Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil II/Arbeitsblatt 53/latex

\setcounter{section}{53}

\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $T$ eine Menge und $E$ ein \definitionsverweis {euklidischer Vektorraum}{}{.} Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M }
{ = }{ \operatorname{Abb} \,(T,E) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} versehen mit der \definitionsverweis {Supremumsnorm}{}{.} Beweise die folgenden Eigenschaften für diese \anfuehrung{Norm}{} \zusatzklammer {dabei ist der Wert $\infty$ erlaubt und sinnvoll zu interpretieren} {} {.} \aufzaehlungvier{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Vert {f} \Vert }
{ \geq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f }
{ \in }{ M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Vert {f} \Vert }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} genau dann, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist. }{Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lambda }
{ \in }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f }
{ \in }{ M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {\lambda f} \Vert }
{ =} { \betrag { \lambda } \cdot \Vert {f} \Vert }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }{Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g,f }
{ \in }{M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {g+f} \Vert }
{ \leq} { \Vert {g} \Vert + \Vert {f} \Vert }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathdisp {C=C^0([0,1], \R)} { }
die Menge der \definitionsverweis {stetigen Funktionen}{}{,} die mit der \definitionsverweis {Supremumsnorm}{}{} versehen sei. Skizziere zu $\epsilon>0$ die offene und die abgeschlossene $\epsilon$-Umgebung von einem
\mathl{f \in C}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Formuliere und beweise den \stichwort {Hauptsatz der Infinitesimalrechnung} {} für \definitionsverweis {stetige Kurven}{}{} \maabbdisp {g} {I} {V } {,} wobei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} \definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{} sei.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Wie löst man eine \definitionsverweis {gewöhnliche Differentialgleichung}{}{} zu einem \definitionsverweis {stetigen}{}{} \definitionsverweis {ortsunabhängigen Vektorfeld}{}{} \maabbeledisp {f} {I \times U} {V } {(t,v)} {f(t,v) = g(t) } {?}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbdisp {f} {I \times U} {V } {} ein \definitionsverweis {stetiges}{}{} \definitionsverweis {Vektorfeld}{}{,} das auf einer \definitionsverweis {offenen Menge}{}{}
\mathl{U \subseteq V}{} eines \definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{} \definitionsverweis {reellen Vektorraums}{}{} definiert sei und \definitionsverweis {lokal einer Lipschitz-Bedingung}{}{} genüge. Es sei
\mathl{W \subseteq V}{} ein \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{} mit der Eigenschaft, dass für alle
\mathl{t \in I}{} und
\mathl{P \in U \cap W}{} die Beziehung
\mathl{f(t,P) \in W}{} gilt. Zeige, dass eine \definitionsverweis {Lösung des Anfangswertproblems}{}{}
\mathdisp {v'=f(t,v) \text{ mit } v(t_0)=w \in U \cap W} { }
ganz in $W$ verläuft.

}
{} {}

Die nächste Aufgabe knüpft an Aufgabe 22.21 an.


\inputaufgabe
{}
{

Im Nullpunkt $0 \in \R^3$ befinde sich die Pupille eines Auges \zusatzklammer {oder eine Linse} {} {} und die durch $x=-1$ bestimmte Ebene sei die Netzhaut $N \cong \R^2$ \zusatzklammer {oder eine Fotoplatte} {} {.} Bestimme die \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbdisp {} {\R_+ \times \R \times \R} { \R^2 } {,} die das Sehen \zusatzklammer {oder Fotografieren} {} {} beschreibt \zusatzklammer {d.h. einem Punkt des Halbraumes wird durch den Lichtstrahl ein Punkt der Netzhaut zugeordnet} {} {.} Ist diese Abbildung \definitionsverweis {differenzierbar}{}{?} Für welche Punkte ist diese Abbildung \definitionsverweis {regulär}{}{,} wie sehen die \definitionsverweis {Fasern}{}{} aus?

}
{} {}

In der speziellen Relativitätstheorie ist auf dem
\mathl{V=\R \times \R^n}{} die \stichwort {Lorentz-Form} {}
\mathdisp {\langle v, w \rangle = \langle (t,x_1 , \ldots , x_n), (s,y_1 , \ldots , y_n) \rangle := -c^2 ts +x_1y_1 + \cdots + x_ny_n} { }
wichtig, wobei $c$ die Lichtgeschwindigkeit repräsentiert. Diese Form ist eine nicht-ausgeartete Bilinearform vom Typ $(n,1)$. Sie erlaubt es, die \anfuehrung{Welt}{} in lichtartige, zeitartige und raumartige Vektoren aufzuteilen, und den Zusammenhang dieser fundamentalen Größen zu verstehen. Die zugehörige quadratische Form ist die Abbildung \maabbeledisp {\varphi} {V = \R \times \R^n} {\R } {(t,x_1 , \ldots , x_n)} { -c^2t^2 +x_1^2 + \cdots + x_n^2 } {.} Ein Vektor $v \in V$ heißt \stichwort {zeitartig} {,} wenn $\varphi(v) <0$ ist, \stichwort {lichtartig} {,} wenn
\mathl{\varphi(v)=0}{} ist und \stichwort {raumartig} {,} wenn $\varphi(v) >0$ ist. Mathematisch setzt man im Allgemeinen $c=1$.


