Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil II/Arbeitsblatt 44

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}\varphi \colon V\rightarrow W$ konstant mit ${}\varphi (v)=w\in W$ für alle ${}v\in V$. Zeige, dass ${}\varphi$ differenzierbar ist mit totalem Differential ${}0$.

Aufgabe

Es seien ${}V$ und ${}W$ endlichdimensionale ${}{\mathbb {K} }$- Vektorräume und ${}G\subseteq V$ eine offene Teilmenge. Es sei ${}\varphi \colon G\rightarrow W$ im Punkt ${}P\in G$ differenzierbar mit dem Differential ${}\left(D\varphi \right)_{P}$. Zeige, dass für alle ${}a\in {\mathbb {K} }$ die Beziehung

${}\left(D(a\varphi )\right)_{P}=a\left(D\varphi \right)_{P}\,$

gilt.

Aufgabe

Leite aus der allgemeinen Kettenregel die Kettenregel für Funktionen in einer Variablen ab.

Aufgabe *

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein Intervall, ${}W$ ein reeller Vektorraum und

$\varphi \colon I\longrightarrow W$

eine differenzierbare Kurve. Zeige, dass zwischen dem totalen Differential und der Kurven-Ableitung die Beziehung

${}{\left(D\varphi \right)}_{P}{\left(1\right)}=\varphi '(P)\,$

besteht.

Aufgabe

Berechne für die Addition

$+\colon {\mathbb {K} }^{2}\longrightarrow {\mathbb {K} },\,(x,y)\longmapsto x+y,$

und für die Multiplikation

$\cdot \colon {\mathbb {K} }^{2}\longrightarrow {\mathbb {K} },\,(x,y)\longmapsto x\cdot y,$

das totale Differential.

Aufgabe

Bestimme das totale Differential für die Abbildung

${\mathbb {K} }^{2}\longrightarrow {\mathbb {K} },\,(x,y)\longmapsto x^{2}y^{3}.$

Aufgabe

Es seien ${}V$, ${}W_{1}$ und ${}W_{2}$ endlichdimensionale ${}{\mathbb {K} }$- Vektorräume.

1. Es seien ${}L_{1}\colon V\rightarrow W_{1}$ und ${}L_{2}\colon V\rightarrow W_{2}$ ${}{\mathbb {K} }$- lineare Abbildungen. Zeige, dass die Abbildung

   $L_{1}\times L_{2}\colon V\longrightarrow W_{1}\times W_{2},\,v\longmapsto (L_{1}(v),L_{2}(v)),$

   ${}{\mathbb {K} }$-linear ist.

2. Es seien ${}f_{1}\colon V\rightarrow W_{1}$ und ${}f_{2}\colon V\rightarrow W_{2}$ im Punkt ${}P\in V$ differenzierbare Abbildungen. Zeige, dass die Abbildung

   $f=(f_{1}\times f_{2})\colon V\longrightarrow W_{1}\times W_{2},\,Q\longmapsto (f_{1}(Q),f_{2}(Q)),$

   im Punkt P differenzierbar ist mit dem totalen Differential

   ${}\left(Df\right)_{P}=\left(Df_{1}\right)_{P}\times \left(Df_{2}\right)_{P}\,.$

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Es seien ${}a,b\in \mathbb {N}$. Bestimme das totale Differential für die Abbildung

${\mathbb {K} }^{2}\longrightarrow {\mathbb {K} },\,(x,y)\longmapsto x^{a}y^{b}.$

Aufgabe (5 Punkte)

Zeige, dass eine Polynomfunktion

$f\colon {\mathbb {K} }^{n}\longrightarrow {\mathbb {K} },\,(x_{1},\ldots ,x_{n})\longmapsto f(x_{1},\ldots ,x_{n}),$

in jedem Punkt total differenzierbar ist.

Aufgabe (6 Punkte)

Es seien ${}V$ und ${}W$ zwei komplexe Vektorräume, ${}G\subseteq V$ eine offene Teilmenge und

$\varphi \colon G\longrightarrow W$

eine in ${}P\in G$ (komplex-)differenzierbare Abbildung.

a) Zeige, dass ${}\varphi$ auch reell-differenzierbar ist, wenn man ${}V$ und ${}W$ als reelle Vektorräume auffasst.

b) Beschreibe das reelle Differential der Abbildung

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto z^{2},$

in einem beliebigen Punkt ${}P\in {\mathbb {C} }$ bezüglich der reellen Basis ${}1,i\in {\mathbb {C} }$.

c) Man gebe ein Beispiel für eine Abbildung

$\varphi \colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },$

die überall reell-differenzierbar ist, aber nirgendwo komplex-differenzierbar.

Aufgabe (4 Punkte)

Es seien ${}f_{1},\ldots ,f_{n}$ differenzierbare Funktionen in einer Variablen. Bestimme das totale Differential der Abbildung

${\mathbb {K} }^{n}\longrightarrow {\mathbb {K} }^{n},\,(x_{1},\ldots ,x_{n})\longmapsto (f_{1}(x_{1}),\ldots ,f_{n}(x_{n})).$

Aufgabe (5 Punkte)

Es seien ${}V$ und ${}W$ zwei endlichdimensionale ${}{\mathbb {K} }$- Vektorräume. Betrachte die Evaluationsabbildung

$\operatorname {Ev} \colon \operatorname {Hom} _{\mathbb {K} }(V,W)\times V\longrightarrow W,\,(L,v)\longmapsto L(v).$

Es sei daran erinnert, dass der Homomorphismenraum ${}\operatorname {Hom} _{\mathbb {K} }(V,W)$ ebenfalls ein endlichdimensionaler ${}{\mathbb {K} }$-Vektorraum ist.

1. Ist die Evaluationsabbildung linear?
2. Bestimme die Richtungsableitung dieser Abbildung in einem Punkt ${}(L,v)$ in Richtung ${}(M,u)$ mittels der Definition von totaler Differenzierbarkeit.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum und ${}G\subseteq V$ eine offene Teilmenge. Weiter seien ${}f,g\colon G\rightarrow {\mathbb {K} }$ zwei in ${}P\in G$ differenzierbare Funktionen. Wende die Kettenregel und Aufgabe 44.5 auf das Diagramm

$G{\stackrel {f,g}{\longrightarrow }}{\mathbb {K} }\times {\mathbb {K} }{\stackrel {\operatorname {mult} }{\longrightarrow }}{\mathbb {K} }$

an, um zu zeigen, dass die Gleichung

$\left(D(f\cdot g)\right)_{P}=g(P)\cdot \left(Df\right)_{P}+f(P)\cdot \left(Dg\right)_{P}$

gilt.