Kurs:Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)/Arbeitsblatt 2

Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum. Zeige, dass in ${}M$ die sogenannte Hausdorff-Eigenschaft gilt, d.h. zu je zwei verschiedenen Punkten ${}x$ und ${}y$ gibt es offene Mengen ${}U$ und ${}V$ mit

x\in U{\text{ und }}y\in V{\text{ und }}U\cap V=\emptyset .

Aufgabe *

Zeige, dass in einem Hausdorff-Raum ${}X$ jeder Punkt ${}x\in X$ abgeschlossen ist.

Wir verallgemeinern einige Konzepte von metrischen Räumen auf topologische Räume.

Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in einem topologischen Raum ${}X$ . Man sagt, dass die Folge gegen ${}x\in X$ konvergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist.

Zu jeder offenen Umgebung ${}U\subseteq X$ von ${}x$ gibt es ein ${}n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle ${}n\geq n_{0}$ die Folgenglieder ${}x_{n}$ zu ${}U$ gehören.

In diesem Fall heißt ${}x$ der Grenzwert oder der Limes der Folge. Dafür schreibt man auch

{}\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=x\,.

Wenn die Folge einen Grenzwert besitzt, so sagt man auch, dass sie konvergiert (ohne Bezug auf einen Grenzwert), andernfalls, dass sie divergiert.

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum und sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in ${}M$ . Zeige, dass die Folge in ${}M$ genau dann im Sinne der Metrik konvergiert, wenn sie im Sinne der Topologie konvergiert.

Aufgabe

Zeige, dass eine Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in einem Hausdorffraum ${}X$ höchstens einen Grenzwert besitzt.

Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in einem topologischen Raum ${}X$ . Ein Punkt ${}x\in X$ heißt Häufungspunkt der Folge, wenn in jeder offenen Umgebung ${}U$ von ${}x$ unendlich viele Folgenglieder ${}x_{n}$ liegen.

Aufgabe

Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in einem topologischen Raum ${}X$ und sei ${}x\in X$ . Es gebe eine gegen ${}x$ konvergente Teilfolge. Zeige, dass ${}x$ ein Häufungspunkt der Folge ist.

Eine Teilmenge ${}T\subseteq X$ eines topologischen Raumes ${}X$ heißt dicht, wenn für jede nichtleere offene Menge ${}U\subseteq X$ die Beziehung ${}T\cap U\neq \emptyset$ gilt.

Es wurde bereits in Aufgabe 35.7 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) gezeigt, dass dieses Konzept mit der Dichtheit in einem metrischen Raum übereinstimmt.

Aufgabe

Man beschreibe einen topologischen Raum, der aus zwei Punkten besteht, wobei der eine Punkt dicht und der andere Punkt nicht dicht sei.

Aufgabe

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum mit einer abzählbaren Basis. Zeige, dass dann auch jeder Unterraum ${}Y\subseteq X$ mit der induzierten Topologie eine abzählbare Basis besitzt.

Aufgabe

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum mit einer abzählbaren Basis. Zeige, dass es zu jeder Überdeckung ${}U=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ mit offenen Mengen ${}U_{i}$ eine abzählbare Teilüberdeckung gibt.

Aufgabe

Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in einem topologischen Raum ${}X$ , der eine abzählbare Basis besitze, und sei ${}x\in X$ . Zeige, dass ${}x$ genau dann ein Häufungspunkt der Folge ist, wenn es eine gegen ${}x$ konvergente Teilfolge gibt.

Aufgabe *

Es sei ${}(X,{\mathcal {T}})$ ein topologischer Raum und sei ${}{\mathcal {A}}$ die davon erzeugte Mengenalgebra. Zeige, dass diese genau aus allen endlichen Vereinigungen

(U_{1}\cap A_{1})\cup (U_{2}\cap A_{2})\cup \ldots \cup (U_{n}\cap A_{n})

mit offenen Mengen ${}U_{1},\ldots ,U_{n}$ und abgeschlossenen Mengen ${}A_{1},\ldots ,A_{n}$ besteht.

Aufgabe

Es sei

f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}

eine messbare Funktion. Zeige, dass die Menge der Punkte, in denen ${}f$ stetig ist, weder offen noch abgeschlossen sein muss.

Aufgabe

Es sei

f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}

eine messbare Funktion. Zeige, dass die Menge der Punkte, in denen ${}f$ stetig ist, eine messbare Teilmenge von ${}\mathbb {R}$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein Maßraum. Zeige, dass die Menge der Nullmengen von ${}M$ ein Mengen-Präring ist.

