverweis {messbare Funktion}{}{.} Zeige, dass die Menge der Punkte, in denen $f$ \definitionsverweis {stetig}{}{} ist, weder \definitionsverweis {offen}{}{} noch \definitionsverweis {abgeschlossen}{}{} sein muss.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei \maabbdisp {f} {\R} {\R } {} eine \definitionsverweis {messbare Funktion}{}{.} Zeige, dass die Menge der Punkte, in denen $f$ \definitionsverweis {stetig}{}{} ist, eine \definitionsverweis {messbare Teilmenge}{}{} von $\R$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{(M, {\mathcal A }, \mu)}{} ein
\definitionsverweis {Maßraum}{}{.} Zeige, dass die Menge der
\definitionsverweis {Nullmengen}{}{} von $M$ ein
\definitionsverweis {Mengen-Präring}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{(M, {\mathcal A }, \mu)}{} ein
\definitionsverweis {Maßraum}{}{.} Zeige, dass die Mengen
\mathdisp {{ \left\{ T \in {\mathcal A } \mid \mu(T) < \infty \right\} }} { , }
einen
\definitionsverweis {Mengen-Präring}{}{,}
aber im Allgemeinen keine
\definitionsverweis {Mengen-Algebra}{}{}
bilden.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mathl{(X,{\mathcal B })}{} ein Messraum und $\mu$ und $\nu$ seien Maße darauf.
a) Ist die durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(\mu+\nu)(T)
}
{ \defeq} { \mu(T) + \nu(T)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \in }{ {\mathcal B }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
definierte Abbildung ein Maß?
b) Ist die durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(\mu * \nu)(T)
}
{ \defeq} { {\max { \left( \mu(T) , \nu(T) \right) } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \in }{ {\mathcal B }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
definierte Abbildung ein Maß?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{(M, {\mathcal A }, \mu)}{} ein
\definitionsverweis {Maßraum}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c
}
{ \in }{ \R_{\geq 0}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \lambda (T)
}
{ \defeq} { c \mu(T)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein Maß auf $M$ definiert ist.\zusatzfussnote {Dieses Maß nennt man das mit $c$ \stichwort {umskalierte Maß} {}} {.} {} Diskutiere insbesondere die Teilmengen mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \mu(T)
}
{ = }{ \infty
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{(M, {\mathcal A })}{} ein
\definitionsverweis {Messraum}{}{,}
der als abzählbare disjunkte Vereinigung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { \bigcup_{i \in I} M_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M_i
}
{ \in }{ {\mathcal A }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegeben ist. Es seien
\mathbed {\mu_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
Maße auf
\mathl{(M_i, {\mathcal A }{{|}}_{M_i} )}{.} Zeige, dass es ein eindeutiges Maß $\mu$ auf $M$ derart gibt, dass die Einschränkungen von $\mu$ auf die
\mathl{(M_i, {\mathcal A }{{|}}_{M_i} )}{} mit $\mu_i$ übereinstimmen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{(M, {\mathcal A })}{} ein
\definitionsverweis {Messraum}{}{.} Wir nennen ein
\definitionsverweis {Maß}{}{} auf $M$ \stichwort {explosiv} {,} wenn es lediglich die Werte
\mathkor {} {0} {und} {\infty} {}
annimmt.
a) Zeige, dass
\zusatzklammer {für
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ T
}
{ \in }{ {\mathcal A }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \gamma (T)
}
{ =} { \begin{cases} 0, \text{ falls } T = \emptyset \, , \\ \infty, \text{ falls } T \neq \emptyset \, , \end{cases}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein Maß definiert ist.
b) Es sei $\mu$ ein Maß auf
\mathl{(M, {\mathcal A })}{.} Zeige, dass durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \lambda (T)
}
{ =} { \begin{cases} 0, \text{ falls } \mu(T) = 0 \, , \\ \infty, \text{ falls } \mu(T) > 0 \, , \end{cases}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ebenfalls ein Maß definiert ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Belegungsfunktion}{}{} zu einem \definitionsverweis {Dirac-Maß}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man mache sich klar, dass die \definitionsverweis {Maßtheorie}{}{} auf den \definitionsverweis {natürlichen Zahlen}{}{} $\N$ \anfuehrung{nahezu}{} äquivalent ist zur Theorie der \definitionsverweis {Reihen}{}{} mit nichtnegativen reellen Summanden. Warum nur nahezu? Welches maßtheoretische Konzept korrespondiert dabei zur \definitionsverweis {Konvergenz der Reihe}{}{?}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Der
\definitionsverweis {Messraum}{}{}
$(\N_+, \mathfrak {P} \, (\N_+ ))$ sei mit dem
\definitionsverweis {Maß}{}{}
versehen, bei der die Zahl $n$ den Wert
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\mu(n)
}
{ = }{ { \frac{ 1 }{ n } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
erhält. Bestimme für möglichst viele Teilmengen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
den Wert
\mathl{\mu(T)}{.}
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei
\mathl{(M, {\mathcal A })}{} ein
\definitionsverweis {Messraum}{}{} und sei
\maabbdisp {f_n} {M} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {Folge}{}{}
von
\definitionsverweis {messbaren Funktionen}{}{.}
Zeige, dass
\mathdisp {{ \left\{ x \in M \mid f_n(x) \text{ konvergiert} \right\} }} { }
\definitionsverweis {messbar}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Zeige, dass es eine \definitionsverweis {abzählbare Familie}{}{} von \definitionsverweis {offenen Bällen}{}{} im $\R^n$ gibt, die eine \definitionsverweis {Basis der Topologie}{}{} bilden.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei $X$ ein
\definitionsverweis {Hausdorff-Raum}{}{}
und es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T_1,T_2
}
{ \subseteq }{X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zwei
\definitionsverweis {disjunkte}{}{}
endliche Teilmengen. Zeige, dass es
\definitionsverweis {offene Mengen}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U_1,U_2
}
{ \subseteq }{X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T_1
}
{ \subseteq }{ U_1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T_2
}
{ \subseteq }{ U_2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U_1 \cap U_2
}
{ = }{ \emptyset
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Zeige, dass es auf jedem \definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{} \definitionsverweis {reellen Vektorraum}{}{} ein wohldefiniertes Konzept von \stichwort {Borel-Mengen} {} gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{7}
{
Zeige, dass die Menge der
\definitionsverweis {stetigen}{}{}
\definitionsverweis {wachsenden Funktionen}{}{}
\maabbdisp {f} {\R} {\R
} {}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(\Q)
}
{ \subseteq }{ \Q
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(\R_{\leq 0})
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(\R_{\geq 1})
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {überabzählbar}{}{}
ist.
}
{} {}