Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Maße als stetige lineare Funktionen

Einführung

In der Lernressource betrachtet man ein Maß als stetige lineare Funktion auf Funktionenräumen $V\subseteq {\mathcal {F}}(X,Y)$. Um von Stetigkeit sprechen zu können benötigt.

Lineare Abbildung auf Funktionenräumen

Sei $\mu :{\mathcal {F}}(X,Y)\to \mathbb {K}$ eine lineare Abbildung, dann muss ${\mathcal {F}}(X,Y)$ zunächst eine Vektorraumstruktur besitzen, damit die innere und äußere Verknüpfung im Argument der Funktion definiert werden kann.

• $f+g\in {\mathcal {F}}(X,Y)$ für $f,g\in {\mathcal {F}}(X,Y)$
• $\lambda \cdot f\in {\mathcal {F}}(X,Y)$ für $f\in {\mathcal {F}}(X,Y)$ und $\lambda \in \mathbb {K}$.

Maß als stetige Abbildung

Damit man Stetigkeit eines Maßes $\mu :{\mathcal {F}}(X,Y)\to \mathbb {K}$ untersuchen kann, benötigt man zusätzlich eine Topologie ${\mathcal {T}}_{\mathcal {F}}$ auf dem Funktionenraum und eine Topologie ${\mathcal {T}}_{\mathbb {K} }$ auf dem Körper $\mathbb {K}$. In der Regel wählt man die durch den Betrag $|\cdot |$ erzeugte euklidische Topologie auf $\mathbb {K} =\mathbb {R} ,\mathbb {C}$. Daher verlangt man zusätzlich, dass ${\mathcal {F}}(X,Y)$ ein topologisischer Vektorraum ist. Die innere und äußere Verknüpfung auf ${\mathcal {F}}(X,Y)$ sind damit stetige Verknüpfungen.

Topologisierungslemma

Nach dem Topologisierungslemma kann damit den Funktionenraum $V\subseteq {\mathcal {F}}(X,Y)$ mit einem System von Gaugefunktionalen $\|\cdot \|_{\mathcal {A}}:=\{\|\cdot \|_{\alpha }\ \colon \ \alpha \in {\mathcal {A}}\}$ topologisieren. Dabei sind die Gaugefunktionale Abbildung der Form: $\|\cdot \|_{\alpha }:V\to \mathbb {R} _{o}^{+}$

Beispiel - stetige Funktionen auf IR

Sei $X=Y=\mathbb {R}$ und $V:={\mathcal {C}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )\subseteq {\mathcal {F}}(X,Y)$ mit dem Gaugefunktionalsystem $\|\cdot \|_{\mathbb {N} }:=\{\|\cdot \|_{\alpha }\ \colon \ \alpha \in \mathbb {N} \}$ und

$\|f\|_{\alpha }:=\sup _{x\in [-\alpha ,+\alpha ]}|f(x)|$

Lineare Funktionen auf dem Funktionenraum

Man betrachtet nun zwei unterschiedliche lineare Funktionale auf dem Funktionenraum $V$:

• Maße als Riemannintegrale,
• Maße als Punktauswertungsfunktionale.

Maße als Riemannintergrale

Das klassische Riemannintegral ist eine lineare Funktion auf $V$ mit:

${\begin{array}{rrcl}\mu _{1}:&V&\rightarrow &\mathbb {R} \\&f&\mapsto &\mu _{1}(f)=\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\end{array}}$

Linearität des Riemannintegral

Wie aus der Analysis bekannt, ist das Riemannintegral linear:

• $\mu _{1}(f+g)=\mu _{1}(f)+\mu _{1}(g)$
• $\mu _{1}(\lambda \cdot f)=\lambda \cdot \mu _{1}(f)$

Stetigkeit des Riemannintegrals

Die Abbildung $\mu _{1}$ ist stetig, denn für jedes Gaugefunktional im Wertebereich muss man eine Konstante und eine Gaugefunktional im Wertebereich finden, um die Ungleichung aus dem Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen nachzuweisen. Da es nur eine Gaugefunktional (den Betrag) als topologieerzeugendes Funktional gibt, muss man nur für den Betrag eine Konstante und eine Abschätzung nach oben zeigen.

