Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil II/Zusatzaufgaben/latex

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\zwischenueberschrift{Zusatzaufgaben}




\inputaufgabe
{}
{

Eine $n$-Schokolade ist ein rechteckiges Raster, das durch
\mathl{a -1}{} Längsrillen und
\mathl{b-1}{} Querrillen in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ = }{a \cdot b }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \zusatzklammer {
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{a,b }
{ \in }{\N_+ }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{}} {} {} mundgerechte kleinere Rechtecke eingeteilt ist. Ein Teilungsschritt an einer Schokolade ist das vollständige Durchtrennen einer Schokolade längs einer Längs- oder Querrille. Eine vollständige Aufteilung einer Schokolade ist eine Folge von Teilungsschritten \zusatzklammer {an der Ausgangsschokolade oder an einer zuvor erhaltenen Zwischenschokolade} {} {,} deren Endprodukt aus den einzelnen Mundgerechtecken besteht. Zeige durch Induktion, dass jede vollständige Aufteilung einer $n$-Schokolade aus genau
\mathl{n-1}{} Teilungsschritten besteht.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es seien
\mathbed {M} {und}
{N} {}
{} {} {} {} Mengen und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T }
{ \subseteq }{ M \times N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine Teilmenge. Zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x }
{ \in }{ M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T(x) }
{ = }{ { \left\{ y \in N \mid (x,y) \in T \right\} } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass
\mathl{\{x \} \times T(x)}{} die \definitionsverweis {Faser}{}{} der \definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{}
\mathdisp {T \hookrightarrow M \times N \stackrel{p_1}{ \longrightarrow} M} { }
über $x$ ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Berechne durch geeignete Substitutionen eine Stammfunktion zu
\mathdisp {\sqrt{4x^2+2x+3}} { . }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {komplexe}{}{} und die \definitionsverweis {reelle Partialbruchzerlegung}{}{} von
\mathdisp {\frac{ X }{ (X+2)(X+1)(X-1)(X-2) }} { . }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Berechne das \definitionsverweis {uneigentliche Integral}{}{}
\mathdisp {\int_{ 0 }^{ \infty } { \frac{ 1 }{ (\sqrt{1+t^2})^3 } } \, d t} { . }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die Lösungen der \definitionsverweis {Differentialgleichung}{}{} \zusatzklammer {
\mathl{y>0}{}} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y' }
{ =} { t^5 y^2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit dem Lösungsansatz für getrennte Variablen. Was ist der Definitionsbereich der Lösungen?

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestätige die Kettenregel anhand der beiden Abbildungen \maabbeledisp {\varphi} { {\mathbb K}^2 } { {\mathbb K}^3 } {(u,v)} {(u^2v^2,u+ \sin v,v^3) } {,} und \maabbeledisp {\psi} { {\mathbb K}^3} { {\mathbb K}^2 } {(x,y,z)} {(x^2y-z^2,xy^2 +yz \exp x ) } {,} und ihrer Komposition
\mathl{\psi \circ \varphi}{} in folgenden Schritten. \aufzaehlungfuenf{Berechne für einen beliebigen Punkt
\mathl{P \in {\mathbb K}^2}{} das \definitionsverweis {totale Differential}{}{}
\mathl{\left(D\varphi\right)_{P}}{} mit Hilfe von \definitionsverweis {partiellen Ableitungen}{}{.} }{Berechne für einen beliebigen Punkt
\mathl{Q \in {\mathbb K}^3}{} das totale Differential
\mathl{\left(D\psi\right)_{Q}}{} mit Hilfe von partiellen Ableitungen. }{Berechne explizit die Komposition \maabb {\psi \circ \varphi} { {\mathbb K}^2} { {\mathbb K} ^2 } {.} }{Berechne direkt mit partiellen Ableitungen in einem Punkt
\mathl{P \in {\mathbb K}^2}{} das totale Differential von \maabb {\psi \circ \varphi} { {\mathbb K}^2} { {\mathbb K}^2 } {.} }{Berechne das totale Differential von \maabb {\psi \circ \varphi} { {\mathbb K}^2} { {\mathbb K}^2 } {} in einem Punkt
\mathl{P \in {\mathbb K}^2}{} mit Hilfe der Kettenregel und den Teilen (1) und (2). }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Untersuche die \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {f} {\R^2} {\R } {(x,y)} {4x^2-xy+5y^2 } {,} auf \definitionsverweis {Extrema}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbeledisp {} {\R^2 \setminus \{ (0,0) \} } {\R^2 \setminus \{ (0,0) \} } {(u,v)} { \left( { \frac{ -u }{ u^2+v^2 } } , \, { \frac{ -v }{ u^2+v^2 } } \right) } {,} ein \definitionsverweis {Diffeomorphismus}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Betrachte die \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbeledisp {\varphi} {\R^3} {\R^3 } {(x,y,z)} {( \sin xy ,yz \cos \left( x^2 \right) ,e^{xyz}) } {.} Zeige, dass $\varphi$ im Punkt
\mathl{P=(1, \pi,1)}{} \definitionsverweis {lokal umkehrbar}{}{} ist, und bestimme das \definitionsverweis {totale Differential}{}{} der \definitionsverweis {Umkehrabbildung}{}{} im Punkt
\mathl{Q=\varphi(P)}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Wir betrachten die Funktion \maabbeledisp {f} {[0,1]} {\R } {t} {1-t^2 } {.} Für welche
\mathbed {x,y \in [0,1]} {}
{x <y} {}
{} {} {} {,} besitzt die zugehörige dreistufige \zusatzklammer {maximale} {} {} \definitionsverweis {untere Treppenfunktion}{}{} zu $f$ den maximalen Flächeninhalt? Welchen Wert besitzt er?

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Betrachte die \definitionsverweis {differenzierbare Kurve}{}{} \maabbeledisp {\varphi} {\R} {\R^2 } {t} { \left( t^3 , \, e^t \right) } {.} Bestimme einen \definitionsverweis {Kreis}{}{} \zusatzklammer {mit Mittelpunkt und Radius} {} {} und eine \definitionsverweis {Parametrisierung}{}{} $\psi$ dieses Kreises derart, dass $\psi$ und $\varphi$ für
\mathl{t=1}{} bis zur zweiten Ableitung übereinstimmen.

}
{} {} PDF-Version dieses Arbeitsblattes