Kurs:Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)/Definitionsliste

Definition:Gleichmächtigkeit von Mengen

Zwei Mengen und heißen gleichmächtig, wenn es eine bijektive Abbildung

gibt.


Definition:Endliche Menge

Eine Menge heißt endlich mit Elementen, wenn es eine Bijektion

gibt.



Definition:Abzählbar

Eine Menge heißt abzählbar, wenn sie leer ist oder wenn es eine surjektive Abbildung

gibt.



Definition:Abzählbar unendlich

Eine Menge heißt abzählbar unendlich, wenn sie abzählbar, aber nicht endlich ist.



Definition:Mengensystem

Zu einer Menge heißt eine Teilmenge der Potenzmenge ein (Teil)-Mengensystem auf .



Definition:Mengen-Algebra

Ein Teilmengensystem auf einer Menge heißt Mengen-Algebra, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind.

  1. Es ist .
  2. Mit gehört auch das Komplement zu .
  3. Für je zwei Mengen ist auch .


Definition:-Algebra

Ein Teilmengensystem auf einer Menge heißt -Algebra, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind.

  1. Es ist .
  2. Mit gehört auch das Komplement zu .
  3. Für jede abzählbare Familie , , ist auch


Definition:Messraum

Eine Menge , auf der eine - Algebra erklärt ist, heißt ein Messraum.



Definition:Erzeugte Sigmaalgebra

Es sei eine Menge und eine Menge von Teilmengen aus . Dann nennt man die kleinste - Algebra, die enthält, die von erzeugte -Algebra. Sie wird mit bezeichnet. Das System heißt Erzeugendensystem dieser -Algebra.



Definition:Dynkin-System

Ein Teilmengensystem auf einer Menge heißt Dynkin-System, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind.

  1. Es ist .
  2. Mit und gehört auch zu .
  3. Für jede abzählbare Familie , , mit paarweise disjunkten Mengen ist auch


Definition:Mengen-Präring

Ein Teilmengensystem auf einer Menge heißt Mengen-Präring, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind.

  1. Es ist .
  2. Mit gehört auch zu .
  3. Für je zwei Mengen ist auch .


Definition:Messbare Abbildung

Es seien und Messräume. Eine Abbildung

heißt messbar (oder genauer -messbar), wenn für alle das Urbild zu gehört.



Definition:Topologie

Es sei eine Menge. Eine Familie von Teilmengen von heißt Topologie auf , wenn die folgenden Axiome erfüllt sind:

  1. Es ist und .
  2. Sind und , so ist auch .
  3. Ist eine Indexmenge und für alle , so ist auch .

Ein topologischer Raum ist ein Paar , wobei eine Menge und eine Topologie auf ist.



Definition:Hausdorffsch

Ein topologischer Raum heißt hausdorffsch, wenn es zu je zwei verschiedenen Punkten offene Mengen und mit , und mit gibt.



Definition:Basis einer Topologie

Es sei ein topologischer Raum. Ein System von offenen Mengen in heißt Basis der Topologie, wenn man jede offene Menge in als Vereinigung von offenen Mengen aus erhalten kann.



Definition:Topologie mit abzählbarer Basis

Es sei ein topologischer Raum. Man sagt, dass eine abzählbare Basis besitzt, wenn es eine Basis der Topologie gibt, die nur aus abzählbar vielen offenen Mengen besteht.



Definition:Stetig

Eine Abbildung

zwischen topologischen Räumen und heißt stetig, wenn Urbilder von offenen Mengen wieder offen sind.



Definition:Homöomorphe Räume

Zwei topologische Räume und heißen homöomorph, wenn es eine bijektive stetige Abbildung

gibt, deren Umkehrabbildung ebenfalls stetig ist.



Definition:Unterraumtopologie

Es sei ein topologischer Raum und eine Teilmenge. Folgende Vorschrift definiert eine Topologie auf : Für eine Teilmenge gilt genau dann, wenn es eine in offene Menge gibt, so dass gilt.



Definition:Borel-Mengen

Es sei ein topologischer Raum. Dann nennt man die von erzeugte - Algebra die Menge der Borel-Mengen von .



Definition:Prämaß

Es sei eine Menge und ein Mengen-Präring auf . Dann heißt eine Abbildung

ein Prämaß auf , wenn folgende Bedingung erfüllt ist.