Nachweis der Stetigkeit des Riemannintegrals

Wähle $\alpha \geq \max\{|a|,|b|\}$. Dann gilt folgende Abschätzung:

${\begin{array}{rcl}|\mu _{1}(f)|&=&\left|\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right|\leq \int _{a}^{b}|f(x)|\,dx\\&\leq &\int _{a}^{b}|f(x)|\,dx\leq \int _{-\alpha }^{+\alpha }|f(x)|\\&\leq &\int _{-\alpha }^{+\alpha }\displaystyle \underbrace {\sup _{x\in [-\alpha ,+\alpha ]}|f(x)|} _{=\|f\|_{\alpha }}=2\alpha \cdot \|f\|_{\alpha }\end{array}}$

Maße als Punktauswertungsfunktionale

Punktauswertungsfunktionale "messen" eine Funktion an einer bestimmten Stelle im Definitionsbereich $x_{o}\in X$. Punktauswertungsfunktionale für ein $x_{o}\in X$ sind lineare Funktionen auf $V$ mit:

${\begin{array}{rrcl}\mu _{2}:&V&\rightarrow &\mathbb {R} \\&f&\mapsto &\mu _{2}(f)=f(x_{o})\end{array}}$

Linearität der Punktauswertungsfunktionale

Für die Punktauswertungsfunktionale liefern die argumentweise definierten Verknüpfungen auf dem Funktionenraum die Linearität

• $\mu _{2}(f+g)=(f+g)(x_{o})=f(x_{o})+g(x_{o})=\mu _{2}(f)+\mu _{2}(g)$
• $\mu _{1}(\lambda \cdot f)=(\lambda \cdot f)(x_{o})=\lambda \cdot f(x_{o})=\lambda \cdot \mu _{1}(f)$

Nachweis der Stetigkeit des Punktauswertungsfunktionale

Wähle $\alpha \geq |x_{o}|$. Dann gilt folgende Abschätzung:

${\begin{array}{rcl}|\mu _{2}(f)|&=&|f(x_{o})|\\&\leq &\displaystyle \sup _{x\in [-\alpha ,+\alpha ]}|f(x)|=\|f\|_{\alpha }\end{array}}$

Topologie auf dem Definitions- und Wertebereich

Wenn man eine Teilmenge der stetigen Funktionen $V:={\mathcal {C}}(X,Y)\subseteq {\mathcal {F}}(X,Y)$ von dem topologischen Vektorraum ${\mathcal {F}}(X,Y)$ betrachtet möchte benötigt man auch auf $(X,\tau _{X})$ und $(Y,\tau _{Y})$ eine Topologie. Diese ist unabhängig von der Topologie $\tau _{V}$ auf dem Funktionenraum $(V,\tau _{V})$ selbst, der zusätzlich ein topologisischer Vektorraum sein muss.

Multiplikation auf dem Funktionenraum

Ist auf dem Funktionenraum $V\subseteq {\mathcal {F}}(X,Y)$ zusätzliche ein Multiplikation definiert $(V,\ast )$ (z.B. die Faltung von Funktionen), so verlangt man, dass diese Multiplikation bzgl. der Topologie $\tau _{V}$ eine stetige innere Verknüpfung auf $V$ ist.

Topologische Gruppe

Den Defintionbereich $(X,\tau _{X})$ wird im weiteren Verlauf durch eine topologische Gruppe $(G,\tau _{G})$ ersetzt, wobei die Inversenbildung und die innere Verknüpfung auf $G$ stetige Abbildungen sind.

Stetigkeit von linearen Abbildung

In normierten Räumen liefert der Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen eine Kriterium, die Stetigkeit über Normabschätzungen bzw. durch Abschätzungen mit Gaugefunktionalen zu überprüfen. Maßen sind im Folgenden stetige lineare Abbildungen auf topologisierten Funktionenräumen.

Vektorraumstruktur auf Y

Wenn der Wertebereich $Y$ des Funktionenraumes $V\subseteq {\mathcal {F}}(X,Y)$ selbst ein $\mathbb {K}$-Vektorraum ist, kann man die Vektorraumstruktur von $Y$ auf $V$ bzw. ${\mathcal {F}}(X,Y)$ wie folgt übertragen:

• $f\oplus g=h_{1}$ mit $h_{1}(x):=f(x)+g(x)$.
• $\lambda \odot f=h_{2}$ mit $h_{2}(x):=\lambda \cdot f(x)$.

