Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil III/Arbeitsblatt 72

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein ${}\sigma$- endlicher Maßraum und sei

$f_{n}\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$

($n\in \mathbb {N}$) eine Folge von nichtnegativen messbaren numerischen Funktionen. Zeige, dass

${}\int _{M}\sum _{n=0}^{\infty }f_{n}\,d\mu =\sum _{n=0}^{\infty }\int _{M}f_{n}\,d\mu \,$

gilt.

Aufgabe

Es sei

${}f(x,y)=x^{3}-yx^{2}+7\sin y\,.$

Berechne die Integrale zum Parameter ${}y\in [0,\pi ]$ über ${}x\in [0,1]$ und zum Parameter ${}x\in [0,1]$ über ${}y\in [0,\pi ]$. Bestimme jeweils die extremalen Integrale.

Aufgabe

Es sei ${}]a,b[$ ein (eventuell unbeschränktes) Intervall und es sei

$f\colon ]a,b[\longrightarrow \mathbb {R}$

eine nichtnegative stetige Funktion. Zeige, dass das uneigentliche Integral ${}\int _{a}^{b}f(t)dt$ gleich dem Lebesgue-Integral ${}\int _{]a,b[}f\,d\lambda$ (also gleich dem Flächeninhalt des Subgraphen) ist.

Mit der vorstehenden Aufgabe ist jetzt die folgende Klausuraufgabe (zu Mathematik II) einfach zu lösen.

Aufgabe *

Es sei

$f\colon {]0,1]}\longrightarrow [0,\infty [$

eine stetige, streng fallende, bijektive Funktion mit der ebenfalls stetigen Umkehrfunktion

$f^{-1}\colon {[0,\infty [}\longrightarrow {]0,1]}.$

Es sei vorausgesetzt, dass das uneigentliche Integral ${}\int _{0}^{1}f(t)\,dt$ existiert. Zeige, dass dann auch das uneigentliche Integral ${}\int _{0}^{\infty }f^{-1}(y)\,dy$ existiert und dass der Wert dieser beiden Integrale übereinstimmt.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die Häufungspunkte der Folge ${}x_{n}=\sin \left(n{\frac {\pi }{4}}\right)$. Was ist der Limes inferior, was der Limes superior?

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme für die Funktionenfolge

$f_{n}\colon [0,1]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f_{n}(x)=x^{n},$

die zugehörigen Integrale, den Grenzwert der Integrale, die Grenzfunktion und das Integral der Grenzfunktion.

Aufgabe (8 Punkte)

Bestimme den Limes inferior und den Limes superior der Funktionenfolge ${}f_{n}(x)=\sin(nx)$ auf ${}[0,\pi ]$.

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass der Satz von der majorisierten Konvergenz ohne die Voraussetzung über die Existenz einer Majorante ${}h\geq \vert {f_{n}}\vert$ nicht gilt.

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass die Fakultätsfunktion ${}\operatorname {Fak} \,(x)$ beliebig oft differenzierbar ist mit den Ableitungen

${}\operatorname {Fak} \,(x)=\int _{0}^{\infty }(\ln t)^{n}t^{x}e^{-t}\,dt\,.$