Für jede abzählbare Familie von paarweise disjunkten Teilmengen , , aus , für die ebenfalls zu gehört, gilt



Definition:Maß

Es sei eine Menge und eine - Algebra auf . Ein Prämaß auf nennt man ein Maß.



Definition:Maßraum

Eine Menge , auf der eine - Algebra und ein Maß

erklärt ist, heißt ein Maßraum. Man schreibt dafür kurz .



Definition:Wahrscheinlichkeitsraum

Ein Wahrscheinlichkeitsraum ist ein Maßraum mit .



Definition:Zählmaß

Auf einer Menge nennt man das auf durch

definierte Maß das Zählmaß auf .



Definition:Dirac-Maß

Es sei eine Menge und ein Punkt. Das auf durch

definierte Maß heißt das im Punkt konzentrierte Dirac-Maß auf .



Definition:Gittermaß

Es sei Die Menge

nennt man das Gitter zum Gitterpunktabstand . Das durch

für definierte Maß heißt das Gittermaß zum Gitterabstand .



Definition:Ausschöpfung

Es sei eine Menge und sei , , eine Folge von Teilmengen in mit für alle . Es sei . Dann sagt man, dass diese Folge eine Ausschöpfung von bildet (oder ausschöpft), und schreibt dafür .



Definition:Schrumpfung

Es sei eine Menge und sei , , eine Folge von Teilmengen in mit für alle . Es sei . Dann sagt man, dass diese Folge eine Schrumpfung von bildet (oder gegen schrumpft), und schreibt dafür .



Definition:Endliches Prämaß

Es sei eine Menge, ein Präring auf ,

ein Prämaß auf . Dann heißt endlich, wenn

für alle ist.



Definition:-endliches Prämaß

Es sei eine Menge, ein Präring auf ,

ein Prämaß auf . Dann heißt -endlich, wenn man als eine abzählbare Vereinigung von Teilmengen aus mit

schreiben kann.



Definition:Bildmaß

Es sei ein Maßraum, ein Messraum und

eine messbare Abbildung. Dann nennt man das durch

definierte Maß auf das Bildmaß von unter . Es wird mit bezeichnet.



Definition:Maßtreue Abbildung

Es seien und Maßräume. Eine messbare Abbildung

heißt maßtreu, wenn für jede messbare Menge die Beziehung

gilt.



Definition:Produktraum

Unter dem Produkt der topologischen Räume und versteht man die Produktmenge zusammen mit derjenigen Topologie (genannt Produkttopologie), bei der eine Teilmenge genau dann offen ist, wenn man sie als Vereinigung von Produktmengen der Form mit offenen Mengen und schreiben kann.



Definition:Äußeres Maß

Es sei eine Menge und ein Präring auf . Dann heißt eine Abbildung

ein äußeres Maß auf , wenn folgende Bedingungen erfüllt sind.

  1. Für je zwei Mengen  mit gilt .
  2. Für jede abzählbare Familie von paarweise disjunkten Teilmengen , , aus , für die ebenfalls zu gehört, gilt


Definition:Fortsetzung eines äußeren Maßes

Es sei eine Menge, ein Präring auf und

ein äußeres Maß auf . Für eine beliebige Teilmenge definiert man

und nennt dies die Fortsetzung des äußeren Maßes .



Definition:Zerlegungseigenschaft (äußeres Maß)

Es sei eine Menge, ein Präring auf ,

ein äußeres Maß auf und die Fortsetzung von auf die Potenzmenge . Man sagt, dass eine Teilmenge die Zerlegungseigenschaft besitzt, wenn für alle die Gleichheit gilt.



Definition:Produkt--Algebra

Es seien Mengen mit darauf erklärten - Algebren. Dann nennt man die von allen Quadern

auf erzeugte - Algebra die Produkt--Algebra der , . Sie wird mit bezeichnet.



Definition:Produkt-Präring

Es seien Mengen mit darauf erklärten Präringen. Dann nennt man den von allen Quadern

erzeugten Präring den Produkt-Präring der , .



Definition:Produkt-Maß

Es seien - endliche Maßräume. Dann nennt man das in Lemma 5.3 und Satz 5.4 konstruierte Maß das Produktmaß auf . Es wird mit bezeichnet.