Aufgabe

Es sei ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein Maßraum. Zeige, dass die Mengen

{\left\{T\in {\mathcal {A}}\mid \mu (T)<\infty \right\}},

einen Mengen-Präring, aber im Allgemeinen keine Mengen-Algebra bilden.

Aufgabe *

Es sei ${}(X,{\mathcal {B}})$ ein Messraum und ${}\mu$ und ${}\nu$ seien Maße darauf.

a) Ist die durch

{}(\mu +\nu )(T):=\mu (T)+\nu (T)\,

für ${}T\in {\mathcal {B}}$ definierte Abbildung ein Maß?

b) Ist die durch

{}(\mu *\nu )(T):={\max {\left(\mu (T),\nu (T)\right)}}\,

für ${}T\in {\mathcal {B}}$ definierte Abbildung ein Maß?

Aufgabe

Es sei ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein Maßraum und ${}c\in \mathbb {R} _{\geq 0}$ . Zeige, dass durch

{}\lambda (T):=c\mu (T)\,

ein Maß auf ${}M$ definiert ist.^[1] Diskutiere insbesondere die Teilmengen mit ${}\mu (T)=\infty$ .

Aufgabe

Es sei ${}(M,{\mathcal {A}})$ ein Messraum, der als abzählbare disjunkte Vereinigung

{}M=\bigcup _{i\in I}M_{i}\,

mit ${}M_{i}\in {\mathcal {A}}$ gegeben ist. Es seien ${}\mu _{i}$ , ${}i\in I$ , Maße auf ${}(M_{i},{\mathcal {A}}{|}_{M_{i}})$ . Zeige, dass es ein eindeutiges Maß ${}\mu$ auf ${}M$ derart gibt, dass die Einschränkungen von ${}\mu$ auf die ${}(M_{i},{\mathcal {A}}{|}_{M_{i}})$ mit ${}\mu _{i}$ übereinstimmen.

Aufgabe

Es sei ${}(M,{\mathcal {A}})$ ein Messraum. Wir nennen ein Maß auf ${}M$ explosiv, wenn es lediglich die Werte ${}0$ und ${}\infty$ annimmt.

a) Zeige, dass (für ${}T\in {\mathcal {A}}$ ) durch

{}\gamma (T)={\begin{cases}0,{\text{ falls }}T=\emptyset \,,\\\infty ,{\text{ falls }}T\neq \emptyset \,,\end{cases}}\,

ein Maß definiert ist.

b) Es sei ${}\mu$ ein Maß auf ${}(M,{\mathcal {A}})$ . Zeige, dass durch

{}\lambda (T)={\begin{cases}0,{\text{ falls }}\mu (T)=0\,,\\\infty ,{\text{ falls }}\mu (T)>0\,,\end{cases}}\,

ebenfalls ein Maß definiert ist.

Aufgabe

Bestimme die Belegungsfunktion zu einem Dirac-Maß.

Aufgabe

Man mache sich klar, dass die Maßtheorie auf den natürlichen Zahlen ${}\mathbb {N}$ „nahezu“ äquivalent ist zur Theorie der Reihen mit nichtnegativen reellen Summanden. Warum nur nahezu? Welches maßtheoretische Konzept korrespondiert dabei zur Konvergenz der Reihe?

Aufgabe

Der Messraum ${}(\mathbb {N} _{+},{\mathfrak {P}}\,(\mathbb {N} _{+}))$ sei mit dem Maß versehen, bei der die Zahl ${}n$ den Wert ${}\mu (n)={\frac {1}{n}}$ erhält. Bestimme für möglichst viele Teilmengen ${}T\subseteq \mathbb {N} _{+}$ den Wert ${}\mu (T)$ .

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}(M,{\mathcal {A}})$ ein Messraum und sei

f_{n}\colon M\longrightarrow \mathbb {R}

eine Folge von messbaren Funktionen. Zeige, dass

{\left\{x\in M\mid f_{n}(x){\text{ konvergiert}}\right\}}

messbar ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass es eine abzählbare Familie von offenen Bällen im ${}\mathbb {R} ^{n}$ gibt, die eine Basis der Topologie bilden.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}X$ ein Hausdorff-Raum und es seien ${}T_{1},T_{2}\subseteq X$ zwei disjunkte endliche Teilmengen. Zeige, dass es offene Mengen ${}U_{1},U_{2}\subseteq X$ mit ${}T_{1}\subseteq U_{1}$ , ${}T_{2}\subseteq U_{2}$ und mit ${}U_{1}\cap U_{2}=\emptyset$ gibt.