Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil II/Arbeitsblatt 41/latex

\setcounter{section}{41}

\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v,w }
{ \in }{\R^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Bestimme die \definitionsverweis {Länge}{}{} der \definitionsverweis {affin-linearen}{}{} \definitionsverweis {Kurve}{}{} \maabbeledisp {} {[a,b]} {\R^n } {t} {tv+w } {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbdisp {f} {[a,b]} {\R^n } {} eine \definitionsverweis {Kurve}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c }
{ \in }{ [a,b] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass $f$ genau dann \definitionsverweis {rektifizierbar}{}{} ist, wenn die beiden Einschränkungen von $f$ auf
\mathl{[a,c]}{} und auf
\mathl{[c,b]}{} rektifizierbar sind, und dass in diesem Fall
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ L_a^b(f) }
{ =} { L_a^c(f) + L_c^b(f) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Länge}{}{} der \definitionsverweis {differenzierbaren Kurve}{}{} \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {x} {x^3-5x^2+3x-2 } {,} von $-5$ nach $5$.

}
{} {}

\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Helix2.png} }
\end{center}
\bildtext {} }

\bildlizenz { Helix2.png } {} {Siebrand} {nl Wikipedia} {CC-by-sa 3.0} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Länge}{}{} der durch \maabbeledisp {f} {\R} {\R^3 } {t} {(\cos t,\sin t,t) } {,} gegebenen
\betonung{Schraubenlinie}{} für $t$ zwischen \mathkor {} {0} {und} {b} {,} wobei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b }
{ \in }{ \R_{\geq 0} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten die Kurve \maabbeledisp {} {\R} {\R^2 } {t} {(t^2-1,t^3-t) } {.}

a) Zeige, dass die \definitionsverweis {Bildpunkte}{}{}
\mathl{(x,y)}{} der Kurve die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y^2 }
{ =} { x^2+x^3 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} erfüllen.

b) Zeige, dass jeder Punkt $(x,y) \in \R^2$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y^2 }
{ = }{ x^2+x^3 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} zum Bild der Kurve gehört.

c) Zeige, dass es genau zwei Punkte \mathkor {} {t_1} {und} {t_2} {} mit identischem Bildpunkt gibt, und dass ansonsten die Abbildung injektiv ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Länge}{}{} der \definitionsverweis {Neilschen Parabel}{}{} \maabbeledisp {} {\R} {\R^2 } {t} {(t^2,t^3) } {,} von \mathkor {} {0} {bis} {b} {,} wobei $b \in \mathbb{R}_{>0}$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Länge}{}{} des \definitionsverweis {Graphen}{}{} des \definitionsverweis {cosinus hyperbolicus}{}{}
\mathl{\cosh t}{} von \mathkor {} {a} {nach} {b} {.}

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{3}
{

Es sei
\mathl{[a,b]}{} ein \definitionsverweis {kompaktes Intervall}{}{} und \maabbdisp {f} {[a,b]} {\R^n } {} eine \definitionsverweis {Abbildung}{}{.} Zeige, dass $f$ genau dann \definitionsverweis {rektifizierbar}{}{} ist, wenn sämtliche \definitionsverweis {Komponentenfunktionen}{}{} rektifizierbar sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Länge}{}{} der \definitionsverweis {differenzierbaren Kurve}{}{} \maabbeledisp {f} {\R} {\R^3 } {t} { { \left( { \frac{ t^3 }{ 3 } }, { \frac{ 4t^5 }{ 5 } } , { \frac{ 8t^7 }{ 7 } } \right) } } {,} von \mathkor {} {a} {nach} {b} {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Länge}{}{} der Schleife der \definitionsverweis {differenzierbaren Kurve}{}{} \zusatzklammer {siehe Aufgabe 41.5} {} {} \maabbeledisp {f} {\R} {\R^2 } {t} {(t^2-1,t^3-t) } {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{5}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Länge}{}{} des \definitionsverweis {Graphen}{}{} der \definitionsverweis {Exponentialfunktion}{}{}
\mathl{\exp t}{} von \mathkor {} {a} {nach} {b} {.}

}
{} {}