Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil II/Arbeitsblatt 56/latex

\setcounter{section}{56}

\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ eine \definitionsverweis {quadratische}{}{} $n \times n$-Matrix über ${\mathbb K}$. Es sei $\varphi_1$ eine \definitionsverweis {Lösung}{}{} der \definitionsverweis {linearen Differentialgleichung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ v' }
{ =} { Mv +z_1(t) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mathl{\varphi_2}{} eine Lösung der \definitionsverweis {linearen Differentialgleichung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ v' }
{ =} { Mv +z_2(t) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige, dass
\mathl{\varphi_1+ \varphi_2}{} eine Lösung der linearen Differentialgleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ v' }
{ =} { Mv +z_1(t)+z_2(t) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v' }
{ =} {Mv }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {lineares Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten}{}{,} sei $L$ der Lösungsraum dieses Systems und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{t_0 }
{ \in }{\R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass die Abbildung \maabbeledisp {} {L} { {\mathbb K}^n } {\varphi} {\varphi(t_0) } {,} ein \definitionsverweis {Vektorraum-Isomorphismus}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Wie transformieren sich in Lemma 56.2 die Anfangsbedingungen?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Löse das \definitionsverweis {lineare Anfangswertproblem}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} v_1 \\v_2 \end{pmatrix}' = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & -5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\v_2 \end{pmatrix} \text{ mit } \begin{pmatrix} v_1(0) \\v_2(0) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\-11 \end{pmatrix}} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme den \definitionsverweis {Lösungsraum}{}{} zum \definitionsverweis {linearen Differentialgleichungssystem}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} v_1 \\v_2 \end{pmatrix}' = \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 4 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\v_2 \end{pmatrix}} { . }

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{}
{

Löse das \definitionsverweis {lineare Anfangswertproblem}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} v_1 \\v_2\\ v_3 \end{pmatrix}' = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 2 \\ 0 & 2 & 5 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\v_2\\ v_3 \end{pmatrix} \text{ mit } \begin{pmatrix} v_1(0) \\v_2(0)\\ v_3(0) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\0\\ -1 \end{pmatrix}} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Löse das \definitionsverweis {lineare Anfangswertproblem}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} v_1 \\v_2 \end{pmatrix}' = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\v_2 \end{pmatrix} \text{ mit } \begin{pmatrix} v_1(0) \\v_2(0) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\-4 \end{pmatrix}} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme den \definitionsverweis {Lösungsraum}{}{} zum \definitionsverweis {linearen Differentialgleichungssystem}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} v_1 \\v_2\\ v_3\\v_4 \end{pmatrix}' = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\v_2\\ v_3\\v_4 \end{pmatrix}} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lambda }
{ \in }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Bestimme den \definitionsverweis {Lösungsraum}{}{} zum \definitionsverweis {linearen Differentialgleichungssystem}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} v_1 \\v_2\\ \vdots\\v_n \end{pmatrix}' }
{ =} { \begin{pmatrix} \lambda & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda & 1 & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & \lambda & 1 \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & \lambda \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\v_2\\ \vdots\\v_n \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die allgemeine Lösung des \definitionsverweis {linearen Differentialgleichungssystems}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}' = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} t^2+e^t \\t \end{pmatrix}} { . }

}
{} {}