Kurs:Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)/Arbeitsblatt 23/latex
\setcounter{section}{23}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme
\definitionsverweis {Fourierkoeffizienten}{}{}
$c_{-1},c_0,c_1,c_2$ für die Funktion
\mathl{t^2-3t+4}{} auf
\mathl{[0,2 \pi]}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabbdisp {f} {\R} {{\mathbb C}
} {}
eine Funktion und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass $f$ genau dann
$T$-\definitionsverweis {periodisch}{}{}
ist, wenn es eine Faktorisierung
\mathdisp {\R \stackrel{p}{\longrightarrow} S^1 \stackrel{ \tilde{f} }{\longrightarrow} {\mathbb C}} { }
gibt, wobei $p$ die
\definitionsverweis {Quotientenabbildung}{}{}
modulo der
\definitionsverweis {Untergruppe}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Z T
}
{ \subseteq }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
Wenn man
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ S^1
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
auffasst, so kann man $p$ als
\mathl{t \mapsto e^{ { \frac{ 2 \pi }{ T } } { \mathrm i} t}}{} realisieren. Wenn $f$ ein trigonometrisches Polynom zur Periode $T$ ist, sagen wir
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f
}
{ =} { \sum_{n = -N}^N r_n e^{ \omega { \mathrm i} n t }
}
{ =} { \sum_{n = -N}^N r_n { \left( e^{ \omega { \mathrm i} t } \right) }^n
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
so ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ = }{ \tilde{f} \circ p
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \tilde{f}(z)
}
{ =} { \sum_{n = -N}^N r_n z^n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Man erhält also $f$, indem man in die
\definitionsverweis {rationale Funktion}{}{}
$\tilde{f}$ für die Variable die Funktion $e^{ \omega { \mathrm i} t }$ einsetzt.
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \omega
}
{ = }{ { \frac{ 2 \pi }{ T } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass ein
\definitionsverweis {trigonometrisches Polynom}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ = }{ \sum_{n {{}} -N}^N c_ne^{ { \mathrm i} \omega n t }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
höchstens $2N$ Nullstellen in
\mathl{[0, T [}{} besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Multipliziere die beiden
\definitionsverweis {trigonometrischen Polynome}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f
}
{ =} {4 e^{ -2{ \mathrm i} t} + 5e^{- { \mathrm i} t}+7+3e^{ { \mathrm i} t}+6e^{ 2 { \mathrm i} t}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ g
}
{ =} { -2 e^{ -2{ \mathrm i} t} + 3e^{- { \mathrm i} t}-3+6e^{ { \mathrm i} t}-e^{ 2 { \mathrm i} t}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \in }{ L^2([0, T ])
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit den
\definitionsverweis {Fourierkoeffizienten}{}{}
\mathbed {c_n} {}
{n \in \Z} {}
{} {} {} {.}
Zeige, dass die
\definitionsverweis {konjugiert-komplexe}{}{}
Funktion $\overline{ f }$ die Fourierkoeffizenten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ d_n
}
{ =} { \overline{ c_{-n} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \in }{ L^2([0, T ])
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit den
\definitionsverweis {Fourierkoeffizienten}{}{}
\mathbed {c_n} {}
{n \in \Z} {}
{} {} {} {.}
Zeige, dass die
\zusatzklammer {zu
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ s
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
umskalierte Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ g(t)
}
{ \defeq} { f(st)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Periodenlänge ${ \frac{ T }{ s } }$ besitzt und dass die Fourierkoeffizienten von $g$ ebenfalls gleich $c_n$ sind
\zusatzklammer {die sich nun aber auf ein anderes Orthonormalsystem beziehen} {} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \omega
}
{ = }{ { \frac{ 2 \pi }{ T } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \in }{ L^2([0, T ])
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit den
\definitionsverweis {Fourierkoeffizienten}{}{}
\mathbed {c_n} {}
{n \in \Z} {}
{} {} {} {.}
Zeige, dass die im Argument verschobene Funktion
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g(t)
}
{ \defeq }{ f(t+a)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zu einem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Fourierkoeffizienten $c_n e^{ { \mathrm i} n \omega a }$ besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei
\maabbdisp {f} {\R} { {\mathbb K}
} {}
eine
$T$-\definitionsverweis {periodische Funktion}{}{.}
Zeige, dass $f$ genau dann eine
\definitionsverweis {gerade Funktion}{}{}
ist, wenn der
\definitionsverweis {Graph}{}{}
von $f$ auf
\mathl{[0, T ]}{} achsensymmetrisch zur Achse durch
\mathl{( { \frac{ T }{ 2 } } ,0)}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei
\maabbdisp {f} {\R} { {\mathbb K}
} {}
eine
$T$-\definitionsverweis {periodische Funktion}{}{.}
Zeige, dass $f$ genau dann eine
\definitionsverweis {ungerade Funktion}{}{}
ist, wenn der
\definitionsverweis {Graph}{}{}
von $f$ auf
\mathl{[0, T ]}{} punktsymmetrisch zum Punkt
\mathl{( { \frac{ T }{ 2 } } ,0)}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei
\maabbdisp {f} {\R} { {\mathbb K}
} {}
eine stetige
$T$-\definitionsverweis {periodische Funktion}{}{.}
Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind.