Definition:Eindimensionales Borel-Lebesgue-Maß

Das eindeutig bestimmte Maß auf , das für jedes halboffene Intervall den Wert besitzt, heißt (eindimensionales) Borel-Lebesgue-Maß.



Definition:Das Borel-Lebesgue-Maß

Das eindeutig bestimmte Maß auf , das für jeden Quader der Form den Wert besitzt, heißt Borel-Lebesgue-Maß auf .



Definition:Translationsinvariantes Maß

Ein Maß auf heißt translationsinvariant, wenn für alle messbaren Teilmengen und alle Vektoren die Gleichheit

gilt.



Definition:Erzeugtes Parallelotop

Es sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum und seien linear unabhängige Vektoren gegeben. Dann nennt man

das von den erzeugte Parallelotop.



Definition:Messbare numerische Funktion

Es sei ein Messraum. Dann nennt man eine numerische Funktion

messbar, wenn sie -messbar ist.



Definition:Positiver Teil

Zu einer Funktion

nennt man den positiven Teil und den negativen Teil von .



Definition:Einfache Funktion

Es sei ein Messraum. Eine messbare numerische Funktion

heißt einfach, wenn sie nur endlich viele Werte besitzt.



Definition:Sigma-einfache Funktion

Es sei ein Messraum. Eine messbare numerische Funktion

heißt -einfach, wenn sie nur abzählbar viele Werte besitzt.



Definition:Subgraph

Es sei eine Menge und

eine nichtnegative Funktion. Dann nennt man die Menge

den Subgraphen der Funktion.



Definition:Lebesgue-Integral

Es sei ein - endlicher Maßraum und

eine messbare numerische nichtnegative Funktion. Dann heißt

das Integral von über (zum Maß ).



Definition:Integrierbare Funktion

Es sei ein - endlicher Maßraum und

eine messbare numerische Funktion. Dann heißt integrierbar, wenn die beiden Integrale und endlich sind. In diesem Fall nennt man

das Integral von .



Definition:Limes superior

Es sei eine Folge reeller Zahlen und es sei die Menge der Häufungspunkte dieser Folge. Dann setzt man

und

und nennt diese Zahlen den Limes inferior bzw. den Limes superior der Folge. (Wenn es keinen Häufungspunkt gibt, so ist dies als bzw. als zu interpretieren).



Definition:Rotationsmenge

Zu einer Teilmenge nennt man

die zugehörige Rotationsmenge (um die -Achse).



Definition:Kegel über einer Basis

Es sei und ein Punkt. Dann nennt man die Menge

den Kegel zur Basis mit der Spitze .



Definition:Maß zu einer Dichte

Es sei ein Maßraum und es sei

eine nichtnegative messbare Funktion. Dann nennt man das für jede messbare Teilmenge durch

definierte Maß auf das Maß zur Dichte . Es wird mit bezeichnet.



Definition:Halbmetrik

Es sei eine Menge. Eine Abbildung heißt Halbmetrik, wenn für alle die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

  1. Für ist .
  2. (Symmetrie), und
  3. (Dreiecksungleichung).


Definition:Offene Menge in einem Raum mit einer Halbmetrik

Es sei eine Menge mit einer Halbmetrik . Eine Teilmenge heißt offen, wenn für jedes ein mit

existiert.



Definition:Halbnorm

Es sei ein - Vektorraum. Eine Abbildung

heißt Halbnorm, wenn die folgenden Eigenschaften für alle gelten.

  1. Es ist für alle .
  2. Es ist .
  3. Für und gilt
  4. Für gilt


Definition:Halbmetrik in Vektorraum mit Halbnorm

Auf einem - Vektorraum mit einer Halbnorm definiert man die zugehörige Halbmetrik durch



Definition:Topologischer Vektorraum

Ein - Vektorraum heißt topologischer Vektorraum, wenn auf ihm eine Topologie derart festgelegt ist, dass sowohl die Addition

als auch die Skalarmultiplikation

stetig sind.



Definition:Separabler Raum

Ein normierter - Vektorraum heißt separabel, wenn seine Topologie eine abzählbare Basis besitzt.



Definition:Banachraum

Ein normierter - Vektorraum, der mit der zugehörigen Metrik ein vollständiger metrischer Raum ist, heißt Banachraum.



