Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil III/Arbeitsblatt 73

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Bestimme das Volumen einer gleichseitigen Pyramide (eines Tetraeders) mit Seitenlänge ${}1$.

Aufgabe

Bestimme das Volumen des Rotationskörpers, der entsteht, wenn der Sinusbogen zwischen ${}0$ und ${}\pi$ um die ${}x$-Achse gedreht wird.

Aufgabe

Bestimme das Volumen des Körpers, der entsteht, wenn die Standardparabel um die ${}y$-Achse gedreht wird und dies mit der Ebene zu ${}y=h$ „gedeckelt“ wird, in Abhängigkeit von ${}h\geq 0$.

Aufgabe *

Berechne das Volumen der Einheitskugel mit dem Cavalieri-Prinzip.

Aufgabe

Fasse die Einheitskugel als Rotationskörper auf und berechne damit ihr Volumen.

Aufgabe

Wo liegt der Fehler in Beispiel 73.7?

Aufgabe

Diskutiere den Wikipediaartikel „Prinzip von Cavalieri“, insbesondere in Hinblick auf die Formulierung:

„Aus dem Prinzip von Cavalieri lässt sich herleiten, dass das Volumen eines 'höhengedehnten' Körpers (bei gleichbleibender Grundfläche) proportional zu seiner Höhe ist. Als Beispiel: Ein Körper, dessen Höhe auf diese Weise verdoppelt wird, kann durch 2 gleiche Ausgangskörper konstruiert werden, indem zuerst alle äquivalenten Schnittflächen zusammengelegt werden und diese in der entsprechenden Reihenfolge des Ausgangskörpers aufgeschichtet werden (beide Ausgangskörper werden quasi ineinandergeschoben) “. (Version vom 16. November 2015).

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}K$ die Kreisscheibe mit dem Mittelpunkt in ${}(0,R)$ und dem Radius ${}0<r<R$. Berechne das Volumen des Rotationskörpers, der entsteht, wenn sich ${}K$ um die ${}x$-Achse dreht.

Aufgabe (6 Punkte)

Es sei ${}V$ der Viertelkreis mit dem Mittelpunkt in ${}(1,0)$, dem Radius ${}1$ und den Eckpunkten ${}(0,0)$ und ${}(1,1)$. Berechne das Volumen des „runden Trichters“, der entsteht, wenn man ${}V$ um die ${}y$-Achse dreht.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}D$ das Dreieck mit den Eckpunkten ${}(3,4),\,(5,5)$ und ${}(4,6)$. Bestimme das Volumen des Rotationskörpers, der entsteht, wenn man ${}D$ um die ${}x$-Achse dreht.

Aufgabe (4 Punkte)

Berechne das Volumen des Kegels, dessen Spitze in ${}(2,3,5)$ liegt und dessen Grundfläche die durch

${\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid 3x^{2}+2y^{2}\leq 4\right\}}$

gegebene Ellipse ist.

Aufgabe (6 Punkte)

Es sei ${}\mu =\varphi _{*}\lambda ^{2}$ das Bildmaß unter der Multiplikation

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto xy.$

Zeige, dass für jede Borelmenge ${}T\subseteq \mathbb {R}$

${}\mu (T)={\begin{cases}0,{\text{ falls }}\lambda ^{1}(T)=0\,,\\\infty ,{\text{ falls }}\lambda ^{1}(T)>0\,,\end{cases}}\,$

gilt.