Kurs:Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)/Arbeitsblatt 23



Übungsaufgaben

Aufgabe

Bestimme Fourierkoeffizienten für die Funktion auf .


Aufgabe

Es sei

eine Funktion und sei . Zeige, dass genau dann - periodisch ist, wenn es eine Faktorisierung

gibt, wobei die Quotientenabbildung modulo der Untergruppe ist.


Wenn man auffasst, so kann man als realisieren. Wenn ein trigonometrisches Polynom zur Periode ist, sagen wir

so ist mit

Man erhält also , indem man in die rationale Funktion für die Variable die Funktion einsetzt.

Aufgabe *

Es sei und . Zeige, dass ein trigonometrisches Polynom höchstens Nullstellen in besitzt.


Aufgabe

Multipliziere die beiden trigonometrischen Polynome

und


Aufgabe

Es sei mit den Fourierkoeffizienten , . Zeige, dass die konjugiert-komplexe Funktion die Fourierkoeffizenten

besitzt.


Aufgabe

Es sei und mit den Fourierkoeffizienten , . Zeige, dass die (zu ) umskalierte Funktion

die Periodenlänge besitzt und dass die Fourierkoeffizienten von ebenfalls gleich sind (die sich nun aber auf ein anderes Orthonormalsystem beziehen).


Aufgabe

Es sei , und mit den Fourierkoeffizienten , . Zeige, dass die im Argument verschobene Funktion zu einem die Fourierkoeffizienten besitzt.


Aufgabe

Es sei und sei

eine - periodische Funktion. Zeige, dass genau dann eine gerade Funktion ist, wenn der Graph von auf achsensymmetrisch zur Achse durch ist.


Aufgabe

Es sei und sei

eine - periodische Funktion. Zeige, dass genau dann eine ungerade Funktion ist, wenn der Graph von auf punktsymmetrisch zum Punkt ist.


Aufgabe

Es sei und sei

eine stetige - periodische Funktion. Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind.

  1. ist gerade.
  2. Für die Fourierkoeffizienten gilt .
  3. Die reellen Koeffizienten sind alle .


Aufgabe

Es sei und sei

eine stetige - periodische Funktion. Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind.

  1. ist ungerade.
  2. Für die Fourierkoeffizienten gilt .
  3. Die reellen Koeffizienten sind alle .


Aufgabe *

Bestimme die Fourierreihen zu den Funktionen , , wenn man sie auf auffasst.


Aufgabe

Zeige, dass die Funktionen

ein vollständiges Orthonormalsystem von bilden.


Es sei und es seien - periodische messbare Funktionen, die auf - integrierbar sind. Dann ist die periodische Faltung durch

definiert.


Aufgabe *

Es sei und es seien - periodische messbare Funktionen, die auf - integrierbar sind und die Fourierreihen bzw. besitzen. Zeige, dass die periodische Faltung die Fourierreihe besitzt.


Aufgabe

Es sei . Zeige, dass mit der Addition von Funktionen und der periodischen Faltung zu einem kommutativen Ring wird, in dem allerdings das neutrale Element für die Multiplikation fehlt.


Aufgabe *

Die sogenannten Bernoulli-Polynome für sind Polynome vom Grad , die rekursiv definiert werden: ist das konstante Polynom mit dem Wert . Das Polynom berechnet sich aus dem Polynom über die beiden Bedingungen: ist eine Stammfunktion von und es ist

  1. Berechne .
  2. Berechne .
  3. Berechne .


Aufgabe *

Es seien die Fourierkoeffizienten zu den Potenzen (auf dem Einheitsintervall). Zeige, dass diese die rekursiven Bedingungen

für ,

für und

für erfüllen.


Aufgabe

Bestimme die Fourierentwicklung zu auf unter Verwendung der Fourierreihen der Bernoulli-Polynome.


Aufgabe

Zeige

mit Lemma 23.9.


Aufgabe *

Zeige

mit Satz 23.10.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme Fourierkoeffizienten für die Funktion auf .


Aufgabe (5 Punkte)

Bestimme die Fourierkoeffizienten der - periodischen Funktion, die auf durch die Betragsfunktion gegeben ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige

mit Satz 23.10.


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige

mit Satz 23.10.



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