Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil II/Arbeitsblatt 43

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Bestimme die Jacobi-Matrix der Abbildung

${\mathbb {K} }^{2}\longrightarrow {\mathbb {K} }^{2},\,(x,y)\longmapsto {\left(x^{3}y-x^{2},x^{4}y^{2}-3xy^{3}+5y\right)}.$

Aufgabe

Bestimme die Jacobi-Matrix der Abbildung

${\mathbb {K} }^{3}\longrightarrow {\mathbb {K} }^{2},\,(x,y,z)\longmapsto {\left(x^{2}yz^{3}-\sin x,\exp(x^{4}y)-2x^{2}z^{3}\cos(xy^{2}z)\right)}.$

Aufgabe

Bestimme die Jacobi-Matrix der Abbildung

${\left\{(x,y)\in {\mathbb {K} }^{2}\mid y\neq 0\right\}}\longrightarrow {\mathbb {K} },\,(x,y)\longmapsto {\frac {x}{y}}.$

Aufgabe

Bestimme sämtliche höheren Richtungsableitungen der Abbildung

${\mathbb {K} }^{2}\longrightarrow {\mathbb {K} },\,(x,y)\longmapsto x^{2}y^{3}-x^{3}y,$

die sich mit den beiden Standardrichtungen ${}(1,0)$ und ${}(0,1)$ ausdrücken lassen.

Aufgabe

Zeige, dass eine Polynomfunktion ${}f\colon {\mathbb {K} }^{n}\rightarrow {\mathbb {K} }$ beliebig oft stetig differenzierbar ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die Jacobi-Matrix der Abbildung

${\mathbb {K} }^{3}\longrightarrow {\mathbb {K} }^{3},\,(x,y,z)\longmapsto {\left(\sin xy,x^{2}y^{3}z^{4}-y\sinh z,xy^{2}z+5\right)}.$

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die Jacobi-Matrix der Abbildung

${\mathbb {K} }^{2}\longrightarrow {\mathbb {K} },\,(x,y)\longmapsto xy^{3}-x^{2}y^{2}-4y^{2}.$

Berechne die Richtungsableitung dieser Abbildung in einem Punkt ${}(x,y)$ in Richtung ${}(2,5)$. Bestätige, dass sich diese Richtungsableitung auch ergibt, wenn man die Jacobi-Matrix auf den Vektor ${}(2,5)$ anwendet.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

$f\colon {\mathbb {K} }^{n}\longrightarrow {\mathbb {K} }$

eine Polynomfunktion. Zeige, dass es ein ${}k\in \mathbb {N}$ derart gibt, dass sämtliche ${}k$-ten Richtungsableitungen ${}0$ sind.

Aufgabe (4 Punkte)

Es seien ${}V$ und ${}W$ endlichdimensionale, ${}{\mathbb {K} }$- Vektorräume ${}G\subseteq V$ offen und

$\varphi \colon G\longrightarrow W$

eine ${}n$-mal stetig differenzierbare Abbildung. Es sei ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Auswahl von ${}n$ Vektoren aus ${}V$. Zeige, dass dann für jede Permutation ${}\sigma \in S_{n}$ die Gleichheit

${}D_{v_{n}}(...D_{v_{2}}(D_{v_{1}}\varphi )\ldots )=D_{v_{\sigma (n)}}(...D_{v_{\sigma (2)}}(D_{v_{\sigma (1)}}\varphi )\ldots )\,$

gilt.