Bemerkung - Notation

In der Regel wird "$+$" als Notation für beide Additionen verwendet. Im obigen Beispiel wird dabei mit $(Y,+)$ die gegebene Addition auf $Y$ bezeichnet und mit $({\mathcal {F}}(X,Y),\oplus )$ ist die zu definierende innere Verknüpfung auf ${\mathcal {F}}(X,Y)$ gemeint. Analog bezeichnet $\odot$ die zu definierende äußere Verknüpfung auf ${\mathcal {F}}(X,Y)$.

Definition - Maß auf topologischen Räumen

Sei $(X,\tau _{X})$ ein topologischer Raum und $(Y,\tau _{Y})$ ein topologisischer Vektorraum über $\mathbb {K} =\mathbb {R} ,\mathbb {C}$ und der Funktionenraum $V\subseteq {\mathcal {F}}(X,Y)$ zusammen mit einer Topologie $\tau _{V}$ ebenfalls ein topologisischer Vektorraum über der Körper $\mathbb {K}$. Ein stetiges lineares Funktional $\mu :V\to \mathbb {K}$ auf dem Funktionenraum $V$ heißt Maß auf ${\mathcal {F}}(X,Y)$.

Linerarität

Das Maß $\mu :V\to \mathbb {K}$ ist linear, wenn gilt:

• (Homogenität) $\mu (\lambda \cdot f)=\lambda \cdot \mu (f)$ für alle $\lambda \in \mathbb {K}$ und $f\in V$
• (Additivität) $\mu (f+g)=\mu (f)+\mu (g)$ für alle $f,g\in V$

Notation

Die Integralnotation, die aus der Analysis und Wahrscheinlichkeitstheorie bekannt ist, wird verwendet, wenn der Wertebereich des Funktionenraumes $(Y,\tau _{Y})$ der Körper $\mathbb {K}$ ist und mit dem Betrag $|\cdot |$ zu einem topologischen Raum wird.

$\mu (f)=\int _{X}f(x)\,d\mu (x)$

Integrable Funktion

Ein Funktion $f:X\to Y$ heißt $\mu$-integrabel (bzw. integrabel), wenn $f\in V$ gilt.

Aufgabe - Vervollständigung eines Grundraumes

Sei $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchy-Folge von stetigen Funktionen auf $V:={\mathcal {C}}([a,b],\mathbb {R} )$, die gegen eine Grenzfunktion $f_{o}:[a,b]\to \mathbb {R}$ (z.B. eine Treppenfunktion konvergiert. Wie kann man das Maß der Grenzfunktion definieren?

Gegenbeispiel

Ist $I_{\mathbb {Q} }$ die Indikatorfunktion der rationalen Funktion in $[a,b]\subset \mathbb {R}$ mit $I_{\mathbb {Q} }(x)=1$ für $x\in \mathbb {Q}$ und $I_{\mathbb {Q} }(x)=0$ für $x\notin \mathbb {Q}$ und ist $\mu$ das Riemannintegral als lineare Funktion auf dem Funktionenraum, so ist $I_{\mathbb {Q} }:[a,b]\to \mathbb {R}$ nicht $\mu$-integrabel.

Maß von Mengen

Ist der Wertebereich des Funktionenraumes $(Y,\tau _{Y})$ der Körper $\mathbb {K}$. In einem solchen Fall kann man auch das Maß von einer Menge $A\subseteq X$ über $\mu$ definieren, wenn die Indikatorfunktion $I_{A}$ mit $I_{A}(x)=1$ für $x\in A$ und $I_{A}(x)=0$ für $x\in X\setminus A$ eine integrable Funktion ist, d.h. $I_{A}\in V\subseteq {\mathcal {F}}(X,\mathbb {K} )$ ist.

