Kurs:Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)/Arbeitsblatt 22

Übungsaufgaben

Aufgabe

Bestimme die optimale Approximation für den Datensatz ${}f(0)=0$, ${}f(1)=2$, ${}f(2)=2$, durch eine konstante Funktion bezüglich der folgenden Normen des ${}\mathbb {R} ^{n}$.

1. Summennorm,
2. euklidische Norm (${}L^{2}$-Norm),
3. Maximumsnorm,
4. ${}L^{p}$- Norm für ${}p\geq 1$.

Aufgabe

Es sei ${}x_{1},\ldots ,x_{n}$ verschiedene reelle Zahlen und seien ${}y_{1},\ldots ,y_{n}$ reelle Zahlen. Bestimme die optimale Approximation für den Datensatz ${}f(x_{i})=y_{i}$ durch eine konstante Funktion bezüglich der folgenden Normen des ${}\mathbb {R} ^{n}$.

1. Summennorm,
2. euklidische Norm (${}L^{2}$-Norm),
3. Maximumsnorm,
4. ${}L^{p}$- Norm für ${}p\geq 1$.

Wann gibt es eine „geschlossene Formel“, wann nicht? Wie sieht es bei ${}n=1,2,3$ aus?

Aufgabe

Bestimme in Beispiel 22.4 die optimale affin-lineare Approximation im Sinne der Summe der kleinsten Quadrate mit Lemma 22.2 unter Verwendung einer Orthonormalbasis von ${}U$.

Aufgabe *

Beweise Satz 22.5 analytisch.

Aufgabe

Bestimme in Beispiel 22.4 die optimale affin-lineare Approximation im Sinne der Summennorm.

Aufgabe

Bestimme in Beispiel 22.4 die optimale affin-lineare Approximation im Sinne der Maximumsnorm.

Aufgabe

Es seien ${}x_{1},\ldots ,x_{n}$ verschiedene reelle Zahlen, ${}n\geq 2$, und ${}y_{1},\ldots ,y_{n}$ reelle Zahlen. Bestimme analytisch die optimale affin-lineare Approximation ${}ax+b$ für den Datensatz ${}f(x_{i})=y_{i}$ bezüglich der ${}p$- Norm im ${}\mathbb {R} ^{n}$ für ${}p$ eine positive gerade Zahl.

Aufgabe

Es seien ${}x_{1},\ldots ,x_{n}$ verschiedene reelle Zahlen, ${}n\geq 2$, und ${}y_{1},\ldots ,y_{n}$ reelle Zahlen. Es sei ${}{\bar {x}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}x_{i}}{n}}$ und ${}{\bar {y}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}y_{i}}{n}}$. Zeige, dass ${}({\bar {x}},{\bar {y}})$ auf der optimalen linearen Approximation im Sinne der kleinsten Fehlerquadrate für den Datensatz liegt.

Aufgabe

Bestimme die optimale affin-lineare Approximation im Sinne der kleinsten Fehlerquadrate für die Messdaten ${}(2,8),\,(5,14),\,(7,20)$.

Aufgabe

Bestimme die optimale affin-lineare Approximation im Sinne der kleinsten Fehlerquadrate für die Messdaten ${}(x_{1},0),\ldots ,(x_{i-1},0),(x_{i},1),(x_{i+1},0),\ldots ,(x_{n},0)$.

Aufgabe

Für die Bewegung eines Teilchens in der Ebene liegen zu verschieden Zeitpunkten die gemessenen Ortspunkte gemäß der Tabelle

${}t$	${}0$	${}1$	${}2$
${}P(t)$	${}(5,1)$	${}(5,2)$	${}(4,3)$

vor. Aus theoretischen Gründen ist klar, dass es sich um eine Kreisbewegung um den Nullpunkt mit konstanter Geschwindigkeit handeln müsste, die sich zum Zeitpunkt ${}0$ auf der ${}x$-Achse befinden müsste. Die Bewegung sollte also von der Form

${}g(t)=\left(a\cos \left(ct\right),\,a\sin \left(ct\right)\right)\,$

sein. Bestimme ${}(a,c)$ derart, dass die zugehörige Kreisbewegung mit den Messdaten im Sinne der kleinsten Quadrate optimal übereinstimmt.

Aufgabe

Es sei ${}v_{i}$, ${}i\in I$, ein Orthonormalsystem in einem ${}{\mathbb {K} }$- Hilbertraum ${}V$. Zeige, dass man das System zu einem vollständigen Orthonormalsystem ergänzen kann.

Die folgende Aufgabe verallgemeinert Lemma 22.2.

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein ${}{\mathbb {K} }$- Hilbertraum und sei ${}v_{i}$, ${}i\in I$, ein Orthonormalsystem mit dem davon erzeugten Untervektorraum ${}U$ und dem zugehörigen Abschluss ${}W={\overline {U}}$. Dann gilt für die orthogonale Projektion

${}p_{W}(v)=\sum _{i\in I}\left\langle v,v_{i}\right\rangle v_{i}\,.$

Aufgabe

Es sei ${}v_{i}$, ${}i\in I$, ein vollständiges Orthonormalsystem in einem Hilbertraum ${}V$. Es seien ${}v,w\in V$ Vektoren mit den Darstellungen ${}v=\sum _{i\in I}c_{i}v_{i}$ und ${}w=\sum _{i\in I}d_{i}v_{i}$. Zeige

${}\left\langle v,w\right\rangle =\sum _{i\in I}c_{i}{\overline {d_{i}}}\,.$

Aufgabe

Zeige, dass zwei separable Hilberträume von unendlicher Dimension zueinander isometrisch isomorph sind.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die optimale affin-lineare Approximation im Sinne der kleinsten Fehlerquadrate für die Messdaten ${}(-2,10),\,(3,5),\,(4,8),\,(7,15)$.

Aufgabe (5 Punkte)

Bestimme die optimale Approximation durch ein quadratisches Polynom vom Grad ${}\leq 2$ im Sinne der kleinsten Fehlerquadrate für die Messdaten ${}(-1,1),\,(0,0),\,(1,1),\,(2,10)$.

Aufgabe (5 Punkte)

Für die Bewegung eines Teilchens in der Ebene liegen zu verschieden Zeitpunkten die gemessenen Ortspunkte gemäß der Tabelle

${}t$	${}0$	${}{\frac {\pi }{2}}$	${}\pi$	${}{\frac {3\pi }{2}}$
${}P(t)$	${}(9,0)$	${}(2,30)$	${}(-21,-1)$	${}(1,-32)$

vor. Aus theoretischen Gründen ist klar, dass es sich um eine Bewegung auf einer Ellipse mit konstanter Geschwindigkeit handeln müsste und die Bewegung durch eine Funktion der Form

${}g(t)=\left(a\cos \left(ct\right),\,b\sin \left(ct\right)\right)\,$

modelliert werden sollte. Bestimme ${}(a,b,c)$ derart, dass die zugehörige Bewegung mit den Messdaten im Sinne der kleinsten Quadrate optimal übereinstimmt.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}V$ ein unendlichdimensionaler ${}{\mathbb {K} }$- Hilbertraum. Zeige, dass ${}V$ keine Orthonormalbasis besitzt.