- Aufwärmaufgaben
Bestimme die
Ableitung
der Kurve
-
in jedem Punkt
.
Skizziere die
Bilder
und die
Graphen
der folgenden
Kurven
im
.
,
,
,
,
.
Es sei
ein reelles Intervall und
ein
euklidischer Vektorraum.
Es seien
-
zwei in
differenzierbare Kurven
und es sei
-
eine in
differenzierbare Funktion.
Zeige, dass folgende Aussagen gelten.
- Die Summe
-
ist in
differenzierbar mit
-

- Das Produkt
-
ist differenzierbar in
mit
-

Insbesondere ist für
auch
differenzierbar in
mit
-

- Wenn
nullstellenfrei ist, so ist auch die Quotientenfunktion
-
in
differenzierbar mit
-

Die folgenden Aufgaben wiederholen wichige Eigenschaften von euklidischen Vektorräumen.
Man beweise das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren. Das besagt, dass man in einem
euklidischen Vektorraum
aus einer gegebenen Basis
eine
Orthonormalbasis
basteln kann derart, dass die erzeugten Unterräume
-

übereinstimmen für alle
.
Es seien
und
zwei
euklidische Vektorräume. Zeige, dass durch
-
ein
Skalarprodukt
auf dem
Produktraum
definiert wird.
Es sei
ein
metrischer Raum, sei
eine Teilmenge und sei
ein
Berührpunkt von
. Es sei
-
eine
Abbildung
in einen
euklidischen Vektorraum
mit den
Komponentenfunktionen
-
bezüglich einer Basis von
. Zeige, dass der
Limes
-
genau dann existiert, wenn sämtliche Limiten
-
existieren.
- Aufgaben zum Abgeben
Das
Bild
der durch
-
definierten Kurve heißt Neilsche Parabel. Zeige, dass ein Punkt
genau dann zu diesem Bild gehört, wenn er die Gleichung
erfüllt.
Wir betrachten die Abbildung
-
die einem Punkt
den eindeutigen Schnittpunkt
der durch die beiden Punkte
und
gegebenen Geraden
mit dem
Einheitskreis
-

zuordnet. Zeige, dass diese Abbildung wohldefiniert ist und bestimme die funktionalen Ausdrücke, die diese Abbildung beschreiben. Zeige, dass
differenzierbar
ist. Ist
injektiv,
ist
surjektiv?
Für welche Punkte
ist der Abstand der Bildpunkte der Kurve
-
zum Nullpunkt

maximal, für welche minimal?
Betrachte die
Kurve
-
a) Bestimme die
Ableitung von
in jedem Punkt
.
b) Bestimme die Komponentenfunktionen von
bezüglich der neuen Basis
-
von
.
c) Berechne die Ableitung in der neuen Basis direkt und mit Hilfe von
Lemma 40.8.
Es sei
ein Punkt und sei
.
Wir betrachten die Menge
-

Wir nennen zwei
Kurven
tangential äquivalent, wenn
-

ist.
a) Zeige, dass dies eine
Äquivalenzrelation
ist.
b) Finde den einfachsten Vertreter für die
Äquivalenzklassen.
c) Man gebe für jede Klasse einen weiteren Vertreter an.
d) Beschreibe die Menge der Äquivalenzklassen
(also die
Quotientenmenge).