Wahrscheinlichkeitsmaß von Mengen

Für ein Wahrscheinlichkeitsmaß $P:{\mathcal {S}}\to [0,1]$ müssen bezogen auf eine $\sigma$-Algebra ${\mathcal {S}}\subset \wp (X)$ noch weitere Eigenschaften für das Wahrscheinlichkeitsmaß gelten. Dabei ist das Wahrscheinlichkeitsmaß in Wahrscheinlichkeitstheorie nicht auf einem Funktionenraum definiert, sondern auf der $\sigma$-Algebra als Definitionsbereich (z.B. die Borelsche $\sigma$-Algebra ${\mathcal {B}}(X,\tau _{X})$, die als Erzeugendensystem die Topologie $\tau _{X}$ verwendet).

Zusammenhang - Wahrscheinlichkeitsmaß und Maß auf topologischen Räumen

Für ein Wahrscheinlichkeitsmaß $P:{\mathcal {S}}\to [0,1]$ und $A\in {\mathcal {S}}$ gibt $P(A)\in [0,1]$ die Wahrscheinlichkeit der Menge $A$ an. Man stellt nun $A\in {\mathcal {S}}$ als Indikatorfunktion $I_{A}:X\to [0,1]\subset \mathbb {K}$ dar und verwendet eine Wahrscheinlichkeitsdichte $p:X\to \mathbb {R} _{o}^{+}\subset \mathbb {K}$, kann man die Wahrscheinlickeit einer Menge als Maß auf einem Funktionenraum ausdrücken:

$P(A)=\mu (I_{A}\cdot p)=\int _{X}I_{A}(x)\cdot p(x)\,d\mu (x)=\int _{A}p(x)\,d\mu (x)$

Bemerkung - Notation dx

Beim Riemann-Integral kennt man die Notation $dx$ in

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx$

In der Analysis ist dabei aus dem Kontext klar, welches Integral als Maß gemeint ist. In Anlehnung an die Integralnotation aus der Analysis ergänzt man $\mu$ zu $d\mu x$, um in der Integralnotation das verwendete Maß als lineare stetige Funktion zu benennen.

Maße in der Wahrscheinlichkeittheorie

In der Wahrscheinlichkeitstheorie $\mu$ ein Maß auf dem Messraum $(X,{\mathcal {A}})$. Das Maß hat also als Definitionsbereich ein Mengensystem und mit dem Satz von Radon-Nikodým ist $f\colon X\to \mathbb {R}$ eine bezüglich $\mu$ integrierbare oder quasiintegrierbare messbare Funktion, so wird durch

$\nu (E)=\int _{E}f\,\mathrm {d} \mu$ für alle $E\in {\mathcal {A}}$,

ein signiertes Maß $\nu$ auf $(X,{\mathcal {A}})$ definiert.

Notation für das verwendete Maß

Die Notation $\mu$ in $\int _{E}f\,\mathrm {d} \mu$ bzw. :$\int _{E}f(x)\,\mathrm {d} \mu x$, welche dominierende Maß für die Dichtefunktion $f$ verwendet (z.B. Lebesgueintegral oder Riemann-Integral)

Maße auf Funktionenräumen

In der Maßtheorie auf topologischen Räumen operiert das Maß auf einem Funktionenraum und ordnet den Funktionen $f$ ein Wert zu (z.B. das Riemann-Integral über ein Intervall $[a,b]\subset \mathbb {R}$. Die integrablen Funktionen unterscheiden sich bzgl. des Riemann-Integral und des Lebesgueintegrals.

Beispiele für Maße auf Funktionenräumen

Sei $V:={\mathcal {C}}([a,b],\mathbb {R} )$ der Funktionenraum der stetigen Funktionen auf $[a,b]\subset \mathbb {R} )$. $(V,\|\cdot \|_{max})$ mit $\|f\|_{max}:=\max _{x\in [a,b]}|f(x)|$ ein normierter Raum. Wir betrachten nun mit $x_{o},x_{1},x_{2}\in [a,b]$ die Abbildung:

$\mu _{3}:V\to \mathbb {R} \qquad f\mapsto \mu _{3}(f)=f(x_{o})+f(x_{1})+3\cdot f(x_{2})$

Aufgabe 1

Zeigen Sie, dass die oben definierte Abbildung

$\mu _{3}:V\to \mathbb {R} \qquad f\mapsto \mu _{3}(f)=f(x_{o})+f(x_{1})+3\cdot f(x_{2})$

ein Maß auf einem Funktionenraum $(V,\|\cdot \|_{max})$ ist!