Definition:p-integrierbare Funktion

Es sei eine reelle Zahl und ein Maßraum. Eine messbare Funktion

heißt -integrierbar, wenn endlich ist.



Definition:p-Halbnorm

Es sei eine reelle Zahl und ein Maßraum. Zu einer - integrierbaren Funktion nennt man

die -Norm von .



Definition: -Raum

Zu einem Maßraum und einer reellen Zahl definiert man die -Räume durch



Definition:Kompakt (Überdeckungskompakt)

Ein topologischer Raum heißt kompakt (oder überdeckungskompakt), wenn es zu jeder offenen Überdeckung

eine endliche Teilmenge derart gibt, dass

ist.



Definition:Total beschränkt

Ein metrischer Raum heißt total beschränkt, wenn es zu jedem endlich viele Punkte derart gibt, dass

gilt.



Definition:Gleichgradig stetig

Es sei ein topologischer Raum, ein metrischer Raum und sei eine Menge von Abbildungen von nach . Man nennt gleichgradig stetig in einem Punkt , wenn es zu jedem eine offene Umgebung derart gibt, dass für alle und alle gilt

Man nennt gleichgradig stetig, wenn gleichgradig stetig in jedem Punkt ist.



Definition:Trennende Funktionenmenge

Es sei eine Menge und sei eine Menge von auf definierten -wertigen Funktionen. Man sagt, dass die Punkte von trennt, wenn es zu je zwei Punkten eine Funktion mit gibt.



Definition:Hilbertraum

Ein - Vektorraum mit Skalarprodukt, der mit der zugehörigen Metrik ein vollständiger metrischer Raum ist, heißt Hilbertraum.



Definition:Konvexe Teilmenge

Eine Teilmenge in einem reellen Vektorraum heißt konvex, wenn mit je zwei Punkten auch jeder Punkt der Verbindungsstrecke, also jeder Punkt der Form

ebenfalls zu gehört.



Definition:Orthogonale Projektion

Es sei ein - Vektorraum mit Skalarprodukt und sei ein vollständiger Untervektorraum. Die Abbildung , die jedem Element das aus der nach Korollar 21.8 eindeutigen Zerlegung mit und zuordnet, heißt orthogonale Projektion auf .



Definition:Orthonormalsystem

Es sei ein - Vektorraum mit Skalarprodukt . Eine Familie von Vektoren , , von heißt Orthonormalsystem, wenn

gilt.



Definition:Hilbertbasis

Ein Orthonormalsystem , , in einem - Vektorraum mit Skalarprodukt heißt vollständig oder eine Hilbertbasis, wenn der von den erzeugte Untervektorraum dicht in ist.



Definition:Fourierentwicklung

Es sei ein - Hilbertraum und sei , , ein vollständiges Orthonormalsystem. Dann nennt man zu die Darstellung

die Fourierentwicklung von und die rechte Seite eine Fouriersumme. Die Koeffizienten heißen Fourierkoeffizienten.



Definition:Komplexer Fourierkoeffizient

Es sei und sei eine auf quadratintegrierbare - periodische Funktion. Dann nennt man (zu )

den -ten (komplexen) Fourierkoeffizienten.



Definition:Reeller Fourierkoeffizient

Es sei und sei eine auf quadratintegrierbare - periodische Funktion. Dann nennt man (zu bzw. für die -Koeffizienten)

und

die -ten (reellen) Fourierkoeffizienten.



Definition:Bernoulli-Polynom

Die Bernoulli-Polynome für sind Polynome vom Grad , die rekursiv definiert werden: ist das konstante Polynom mit dem Wert und Polynom ist durch die beiden Bedingungen festgelegt: ist eine Stammfunktion von und es ist



Definition:Legendre-Polynom

Unter dem -ten Legendre-Polynom versteht man das Polynom



Definition:Tschebyschow-Polynom

Unter dem -ten Tschebyschow-Polynom versteht man das Polynom



Definition:Fourier-Transformation

Zu einer integrierbaren Funktion nennt man die Funktion

die durch

definiert ist, die Fourier-Transformation von .



Definition:Fourier-Transformation

Zu einer integrierbaren Funktion nennt man die Funktion

die durch

definiert ist, die Fourier-Transformation von .