Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil III/Arbeitsblatt 72/latex
\setcounter{section}{72}
\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{(M, {\mathcal A }, \mu)}{} ein
$\sigma$-\definitionsverweis {endlicher}{}{}
\definitionsverweis {Maßraum}{}{} und sei
\maabbdisp {f_n} {M} { \overline{ \R }_{\geq 0 }
} {}
\zusatzklammer {\mathlk{n \in \N}{}} {} {} eine
\definitionsverweis {Folge}{}{} von
\definitionsverweis {nichtnegativen}{}{}
\definitionsverweis {messbaren numerischen Funktionen}{}{.} Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_{ M } \sum_{n = 0}^\infty f_n \, d \mu
}
{ =} { \sum_{n = 0}^\infty \int_{ M } f_n \, d \mu
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x,y)
}
{ =} { x^3-yx^2+7 \sin y
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Berechne die Integrale zum Parameter
\mathl{y \in [0,\pi]}{} über
\mathl{x \in [0,1]}{} und zum Parameter
\mathl{x \in [0,1]}{} über
\mathl{y \in [0,\pi ]}{.} Bestimme jeweils die extremalen Integrale.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{]a,b[}{} ein
\zusatzklammer {eventuell unbeschränktes} {} {}
Intervall und es sei
\maabbdisp {f} { ]a,b[ } {\R
} {}
eine nichtnegative
\definitionsverweis {stetige Funktion}{}{.}
Zeige, dass das
\definitionsverweis {uneigentliche Integral}{}{}
\mathl{\int_a^b f(t)dt}{} gleich dem
\definitionsverweis {Lebesgue-Integral}{}{}
\mathl{\int_{ ]a,b[ } f \, d \lambda}{}
\zusatzklammer {also gleich dem Flächeninhalt des Subgraphen} {} {}
ist.
}
{} {}
Mit der vorstehenden Aufgabe ist jetzt die folgende Klausuraufgabe (zu Mathematik II) einfach zu lösen.
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\maabbdisp {f} {{]0,1]}} {[0, \infty [
} {}
eine stetige, streng fallende, bijektive Funktion mit der ebenfalls stetigen Umkehrfunktion
\maabbdisp {f^{-1}} {{[0, \infty[} } {{]0,1]}
} {.}
Es sei vorausgesetzt, dass das uneigentliche Integral
\mathl{\int_{ 0 }^{ 1 } f(t) \, d t}{} existiert. Zeige, dass dann auch das uneigentliche Integral
\mathl{\int_{ 0 }^{ \infty } f^{-1}(y) \, d y}{} existiert und dass der Wert dieser beiden Integrale übereinstimmt.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{4}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Häufungspunkte}{}{} der Folge
\mathl{x_n = \sin \left( n { \frac{ \pi }{ 4 } } \right)}{.} Was ist der
\definitionsverweis {Limes inferior}{}{,}
was der
\definitionsverweis {Limes superior}{}{?}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Bestimme für die \definitionsverweis {Funktionenfolge}{}{} \maabbeledisp {f_n} {[0,1]} {\R } {x} {f_n(x) = x^n } {,} die zugehörigen \definitionsverweis {Integrale}{}{,} den \definitionsverweis {Grenzwert}{}{} der Integrale, die \definitionsverweis {Grenzfunktion}{}{} und das Integral der Grenzfunktion.
}
{} {}
\inputaufgabe
{8}
{
Bestimme den
\definitionsverweis {Limes inferior}{}{}
und den
\definitionsverweis {Limes superior}{}{}
der
\definitionsverweis {Funktionenfolge}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f_n(x)
}
{ = }{ \sin (nx)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
auf
\mathl{[0, \pi]}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Zeige, dass
der Satz von der majorisierten Konvergenz
ohne die Voraussetzung über die Existenz einer Majorante
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ h
}
{ \geq }{ \betrag { f_n }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nicht gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Fakultätsfunktion}{}{}
\mathl{\operatorname{Fak} \, (x)}{} beliebig oft
\definitionsverweis {differenzierbar}{}{}
ist mit den Ableitungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Fak} \, (x)
}
{ =} { \int_{ 0 }^{ \infty } ( \ln t)^n t^x e^{-t} \, d t
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
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