Aufgabe 2

Zeigen Sie, dass die oben definierte Abbildung

$\mu :V\to \mathbb {R} \qquad f\mapsto \mu _{4}(f)=f(x_{o})$

ein kein Maß auf einem Funktionenraum $(V,\|\cdot \|_{1})$ ist! Dabei sei $\|\cdot \|_{1}$ wie folgt definiert: $\|f\|_{1}:=\int _{a}^{b}|f(x)|\,dx$.

Hinweis zu Aufgabe 2

Die Abbildung $\mu :V\to \mathbb {R} \qquad f\mapsto \mu _{4}(f)=f(x_{o})$ ist zwar linear aber nicht mehr stetig wie in Aufgabe 1. Betrachten Sie dazu die folgende Animation einer Funktionenfolge $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ mit $\|f_{n}\|_{1}=\int _{a}^{b}|f_{n}(x)|\,dx=1$ für alle $n\in \mathbb {N}$.

Animation zu Aufgabe 2

Lineare Funktion, die nicht stetig bzgl. der Intergralnorm ist

In der Animation wurde $x_{o}:=2$ gewählt und wenden Sie den Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen auf normierten Räumen an!

Aufgabe 3 - Messen an unterschiedlichen Stellen

In der Praxis kennt man von einer Funktion $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ nicht notwendigerweise die Funktionsvorschrift und damit den gesamten Graphen. Durch Messungen an den Stellen $x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n}\in [a,b]$ kennt lediglich einzelne Funktionswerte. Übertragen auf Nachhaltigkeitsfragen gibt die Funktion $f_{t}$ zum Zeitpunkt $t\in T$ für $x\in [a,b]$ mit $f_{t}(x)$ die Mengen der emittierten Schadstoffe an. Nun wollen wir entscheiden bzgl. der Messstellen, ob sich die Gesamtemission von Schadstoffen von $t_{1}$ zu $t_{2}$ verbessert hat. Definieren Sie dazu ein Maß, dass z.B. den Vergleich $\mu (f_{t_{1}})\leq \mu (f_{t_{2}})$ erlaubt.

Aufgabe 4 - Messen auf Teilflächen des Grundraum

Wir betrachten nun Funktionen der Form

$f:[a_{1},b_{1}]\times [a_{2},b_{2}]\to \mathbb {R} .$

Auf Teilflächen des Rechtecks $[a_{1},b_{1}]\times [a_{2},b_{2}]$ (hier ebenfalls Rechtecke) wurde die Emission von Treibhaushgasen gemessen. Außerhalb dieser Messflächen ist die durch $f$ definiert Emission nicht bekannt. $f$ ist dabei die Dichtefunktion der Emission pro Flächeneinheit.

Aufgabe 4.1

Definieren Sie ein Maß, das für eine Teilfläche die mittlere Emissions pro Teilfläche angibt!

Aufgabe 4.2

Definieren Sie ein Maß, das auf Basis der Emissiondaten aus den Teilflächen, die hochgerechnet Emission für den gesamten Grundraum angibt.

Aufgabe 4.3

Können Sie auch ein Gütekriterium für ein Maß angeben, dass dabei hilft, die Güte der Vorhersage für die Gesamtemission abzuschätzen?

Aufgabe 4.4

Kann man für Aufgabe 4.3. auch ein Maß $\gamma$ definieren, das Indikatorfunktionen $I_{A}$ verwendet und die Güte über $\gamma (I_{A})$ angibt?

Aufgabe 4.5

Wie kann man die Funktionaldeterminante dazu verwenden, um bei Integration über eine Funktion $f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ das Integral über eine Kreisscheibe $B_{\epsilon }(x_{o}):=\left\{x\in \mathbb {R} ^{2}\ :\ \|x-x_{o}\|\leq \varepsilon \right\}$ berechnen kann?

Siehe auch

• Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen
• Faltung von Funktionen
• Normen, Metriken, Topologie
• Gaugefunktional
• Satz von Radon-Nikodým

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