Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil II/Arbeitsblatt 43/latex

\setcounter{section}{43}

\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Jacobi-Matrix}{}{} der \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbeledisp {} { {\mathbb K}^2 } {{\mathbb K}^2 } {(x,y)} {{ \left( x^3y-x^2,x^4y^2-3xy^3+5y \right) } } {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Jacobi-Matrix}{}{} der \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbeledisp {} {{\mathbb K}^3 } {{\mathbb K}^2 } {(x,y,z)} { { \left( x^2yz^3- \sin x , \exp (x^4y) -2x^2z^3 \cos (xy^2z) \right) } } {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Jacobi-Matrix}{}{} der \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbeledisp {} { { \left\{ (x,y) \in {\mathbb K}^2 \mid y \neq 0 \right\} } } {{\mathbb K} } {(x,y)} { { \frac{ x }{ y } } } {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme sämtliche \definitionsverweis {höheren Richtungsableitungen}{}{} der Abbildung \maabbeledisp {} {{\mathbb K}^2} {{\mathbb K} } {(x,y)} {x^2y^3-x^3y } {,} die sich mit den beiden Standardrichtungen
\mathl{(1,0)}{} und
\mathl{(0,1)}{} ausdrücken lassen.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass eine \definitionsverweis {Polynomfunktion}{}{} \maabb {f} { {\mathbb K}^n } { {\mathbb K} } {} beliebig oft \definitionsverweis {stetig differenzierbar}{}{} ist.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Jacobi-Matrix}{}{} der \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbeledisp {} { {\mathbb K}^3 } {{\mathbb K}^3 } {(x,y,z)} { { \left( \sin xy ,x^2y^3z^4-y \sinh z, xy^2z+5 \right) } } {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Jacobi-Matrix}{}{} der \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbeledisp {} {{\mathbb K}^2 } { {\mathbb K} } {(x,y)} {xy^3-x^2y^2-4y^2 } {.}

Berechne die \definitionsverweis {Richtungsableitung}{}{} dieser Abbildung in einem Punkt
\mathl{(x,y)}{} in Richtung
\mathl{(2,5)}{.} Bestätige, dass sich diese Richtungsableitung auch ergibt, wenn man die Jacobi-Matrix auf den Vektor
\mathl{(2,5)}{} anwendet.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbdisp {f} { {\mathbb K}^n } { {\mathbb K} } {} eine \definitionsverweis {Polynomfunktion}{}{.} Zeige, dass es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k }
{ \in }{\N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} derart gibt, dass sämtliche $k$-ten \definitionsverweis {Richtungsableitungen}{}{} $0$ sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien \mathkor {} {V} {und} {W} {} \definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{,} ${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
\mathl{G \subseteq V}{} \definitionsverweis {offen}{}{} und \maabbdisp {\varphi} {G} {W } {} eine $n$-mal \definitionsverweis {stetig differenzierbare}{}{} \definitionsverweis {Abbildung}{}{.} Es sei
\mathl{v_1 , \ldots , v_{n}}{} eine Auswahl von $n$ Vektoren aus $V$. Zeige, dass dann für jede \definitionsverweis {Permutation}{}{}
\mathl{\sigma \in S_n}{} die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ D_{ v_n}(... D_{ v_2} (D_{ v_1}\varphi ) \ldots ) }
{ =} { D_{ v_{\sigma(n)} }(... D_{ v_{\sigma(2)} } (D_{ v_{\sigma(1)} }\varphi ) \ldots ) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}