- Aufwärmaufgaben
Es sei
ein Intervall,
ein
reeller Vektorraum
und
-
eine
differenzierbare Kurve.
Zeige, dass zwischen dem
totalen Differential
und der
Kurven-Ableitung
die Beziehung
-

besteht.
Berechne für die Addition
-
und für die Multiplikation
-
das
totale Differential.
Bestimme das
totale Differential
für die Abbildung
-
Es seien
,
und
endlichdimensionale
-
Vektorräume.
- Es seien
und
-
lineare Abbildungen.
Zeige, dass die Abbildung
-
-linear ist.
- Es seien
und
im Punkt
differenzierbare Abbildungen.
Zeige, dass die Abbildung
-
im Punkt P differenzierbar ist mit dem totalen Differential
-

- Aufgaben zum Abgeben
Es seien
. Bestimme das
totale Differential
für die Abbildung
-
Zeige, dass eine
Polynomfunktion
-
in jedem Punkt
total differenzierbar
ist.
Es seien
und
zwei
komplexe Vektorräume,
eine
offene Teilmenge
und
-
eine in
(komplex-)differenzierbare
Abbildung.
a) Zeige, dass
auch reell-differenzierbar ist, wenn man
und
als
reelle Vektorräume
auffasst.
b) Beschreibe das reelle Differential der Abbildung
-
in einem beliebigen Punkt
bezüglich der reellen Basis
.
c) Man gebe ein Beispiel für eine Abbildung
-
die überall
reell-differenzierbar
ist, aber nirgendwo
komplex-differenzierbar.
Es seien
differenzierbare Funktionen
in einer Variablen. Bestimme das
totale Differential
der Abbildung
-
Es seien
und
zwei
endlichdimensionale
-
Vektorräume.
Betrachte die Evaluationsabbildung
-
Es sei daran erinnert, dass der Homomorphismenraum
ebenfalls ein endlichdimensionaler
-Vektorraum ist.
- Ist die Evaluationsabbildung linear?
- Bestimme die Richtungsableitung dieser Abbildung in einem Punkt
in Richtung
mittels der Definition von totaler Differenzierbarkeit.