Maße und Maßräume/Prämaß/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}M$ eine Menge und ${}{\mathcal {P}}$ ein Mengen-Präring auf ${}M$. Dann heißt eine Abbildung

$\mu \colon {\mathcal {P}}\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0},\,T\longmapsto \mu (T),$

ein Prämaß auf ${}M$, wenn folgende Bedingung erfüllt ist.

Für jede abzählbare Familie von paarweise disjunkten Teilmengen ${}T_{i}$, ${}i\in I$, aus ${}{\mathcal {P}}$, für die ${}\bigcup _{i\in I}T_{i}$ ebenfalls zu ${}{\mathcal {P}}$ gehört, gilt

${}\mu {\left(\bigcup _{i\in I}T_{i}\right)}=\sum _{i\in I}\mu (T_{i})\,.$

Wenn man die leere Indexmenge betrachtet, so folgt aus der Definition die Eigenschaft ${}\mu (\emptyset )=0$, da die leere Summe als ${}0$ angesetzt wird. Wenn man diese Interpretation zu spitzfindig findet, so muss man diese Eigenschaft explizit fordern.

Definition

Es sei ${}M$ eine Menge und ${}{\mathcal {A}}$ eine ${}\sigma$-Algebra auf ${}M$. Ein Prämaß auf ${}M$ nennt man ein Maß.

Ein Maß unterscheidet sich also von einem Prämaß nicht durch die strukturellen Eigenschaften, sondern lediglich durch Eigenschaften des Definitionsbereiches. Letztlich ist man an Maßen interessiert, doch Prämaße sind für deren Konstruktion wichtige Zwischenschritte.

Definition

Eine Menge ${}M$, auf der eine ${}\sigma$-Algebra ${}{\mathcal {A}}$ und ein Maß

$\mu \colon {\mathcal {A}}\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0},\,T\longmapsto \mu (T),$

erklärt ist, heißt ein Maßraum. Man schreibt dafür kurz ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$.

Mit der folgenden Definition ist die Wahrscheinlichkeitstheorie ein Spezialfall der Maßtheorie.

Definition

Ein Wahrscheinlichkeitsraum ist ein Maßraum ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ mit ${}\mu (M)=1$.