\aufzaehlungdrei{ $f$ ist
\definitionsverweis {gerade}{}{.}
}{Für die
\definitionsverweis {Fourierkoeffizienten}{}{}
gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c_n
}
{ = }{ c_{-n}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Die reellen Koeffizienten $b_n$ sind alle $0$.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei
\maabbdisp {f} {\R} { {\mathbb K}
} {}
eine stetige
$T$-\definitionsverweis {periodische Funktion}{}{.}
Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind.
\aufzaehlungdrei{ $f$ ist
\definitionsverweis {ungerade}{}{.}
}{Für die
\definitionsverweis {Fourierkoeffizienten}{}{}
gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c_n
}
{ = }{ -c_{-n}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Die reellen Koeffizienten $a_n$ sind alle $0$.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Fourierreihen}{}{}
zu den Funktionen
\mathbed {e^{ { \mathrm i} m t}} {}
{m \in \Z} {}
{} {} {} {,}
wenn man sie auf
\mathl{[0, \pi]}{} auffasst.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die Funktionen
\mathdisp {1, \sqrt{2} \cos 2 \pi n t , n\in \N_+, \sqrt{2} \sin 2 \pi n t , n\in \N_+,} { }
ein
\definitionsverweis {vollständiges Orthonormalsystem}{}{}
von $L^2([0,1])$ bilden.
}
{} {}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und es seien
\maabb {f,g} {\R} { {\mathbb C}
} {}
$T$-\definitionsverweis {periodische}{}{}
\definitionsverweis {messbare Funktionen}{}{,}
die auf $[0, T ]$
$L^2$-\definitionsverweis {integrierbar}{}{}
sind. Dann ist die
\definitionswort {periodische Faltung}{}
$f * g$ durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (f*g)(t)
}
{ \defeq} { { \frac{ 1 }{ T } } \int_0^T f(t-s) g(s) ds
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
definiert.
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und es seien
\maabb {f,g} {\R} { {\mathbb C}
} {}
$T$-\definitionsverweis {periodische}{}{}
\definitionsverweis {messbare Funktionen}{}{,}
die auf $[0, T ]$
$L^2$-\definitionsverweis {integrierbar}{}{}
sind und die
\definitionsverweis {Fourierreihen}{}{}
$\sum_{n \in \Z} c_n e^{ { \mathrm i} n \omega t }$ bzw.
$\sum_{n \in \Z} d_n e^{ { \mathrm i} n \omega t }$ besitzen. Zeige, dass die
\definitionsverweis {periodische Faltung}{}{}
die Fourierreihe $\sum_{n \in \Z} c_nd_n e^{ { \mathrm i} n \omega t }$ besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass
\mathl{L^2([0, T])}{} mit der Addition von Funktionen und der
\definitionsverweis {periodischen Faltung}{}{}
zu einem
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
wird, in dem allerdings das neutrale Element für die Multiplikation fehlt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Die sogenannten \stichwort {Bernoulli-Polynome} {} $B_n$ für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{\N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sind Polynome vom Grad $n$, die rekursiv definiert werden: $B_0$ ist das konstante Polynom mit dem Wert $1$. Das Polynom $B_{n+1}$ berechnet sich aus dem Polynom $B_n$ über die beiden Bedingungen: $B_{n+1}$ ist eine Stammfunktion von $(n+1)B_n$ und es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_0^1 B_{n+1} (x) dx
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\aufzaehlungdrei{Berechne $B_1$.
}{Berechne $B_2$.
}{Berechne $B_3$.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es seien $c_{m,n}$ die
\definitionsverweis {Fourierkoeffizienten}{}{}
zu den Potenzen $t^m$
\zusatzklammer {auf dem Einheitsintervall} {} {.}
Zeige, dass diese die rekursiven Bedingungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ c_{0,0}
}
{ =} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ c_{0,n}
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \geq }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ c_{m,0}
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ m+1 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ m
}
{ \geq }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ c_{m,n}
}
{ =} { - { \frac{ e^{- 2 \pi { \mathrm i} n } }{ 2 \pi { \mathrm i} n } } + { \frac{ m }{ 2 \pi { \mathrm i} n } } c_{m-1, n}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ m,n
}
{ \geq }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
erfüllen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die Fourierentwicklung zu $t^2$ auf
\mathl{[0,1]}{} unter Verwendung der Fourierreihen der
\definitionsverweis {Bernoulli-Polynome}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{k = 0}^\infty (-1)^k { \frac{ 1 }{ 2k+1 } }
}
{ =} { { \frac{ \pi }{ 4 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
Lemma 23.9.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{n = 1}^\infty { \frac{ 1 }{ n^4 } }
}
{ =} { { \frac{ \pi^4 }{ 90 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
Satz 23.10.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{4}
{
Bestimme
\definitionsverweis {Fourierkoeffizienten}{}{}
$c_{-1},c_0,c_1,c_2$ für die Funktion
\mathl{3t^2-5 { \mathrm i} t-1}{} auf
\mathl{[0,2 \pi]}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Fourierkoeffizienten}{}{}
der
$2$-\definitionsverweis {periodischen Funktion}{}{,}
die auf
\mathl{[-1,1]}{} durch die
\definitionsverweis {Betragsfunktion}{}{}
gegeben ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{n = 1}^\infty (-1)^{n+1} { \frac{ 1 }{ n^2 } }
}
{ =} { { \frac{ \pi^2 }{ 12 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
Satz 23.10.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{n = 1}^\infty { \frac{ 1 }{ n^6 } }
}
{ =} { { \frac{ \pi^6 }{ 945 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
Satz 23.10.
}
{} {}