Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil I/Arbeitsblatt 1
- Aufwärmaufgaben
Es seien und Mengen. Man beweise die folgenden Identitäten.
Skizziere die folgenden Teilmengen im .
- ,
- ,
- ,
- ,
- ,
- ,
- ,
- ,
- ,
- .
Welche geometrische Gestalt haben die Mengen, in deren Beschreibung nur eine (oder gar keine) Variable vorkommt?
Beschreibe für je zwei (einschließlich dem Fall, dass das Produkt mit sich selbst genommen wird) der folgenden geometrischen Mengen ihre Produktmenge.
- Eine Kreislinie .
- Ein Geradenstück .
- Eine Gerade .
- Eine Parabel .
Welche Produktmengen lassen sich als eine Teilmenge im Raum realisieren, welche nicht?
Eine Funktion
heißt streng wachsend, wenn für alle mit auch gilt. Zeige, dass eine streng wachsende Funktion injektiv ist.
Es sei eine Menge und zwei verschiedene Elemente. Definiere durch eine Fallunterscheidung eine Bijektion von nach , die und vertauscht, und sonst alle Elemente unverändert lässt.
(Eine solche Abbildung heißt Transposition).
Man gebe Beispiele für Abbildungen
derart, dass injektiv, aber nicht surjektiv ist, und dass surjektiv, aber nicht injektiv ist.
Es seien Mengen und
Abbildungen mit der Hintereinanderschaltung
Zeige: Wenn injektiv ist, so ist auch injektiv.
In der folgenden Aufgabe wird zu zwei Mengen
und
die Menge der Abbildungen von nach verwendet, also
Man mache sich diese Situation für und klar.
Der Pferdepfleger hat einen Korb voller Äpfel und geht auf die Weide, um die Äpfel an die Pferde zu verteilen. Danach geht jedes Pferd in seine Lieblingskuhle und macht dort einen großen Pferdeapfel. Modelliere den Vorgang mit geeigneten Mengen und Abbildungen. Man mache sich die Begriffe injektiv, surjektiv, Bild und Urbild an diesem Beispiel klar. Kann die Gesamtabbildung surjektiv sein, wenn es 10 Äpfel, 6 Pferde und 8 Kuhlen gibt?
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (5 Punkte)
Beweise die mengentheoretischen Fassungen einiger aristotelischer Syllogismen. Dabei bezeichnen Mengen.
- Modus Barbara: Aus und folgt .
- Modus Celarent: Aus und folgt .
- Modus Darii: Aus und folgt .
- Modus Ferio: Aus und folgt .
- Modus Baroco: Aus und folgt .
Aufgabe (4 Punkte)
Es seien und Mengen. Zeige, dass die folgenden Aussagen zueinander äquivalent sind.
- ,
- ,
- ,
- ,
- Es gibt eine Menge mit ,
- Es gibt eine Menge mit .
Aufgabe (2 Punkte)
Es seien Mengen und
Abbildungen mit der Hintereinanderschaltung
Zeige: Wenn surjektiv ist, so ist auch surjektiv.
Zeige durch ein Beispiel, dass die Umkehrung nicht gilt.
In der Beantwortung der folgenden Frage dürfen die reellen Zahlen und Grundtatsachen über stetige Funktionen naiv verwendet werden. Man mache sich aber schon jetzt Gedanken, welche Gesetzmäßigkeiten man verwendet. Man frage sich auch, wie die Antworten aussehen, wenn man durch die rationalen Zahlen ersetzt.
Aufgabe (3 Punkte)
Aufgabe (2 Punkte)
Betrachte auf der Menge die Abbildung
die durch die Wertetabelle
gegeben ist. Berechne , also die -te Hintereinanderschaltung (oder Iteration) von mit sich selbst.
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