Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil II/Arbeitsblatt 46

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum von endlicher Dimension. Zeige, dass der Dualraum ${}{V}^{*}$ die gleiche Dimension wie ${}V$ besitzt.

Aufgabe

Berechne den Gradienten der Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y,z)\longmapsto x^{2}y-z^{3}xe^{xyz},$

in jedem Punkt ${}P\in \mathbb {R} ^{3}$.

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum. Zeige, dass eine von ${}0$ verschiedene lineare Abbildung

$f\colon V\longrightarrow \mathbb {R}$

keine lokalen Extrema besitzt. Gilt dies auch für unendlichdimensionale Vektorräume? Braucht man dazu Differentialrechnung?

Aufgabe

Es sei ${}(V,\left\langle -,-\right\rangle )$ ein euklidischer Vektorraum, ${}G\subseteq V$ eine offene Menge, ${}P\in G$ ein Punkt und

$f\colon G\longrightarrow \mathbb {R}$

eine in ${}P$ differenzierbare Funktion. Zeige, dass ${}f$ und ${}\left(Df\right)_{P}$ im Punkt ${}P$ den gleichen Gradienten besitzen.

Aufgabe

Es sei ${}(V,\left\langle -,-\right\rangle )$ ein euklidischer Vektorraum, ${}G\subseteq V$ eine offene Menge, ${}P\in G$ ein Punkt und

$f\colon G\longrightarrow \mathbb {R}$

eine in ${}P$ differenzierbare Funktion. Zeige, dass ein Vektor ${}v\in V$ genau dann zum Kern von ${}\left(Df\right)_{P}$ gehört, wenn er orthogonal zum Gradienten ${}\operatorname {Grad} \,f(P)$ ist.

Aufgabe

Bestimme die kritischen Punkte der Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}+y^{2}.$

Aufgabe *

Bestimme die kritischen Punkte der Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto xy^{2}-x.$

Aufgabe

Bestimme die kritischen Punkte der Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}y-y^{2}+x.$

Aufgabe

Betrachte die Linearform

$L\colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y,z)\longmapsto x+3y-4z.$

1. Bestimme den Vektor ${}u\in \mathbb {R} ^{3}$ mit der Eigenschaft

   $\left\langle u,v\right\rangle =L(v){\text{ für alle }}v\in \mathbb {R} ^{3},$

   wobei ${}\left\langle -,-\right\rangle$ das Standardskalarprodukt bezeichnet.

2. Es sei

   $E={\left\{(x,y,z)\mid 3x-2y-5z=0\right\}}\subset \mathbb {R} ^{3}$

   und es sei ${}\varphi =L{|}_{E}$ die Einschränkung von ${}L$ auf ${}E$. Bestimme den Vektor ${}w\in E$ mit der Eigenschaft

   $\left\langle w,v\right\rangle =\varphi (v){\text{ für alle }}v\in E,$

   wobei ${}\left\langle -,-\right\rangle$ die Einschränkung des Standardskalarprodukts auf ${}E$ bezeichnet.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum und ${}\left\langle -,-\right\rangle$ eine Bilinearform auf ${}V$. Zeige, dass ${}\left\langle -,-\right\rangle$ genau dann symmetrisch ist, wenn es eine Basis ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ von ${}V$ mit

${}\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle =\left\langle v_{j},v_{i}\right\rangle \,$

für alle ${}1\leq i,j\leq n$ gibt.

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum mit einer symmetrischen Bilinearform ${}\left\langle -,-\right\rangle$ auf ${}V$. Es sei ${}u_{1},\ldots ,u_{n}$ eine Orthogonalbasis auf ${}V$ mit der Eigenschaft ${}\left\langle u_{i},u_{i}\right\rangle >0$ für alle ${}i=1,\ldots ,n$. Zeige, dass ${}\left\langle -,-\right\rangle$ positiv definit ist.

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum und ${}\left\langle -,-\right\rangle$ eine symmetrische Bilinearform auf ${}V$. Zeige, dass die Gramsche Matrix zu dieser Bilinearform bezüglich einer geeigneten Basis eine Diagonalmatrix ist, deren Diagonaleinträge ${}1,-1$ oder ${}0$ sind.

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, ${}G\subseteq V$ eine offene Menge und

$f\colon G\longrightarrow \mathbb {R}$

eine zweimal stetig differenzierbare Funktion. Zeige, dass die Hesse-Form von ${}f$ in jedem Punkt ${}P\in G$ symmetrisch ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}V$ ein reeller Vektorraum mit einem Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$. Zeige, dass in der Abschätzung

${}\vert {\left\langle v,w\right\rangle }\vert \leq \Vert {v}\Vert \cdot \Vert {w}\Vert \,$

von Cauchy-Schwarz genau dann die Gleichheit gilt, wenn ${}v$ und ${}w$ linear abhängig sind.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die kritischen Punkte der Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto xy^{3}-xy+\sin y.$

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die globalen Extrema für die Funktion

$f\colon D\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}+y^{2}+xy,$

wobei ${}D\subset \mathbb {R} ^{2}$ das durch die Eckpunkte ${}(0,0),\,(1,0)$ und ${}(0,1)$ gegebene abgeschlossene (volle) Dreieck ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Berechne den Anstieg der Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}y-x+y^{3},$

im Punkt ${}P=(1,1)$ in Richtung des Winkels ${}\alpha \in [0,2\pi ]$. Für welchen Winkel ist der Anstieg maximal?

Aufgabe (5 Punkte)

Betrachte die Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y,z)\longmapsto x+\sin \left(y\right)-xz.$

1. Bestimme den Gradienten ${}G$ von ${}f$ im Punkt ${}P=(0,0,0)\in \mathbb {R} ^{3}$ bezüglich des Standardskalarprodukts ${}\left\langle -,-\right\rangle$.
2. Es sei

   ${}E={\left\{(x,y,z)\mid 2x-y+3z=0\right\}}\subseteq \mathbb {R} ^{3}\,$

   und es sei ${}g=f{|}_{E}$ die Einschränkung von ${}f$ auf ${}E$. Bestimme den Gradienten ${}{\tilde {G}}$ von ${}g$ bezüglich der Einschränkung des Standardskalarprodukts auf ${}E$.

3. Zeige, dass ${}{\tilde {G}}$ die orthogonale Projektion von ${}G$ auf ${}E$ ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für einen endlichdimensionalen reellen Vektorraum ${}V$ mit einer symmetrischen Bilinearform ${}\left\langle -,-\right\rangle$ auf ${}V$ und einer Basis ${}u_{1},\ldots ,u_{n}$ von ${}V$ derart, dass ${}\left\langle u_{i},u_{i}\right\rangle >0$ für alle ${}i=1,\ldots ,n$ ist, aber ${}\left\langle -,-\right\rangle$ nicht positiv definit ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die Gramsche Matrix des Standardskalarproduktes im ${}\mathbb {R} ^{3}$ bezüglich der Basis ${}{\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}2\\4\\5\end{pmatrix}}$ und ${}{\begin{pmatrix}0\\1\\5\end{pmatrix}}$.