Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil II/Arbeitsblatt 45

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

a) Berechne das totale Differential der Abbildung

$\varphi \colon {\mathbb {K} }^{2}\longrightarrow {\mathbb {K} }^{2},\,(x,y)\longmapsto \left(xy-2y^{3}+5,\,x^{3}-xy^{2}+y\right),$

in jedem Punkt.

b) Was ist das totale Differential im Punkt ${}(1,2)$?

c) Berechne die Richtungsableitung in diesem Punkt in Richtung ${}(4,-3)$.

d) Berechne den Wert von ${}\varphi$ in diesem Punkt.

Aufgabe

a) Berechne das totale Differential der Abbildung

$\varphi \colon {\mathbb {K} }^{3}\longrightarrow {\mathbb {K} }^{2},\,(x,y,z)\longmapsto (xy-zy+2z^{2},\sin(x^{2}yz)),$

in jedem Punkt.

b) Was ist das totale Differential im Punkt ${}(1,-1,\pi )$?

c) Berechne die Richtungsableitung in diesem Punkt in Richtung ${}(2,0,5)$.

d) Berechne den Wert von ${}\varphi$ in diesem Punkt.

Aufgabe

Bestimme das totale Differential der Determinante

$\det \colon \operatorname {Mat} _{n\times n}({\mathbb {K} })\longrightarrow {\mathbb {K} },\,M\longmapsto \det M,$

für ${}n=2,3$ an der Einheitsmatrix.

Aufgabe

Zeige, dass ein Skalarprodukt eine nicht-ausgeartete Bilinearform ist.

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum mit einem Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$, ${}U\subseteq V$ offen und

$f\colon V\longrightarrow \mathbb {R}$

eine differenzierbare Funktion. Es sei

$\gamma \colon I\longrightarrow U$

eine differenzierbare Kurve, die ganz in einer Niveaumenge von ${}f$ verläuft. Zeige, dass

${}\left\langle \operatorname {grad} \,f(P),\gamma '(t)\right\rangle =0\,$

ist für ${}P=\gamma (t)$ und alle ${}t\in I$.

Aufgabe

Es seien ${}L$ und ${}M$ metrische Räume und es sei

$\varphi \colon L\longrightarrow M$

eine stetige Abbildung. Es sei

${}\varphi (P)=Q\,$

und es sei

$f\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion, die im Punkt ${}Q\in M$ ein lokales Extremum besitze. Zeige, dass

$f\circ \varphi$

in ${}P$ ein lokales Extremum besitzt.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

a) Berechne das totale Differential der Abbildung

$\varphi \colon {\mathbb {K} }^{2}\longrightarrow {\mathbb {K} }^{3},\,(x,y)\longmapsto (x+y^{2},xy,\exp x),$

in jedem Punkt.

b) Was ist das totale Differential im Punkt ${}(3,2)$?

c) Berechne die Richtungsableitung in diesem Punkt in Richtung ${}(-1,-7)$.

d) Berechne den Wert von ${}\varphi$ in diesem Punkt.

Aufgabe (5 Punkte)

Untersuche die Abbildung

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto f(x,y)={\begin{cases}{\frac {xy}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}{\text{ bei }}(x,y)\neq (0,0)\,,\\0{\text{ bei }}(x,y)=(0,0)\,,\end{cases}}$

auf partielle Ableitungen und totale Differenzierbarkeit.

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass keine partiell differenzierbare Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R}$

existiert, sodass

${\frac {\partial f}{\partial x}}(x,y)=xy\,\,{\text{ und }}\,\,{\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)=y^{2}$

für alle ${}(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}$ gilt.

Aufgabe (5 Punkte)

Wir wollen die Kettenregel anhand der beiden Abbildungen

$\varphi \colon {\mathbb {K} }^{2}\longrightarrow {\mathbb {K} }^{3},\,(u,v)\longmapsto (uv,u-v,v^{2}),$

und

$\psi \colon {\mathbb {K} }^{3}\longrightarrow {\mathbb {K} }^{2},\,(x,y,z)\longmapsto (xyz^{2},y\exp(xz)),$

und ihrer Komposition ${}\psi \circ \varphi$ veranschaulichen.

1. Berechne für einen beliebigen Punkt ${}P\in {\mathbb {K} }^{2}$ das totale Differential ${}\left(D\varphi \right)_{P}$ mit Hilfe von partiellen Ableitungen.
2. Berechne für einen beliebigen Punkt ${}Q\in {\mathbb {K} }^{3}$ das totale Differential ${}\left(D\psi \right)_{Q}$ mit Hilfe von partiellen Ableitungen.
3. Berechne explizit die Komposition ${}\psi \circ \varphi \colon {\mathbb {K} }^{2}\rightarrow {\mathbb {K} }^{2}$.
4. Berechne direkt mit partiellen Ableitungen in einem Punkt ${}P\in {\mathbb {K} }^{2}$ das totale Differential von ${}\psi \circ \varphi \colon {\mathbb {K} }^{2}\rightarrow {\mathbb {K} }^{2}$.
5. Berechne das totale Differential von ${}\psi \circ \varphi \colon {\mathbb {K} }^{2}\rightarrow {\mathbb {K} }^{2}$ in einem Punkt ${}P\in {\mathbb {K} }^{2}$ mit Hilfe der Kettenregel und den Teilen (1) und (2).

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion. Zeige, dass die Funktion

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto xf(y),$

genau dann im Punkt ${}(0,0)$ total differenzierbar ist, wenn ${}f$ in ${}0$ stetig ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

$f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

differenzierbar im Nullpunkt und sei ${}{(h_{m})}_{m\in \mathbb {N} }$ eine Folge in ${}\mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\}$ mit

$\lim _{m\to \infty }h_{m}=0,\lim _{m\to \infty }{\frac {h_{m}}{\Vert {h_{m}}\Vert }}=v\in \mathbb {R} ^{n},f(h_{m})=f(h_{k}){\text{ für alle }}m,k\in \mathbb {N} .$

Zeige, dass ${}v$ ein Eigenvektor von ${}\left(Df\right)_{0}$ zum Eigenwert ${}0$ ist.

Aufgabe (10 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine differenzierbare Kurve

$\varphi \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

und eine stetige Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ,$

für die die Richtungsableitung in jede Richtung existiert, derart, dass die Verknüpfung

$f\circ \varphi \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

nicht differenzierbar ist.