\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten die Abbildung \maabbeledisp {\varphi} {\R^2} {\R } {(t,x)} {-t^2+x^2 } {.} Bestimme die \definitionsverweis {regulären Punkte}{}{} und die Fasern dieser Abbildung.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten die Abbildung \maabbeledisp {\varphi} {\R^3} {\R } {(t,x,y)} {-t^2+x^2 +y^2 } {.} Bestimme die \definitionsverweis {regulären Punkte}{}{} und die Fasern dieser Abbildung.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten das \definitionsverweis {Vektorfeld}{}{} \maabbeledisp {f} {\R \times \R^2} {\R^2 } {(t,u,v)} {(t^2uv,u^2-tv^2) } {.} Bestimme für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t }
{ \in }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die nicht-\definitionsverweis {regulären}{}{} Punkte des Vektorfeldes \maabbeledisp {f_t} {\R^2} {\R^2 } {(u,v)} {(t^2uv,u^2-tv^2) } {.} Welche Ortspunkte sind zu keinem Zeitpunkt regulär?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Finde für das zeitunabhängige \definitionsverweis {Differentialgleichungssystem}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} u \\v \end{pmatrix} ' }
{ =} { \begin{pmatrix} -v \\u \end{pmatrix} }
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u \\v \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} Lösungen mit \mathkor {} {u(0) =a} {und} {v(0) = b} {,} wobei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a,b }
{ \in }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $T \subseteq \R^n$ eine \definitionsverweis {kompakte Teilmenge}{}{} und $E$ ein \definitionsverweis {euklidischer Vektorraum}{}{.} Es sei
\mathl{C= C^0 (T,E)}{} der Raum der stetigen Abbildungen von $T$ nach $E$, versehen mit der \definitionsverweis {Supremumsnorm}{}{.} Es seien
\mathl{x_1 , \ldots , x_n \in T}{} und
\mathl{y_1 , \ldots , y_n \in E}{} Punkte. Zeige, dass die Teilmenge
\mathdisp {{ \left\{ f \in C \mid f(x_1) = y_1 , \ldots , f(x_n) = y_n \right\} }} { }
\definitionsverweis {abgeschlossen}{}{} in $C$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T }
{ \subseteq }{ \R^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {abgeschlossen}{}{} und \definitionsverweis {beschränkt}{}{} und sei $M$ ein \definitionsverweis {vollständiger metrischer Raum}{}{.} Es sei
\mathl{C}{} die Menge der \definitionsverweis {stetigen Abbildungen}{}{} von $T$ nach $M$. Definiere eine \definitionsverweis {Metrik}{}{} auf $C$ derart, dass $C$ selbst zu einem vollständigen metrischen Raum wird.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass das Integral zu einer \definitionsverweis {stetigen Kurve}{}{} \maabbdisp {} {[a,b]} {V } {} in einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum $V$ unabhängig von der gewählten Basis ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten die Abbildung \maabbeledisp {\varphi} {\R} {\R^3 } {t} { \left( t^2 , \, t^5-1 , \, t+ \sin t \right) } {.} Bestimme die Komponenten dieser Abbildung bezüglich der \definitionsverweis {Basis}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 \\0\\ 1 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 0 \\1\\ 2 \end{pmatrix} , \, \begin{pmatrix} 1 \\-1\\ 1 \end{pmatrix}} { . }
Bestimme mit beiden Basen das Integral dieser Kurve über
\mathl{[a,b]}{,} und bestätige, dass die Ergebnisse übereinstimmen.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Löse das \definitionsverweis {Anfangswertproblem}{}{}
\mathdisp {v'=f(t,v) \text{ und } v(1)= (3,2,6)} { }
zum \definitionsverweis {ortsunabhängigen Vektorfeld}{}{} \maabbeledisp {f} {\R \times \R^3} {\R^3 } {(t,x,y,z)} { t^3(3,1,4)-e^{-2t}(2,-1,7)+(t-t^2 e^t )(0,4,5)+(2,2,2) } {.}

}
{} {}